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四川省成都市龙泉驿区第一中学数列多选题试题含答案

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四川省成都市龙泉驿区第一中学数列多选题试题含答案

一、数列多选题
1．已知等差数列an的前n项和为Sn，若a831，S10210，则（ ）
A．S1919a9 B．数列2C．若bn是公比为8的等比数列
1a，则数列bn的前2020项和为4040
a2nnnD．若bn12020，则数列bn的前2020项和为 anan124249【答案】CD 【分析】
由等差数列性质可判断A；结合已知条件可求出等差数列的公差，从而可求出通项公式以及2a2n，结合等比数列的定义可判断B；写出bn，由定义写出T2020的表达式，进行分组求和即可判断C；bn【详解】
由等差数列的性质可知，S1919a10，故A错误；设an的公差为d，则有111，裂项相消即可求和.
44n14n3a8a17d31，解得a13，d4，故an4n1，2a28n1，
S1010a145d2102n则数列2a2n是公比为28的等比数列，故B错误；若b1nnan14n1，
n则bn的前2020项T20203711158079410104040，故C正确； 若bn111，则bn的前2020项和
4n14n344n14n3111111112020T2020，故D正确． 4377118079808324249故选:CD． 【点睛】 方法点睛:
求数列的前n项和常见思路有：1、对于等差和等比数列，直接结合求和公式求解；2、等差数列等比数列时，常采取分组求和法；3、等差数列等比数列时，常采取错位相减法；4、裂项相消法.

2．已知数列an的前n项和为Sn，且a1p，2SnSn12p（n2，p为常数），则下列结论正确的有（ ） A．an一定是等比数列
B．当p1时，S415
8
1时，amanamn
2【答案】BC 【分析】
C．当pD．a3a8a5a6
对于A选项，若p0，则数列an不是等比数列，当p0时，通过题目条件可得an1，即数列an为首项为p，公比为1的等比数列，然后利用等比数列的通项公an122式、前n项和公式便可得出B，C，D是否正确. 【详解】
由a1p，2SnSn12p得，2a2pp2p，故a2当n3时，有2Sn1Sn22p，则2anan10，即故当p0时，数列an为首项为p，公比为故A错误；
a21p，则，
a122an1， an121的等比数列；当p0时不是等比数列，21114215，故B正确； 当p1时，S41812111当p时，an，则aman222当p0时，a3+a8pnmnamn，故C正确；
11331112pa+app， ，而5645272212822128故a3a8a5a6，则D错误； 故选：BC.

3．已知等差数列{an}中，a5a9，公差d0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是（ ） A．5 【答案】BC 【分析】
分析出数列an为单调递增数列，且a70，由此可得出结论. 【详解】
在等差数列{an}中，a5a9，公差d0，则数列an为递增数列，可得a5a9，
B．6
C．7
D．8
a5a9，可得a5a92a702a5，a50a7，

所以，数列{an}的前6项均为负数，且a70， 因此，当n6或7时，Sn最小. 故选：BC. 【点睛】
方法点睛：本题考查等差数列前n项和最大值的方法如下：
（1）利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得结果； （2）解不等式an0，解出满足此不等式的最大的n即可找到使得Sn最小.

1，且Sn＝an1（λ为常数）．若数列{bn}满4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2足anbn＝n9n20，且bn1bn，则满足条件的n的取值可以为（ ）
A．5 【答案】AB 【分析】
B．6 C．7 D．8
利用a1S1可求得2；利用anSnSn1可证得数列an为等比数列，从而得到an2n1，进而得到bn；利用bn1bn0可得到关于n的不等式，解不等式求得n的取值范围，根据nN求得结果. 【详解】
当n1时，a1S1a11，11，解得：2
Sn2an1
当n2且nN时，Sn12an11
anSnSn12an2an1，即：an2an1
an2n1
数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，n29n20anbnn9n20，bn n122n19n120n29n20n211n28bn1bn0 nn1n22222n0，n11n28n4n70，解得：4n7
2又nN，n5或6 故选：AB 【点睛】
关键点点睛：本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用an与Sn的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识，解决本题的关键点是能够得到bn的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n的不等式，从而求得结果，考查学生计算能力，属于中档题．


