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2012年湖南省高考数学试卷(理科)答案与解析

发布时间：2022-11-10 20:59:14   来源：文档文库   
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2012年湖南省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析


一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2012•湖南）设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（ ） A． { 0} B． {0，1} C． {﹣1，1} D． {﹣1，0，1}
考点：交集及其运算． 专题：计算题． 分析：求出集合N，然后直接求解M∩N即可． 解答： ：因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，M={﹣1，0，1}，
解所以M∩N={0，1}． 故选B． 点评：本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题．

2．（5分）（2012•湖南）命题“若α= A．

若α≠，则tanα≠1
，则tanα=1”的逆否命题是（ ）
B．
若α=，则tanα≠1
C．

若tanα≠1，则α≠D．
若tanα≠1，则α=
考点：四种命题间的逆否关系． 专题：简易逻辑． 分析：原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a． 解答：
解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．
故选C． 点评：考查四种命题的相互转化，掌握四种命题的基本格式，本题是一个基础题． 3．（5分）（2012•湖南）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）

A．

B．
C．
D．


考点：简单空间图形的三视图．




1
专题：作图题． 分析：由图可知，此几何体为组合体，对照选项分别判断组合体的结构，能吻合的排除，不
吻合的为正确选项 解答：解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A
若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B； 若俯视图为C，则正视图中应有虚线，故该几何体的俯视图不可能是C 若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为D； 故选C 点评：本题主要考查了简单几何体的构成和简单几何体的三视图，由组合体的三视图，判断
组合体的构成的方法，空间想象能力，属基础题 4．（5分）（2012•湖南）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（ ）
A． y与x具有正的线性相关关系 B． 回归直线过样本点的中心（，） C． 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D． 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
考点：回归分析的初步应用． 专题：阅读型． 分析：
根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定． 解答：解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；

对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；
对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；
对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确
故选D． 点评：本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题．

5．（5分）（2012•湖南）已知双曲线C：近线上，则C的方程为（ ） A．


的焦距为10，点P（2，1）在C的渐B．


2
C．


D．


考点：双曲线的标准方程． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：
利用双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程． 解答：
解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，
∴a2+b2=25，∴b=，a=2=1，

．
∴双曲线的方程为故选：A． 点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基
础题．

6．（5分）（2012•湖南）函数f（x）=sinx﹣cos（x+ A． [ ﹣2，2]
B． [﹣，]
）的值域为（ ）
D．
[﹣，]
C． [﹣1，1]

考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：通过两角和的余弦函数化简函数的表达式，
利用两角差的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，求出函数的值域． 解答：
解：函数f（x）=sinx﹣cos（x+）=sinx﹣+
=﹣=+sin（x﹣）∈
．
故选B． 点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的定义域和值域，考查计算能力．

7．（5分）（2012•湖南）在△ABC中，AB=2，AC=3， A．


•=1，则BC=（ ）
D．

B． C． 23


考点：解三角形；向量在几何中的应用． 专题：计算题；压轴题． 分析：
设∠B=θ，由•=1，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，表示出cosθ，再利用余弦定理表示出cosθ，两者相等列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长． 解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
∵•=1，设∠B=θ，AB=2，
，
∴2•BC•cos（π﹣θ）=1，即cosθ=﹣又根据余弦定理得：cosθ==，
∴﹣则BC=故选A =．
，即BC2=3，

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，余弦定理，以及
诱导公式的运用，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．

8．（5分）（2012•湖南）已知两条直线l1：y=m和l2：y=（m＞0），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为（ ） A． 1
6
B． 8
C．
8
D．
4

考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数函数图象与性质的综合应用；平行投影及平行
投影作图法． 专题：计算题；综合题；压轴题． 分析： 设A，B，C，D各点的横坐标分别为xA，xB，xC，xD，依题意可求得为xA，xB，xC，xD的值，a=|xA﹣xC|，b=|xB﹣xD|，利用基本不等式可求得当m变化时，的最小值． 解答： ：设A，B，C，D各点的横坐标分别为xA，xB，xC，xD，
解则﹣log2xA=m，log2xB=m；﹣log2xC=，log2xD=；