5．斐波那契数列an：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数nn11515，是用无理数表示有理数的一个范列”，其通项公式an522例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即an2an1an，记该数列an的前n项和为Sn，则下列结论正确的是（ ）
A．S1011a7 C．S2021S2020S2019 【答案】AB 【分析】
选项A分别求出S10，a7可判断，选项B由an2an1an，得an1anan1n2，相加得an2an12an可判断,选项C，由S2021a1a2a3a4B．a20212a2019a2018 D．S2019a20201
a2021，S2020a1a2a2020，
两式错位相减可判断.选项D.由Sna3a2a4a3a5a4a6a5an2an1an2a2可判断.
【详解】
因为S10143，11a7143，所以S1011a7，则A正确；
由an2an1an，得an1anan1n2，相加得an2an12an， 所以a20212a2019a2018，所以B正确； 因为S2021a1a2a3a4a2021，S2020a1a2a2020，
两式错位相减可得S2021S202010a1a2所以S2021S2020S20191，所以C错误；
因为a20191S2019，
Sna1a2a3故选：AB. 【点睛】
ana3a2a4a3a5a4a6a5an2an1an2a2an21，所以S2019a20211，所以D错误.
关键点睛：本题考查数列的递推关系的应用，解答本题的关键是由S2021a1a2a3a4a2021，S2020a1a2a2020，两式错位相减可得S2021S202010a1a2a20191S2019，以及由递推关系可得Sna3a2a4a3a5a4a6a5an2an1an2a2，属于中档题.


6．设首项为1的数列an的前n项和为Sn，已知Sn12Snn1，则下列结论正确的是（ ）
A．数列an为等比数列 C．数列an中a10511
B．数列Snn为等比数列 D．数列2Sn的前n项和为2n2n2n4
【答案】BCD 【分析】
Sn1n12Sn2n2，结合等比数列的定义可判断B；可得由已知可得SnnSnnSn2nn，结合an和Sn的关系可求出an的通项公式，即可判断A；由an的通项公式，可判断C；
由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n项和公式即可判断D. 【详解】
Sn1n12Sn2n2． 因为Sn12Snn1，所以SnnSnn又S112，所以数列Snn是首项为2，公比为2的等比数列，故B正确；
nn所以Snn2，则Sn2n．
n111当n2时，anSnSn121，但a121，故A错误；
由当n2时，an2n11可得a10291511，故C正确；
412n1223n1n1因为2Sn22n，所以2S12S2...2Sn221222...22n
22...223n1212...nnn1n222n2nn4 2所以数列2Sn的前n项和为2n2n2n4，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】
关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由Sn12Snn1可有目的性的构造为Sn1n12Sn2n，进而得到Sn1n12Sn2n2，说明数列Snn是等比数列，这是解决本题的关键所在，SnnSnn考查了推理运算能力，属于中档题,

7．在AnBnCn（n1,2,3,）中，内角An,Bn,Cn的对边分别为an,bn,cn，AnBnCn的2n1面积为Sn，若an5，b14，c13，且ban22cn2an22bn22，cn1，则（ ）
44
A．AnBnCn一定是直角三角形 C．Sn有最大值 【答案】ABD 【分析】
22先结合已知条件得到bn1cn125=B．Sn为递增数列 D．Sn有最小值
12bncn225，进而得到bn2cn225=an2，得A22正确，再利用面积公式得到递推关系4Sn1=最值即可. 【详解】 由bb2n11875Sn2，通过作差法判定数列单调性和64an22cn2an22bn22，cn1得，442n12n1c2512an22cn2an22bn21212anbncn2bncn2，故22224412bncn225， 2bn12cn1225=2222222又b1c125=0，bncn250，bncn25=an，故AnBnCn一定是直角三角形，A正确；
1AnBnCn的面积为Snbncn，而2bn12cn12故4S故S2n1422222an22cn2an22bn2an2bncnan4bncn， 441622n1n1bcan42bn2cn2an24bn2cn216187516Sn21875==Sn2，
16162n13Sn21875Sn221875， Sn=Sn=6446442bn2cn225152又Snbncn时等号成立） =（当且仅当bn=cn=2442S2n118753Sn2Sn=0，又由b14，c13知bncn不是恒成立，即6442Sn12Sn2，故Sn1Sn，故Sn为递增数列，Sn有最小值S16，无最大值，故BD正确，C错误. 故选：ABD. 【点睛】
22本题解题关键是利用递推关系得到bn1cn125=12bncn225，进而得到2bn2cn225=an2，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判
断.

8．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为Fn，则Fn的通项公式为（ ）
(1n1nA．F(n
2B．Fn1FnFn1,n2且F11,F21
nn11515 C．Fn522nn11515 D．Fn225【答案】BC 【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】
解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，
显然F11,F21，F3F1F22，F4F2F33，，Fn1FnFn1,n2，所以Fn1FnFn1,n2且F11,F21，即B满足条件；
由Fn1FnFn1,n2， 所以Fn1151515FnFnFn1 222151515Fn1Fn所以数列为首项，为公比的等比数列， 是以2221515Fn所以Fn12 2n15Fn1Fn21，
所以15n1515n1((222令bnFn152n1，则bn153bn1，
2
所以bn1555355(bn， 10210555553所以bn为首项，为公比的等比数列， 以10210所以bn555553n1((， 10102152n1nn51515； 522555553n1所以Fn10102即C满足条件； 故选：BC 【点睛】
考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．

二、平面向量多选题
9．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．已知a,b均为非零向量，若a//b，则存在唯一的实数，使得aλb
B．已知非零向量a(1,2,b(1,1，且a与aλb的夹角为锐角，则实数的取值范围是5, 3C．若acbc且c0，则ab
D．若点G为ABC的重心，则GAGBGC0 【答案】AD 【分析】
由向量共线定理可判断选项A；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B；由数量积的运算性质可判断选项C；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D. 【详解】
对于选项A： 由向量共线定理知选项A正确；
对于选项B：ab1,21,11,2，若a与aλb的夹角为锐角，则
5aab122530解得，当a与aλb共线时，3221，解得：0，此时a(1,2，ab1,2，此时ab夹角为0，不符合题意，所以实数的取值范围是,00,，故选项B不正确； 对于选项C：若acbc，则cab0，因为c0，则ab或c与ab垂直， 故选项C不正确；
53
对于选项D：若点G为ABC的重心，延长AG与BC交于M，则M为BC的中点，所以AG2GM2GBGCGBGC，所以GAGBGC0，故选项D正确.
12

故选：AD 【点睛】
易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于0，但数量积大于0向量夹角为锐角或0，由向量夹角为锐角数量积大于0，需要检验向量共线的情况. 两个向量夹角为钝角数量积小于0，但数量积小于0向量夹角为钝角或.

10．已知直线l1:mxy3m10与直线l2:xmy3m10相交于点P，线段AB是圆C:x1y14的一条动弦，G为弦AB的中点，AB23，下列说法正确的是（ ）
A．弦AB的中点轨迹是圆
B．直线l1,l2的交点P在定圆x2y22上 C．线段PG长的最大值为421 D．PAPB的最小值642 【答案】ABC 【分析】
对于选项A：设Gx0,y0，利用已知条件先求出圆心到弦AB的距离CG，利用两点之间的距离公式即可得到结论；对于选项B：联立直线的方程组求解点P的坐标，代入选项验证即可判断；对于选项C：利用选项A B结论，得到圆心坐标和半径，利用2222PGmaxPG11r1r2求解即可；对于选项D：利用平面向量的加法法则以及数量积运算2得到PAPBPG3，进而把问题转化为求PGminPG11r1r2问题，即可判断.
【详解】
对于选项A：设Gx0,y0，
AB23，
G为弦AB的中点， GB3，

而C:x1y14， 半径为2，
则圆心到弦AB的距离为CG又圆心C1,1，
2222321，
x01y011，
即弦AB的中点轨迹是圆. 故选项A正确； 对于选项B： 由22mxy3m10，
xmy3m103m22m1xm21得，
2y3m2m1m21代入x2y2整理得2， 故选项B正确；
对于选项C：由选项A知：
点G的轨迹方程为：x1y11，
由选项B知：点P的轨迹方程为：x2y22，
222222G11,1,r11,P12,2,r22，
所以线段PGPG11r1r2max故选项C正确； 对于选项D：
12122212421，
PAPBPGGAPGGB PGPGGAGBGAGB PGPG0GBPG3，
故PAPB2222minPG32，
min由选项C知：PGPG11r1r2min所以PAPB12122212221，
min2213642，
2故选项D错误；

故选：A B C. 【点睛】
关键点睛：本题考查了求圆的轨迹问题以及两个圆上的点的距离问题.把两个圆上的点的距离问题转化为两个圆的圆心与半径之间的关系是解决本题的关键.


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/3b62d0ec864769eae009581b6bd97f192379bfc3.html

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