4
∴xA=2﹣m，xB=2m，xC=，xD=．
∴a=|xA﹣xC|，b=|xB﹣xD|， ∴==||=2m•=．
又m＞0，∴m+=（2m+1）+﹣≥2﹣=（当且仅当m=时取“=”）
∴≥=8．
故选B． 点评：
本题考查对数函数图象与性质的综合应用，理解平行投影的概念，得到=是关键，考查转化与数形结合的思想，考查分析与运算能力，属于难题．


二、填空题（共8小题，考生作答7小题，每小题0分，满分35分，9,10,11三题任选两题作答；12～16必做题）
9．（2012•湖南）在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在X轴上，则a等于 ．

考点：椭圆的参数方程；直线的参数方程． 专题：计算题． 分析：化参数方程为普通方程，利用两曲线有一个公共点在x轴上，可得方程，即可求得结
论． 解答：
解：曲线C1：（t为参数）化为普通方程：2x+y﹣3=0，令y=0，可得x=
曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）化为普通方程：
∵两曲线有一个公共点在x轴上， ∴∴a= 故答案为：


5
点评：本题考查参数方程化为普通方程，考查曲线的交点，属于基础题．

10．（5分）（2012•湖南）不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为 {x|x＞} ．

考点：绝对值不等式的解法． 专题：计算题；压轴题． 分析： 由不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0⇔不等式|2x+1|＞2|x﹣1|⇔（2x+1）2＞4（x﹣1）2即可求得答案． 解答：解：∵|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0，

∴|2x+1|＞2|x﹣1|≥0，
∴（2x+1）2＞4（x﹣1）2， ∴x＞．
∴不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞}． 故答案为：{x|x＞}．
点评： 本题考查绝对值不等式的解法，将不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0转化为（2x+1）2＞4（x﹣1）2是关键，着重考查转化思想与运算能力，属于中档题． 11．（5分）（2012•湖南）如图，过点P的直线与圆⊙O相交于A，B两点．若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于 ．

考点：与圆有关的比例线段． 专题：计算题． 分析：设出圆的半径，根据切割线定理推出PA•PB=PC•PD，代入求出半径即可． 解答：解：设圆的半径为r，且

PO与圆交于C，D两点
∵PAB、PCD是圆O的割线， ∴PA•PB=PC•PD，
∵PA=1，PB=PA+AB=3； PC=3﹣r，PD=3+r， ∴1×3=（3﹣r）×（3+r），
r2=6 ∴r=，
故答案为：．

6

点评：本题主要考查切割线定理等知识点，熟练地运用性质进行计算是解此题的关键． 12．（5分）（2012•湖南）已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|= 10 ．

考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算． 专题：计算题． 分析：利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可． 解答：
解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i||3+i|==10．
故答案为：10． 点评：本题考查复数模的求法，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力．

13．（5分）（2012•湖南）（）6的二项展开式中的常数项为 ﹣160
（用数字作答）．

考点：二项式定理． 专题：计算题． 分析：根据题意，利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，
将r的值代入通项求出展开式的常数项．
﹣解答：
解：（）6展开式的通项为Tr+1=C6r•（2）6r•（﹣）r=（﹣1）r•C6r•26﹣r•x3r，
令3﹣r=0，可得r=3，
﹣其常数项为T4=（﹣1）r•C6r•26r=﹣160； 故答案为﹣160． 点评：本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是熟练掌握二项式定理，正确
写出其通项，属于基础试题． 14．（5分）（2012•湖南）如果执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=3，则输出的数S= ﹣4 ．
﹣ 7


考点：循环结构． 专题：计算题． 分析：列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环． 解答：解：判断前x=﹣1，n=3，i=2，第1次判断后循环，S=﹣6+2+1=﹣3，i=1，

第2次判断后S=5，i=0， 第3次判断后S=﹣4，i=﹣1，
第4次判断后﹣1≥0，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：﹣4． 故答案为：﹣4． 点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力． 15．（5分）（2012•湖南）函数f（x）=sin（ωx+φ）的导函数y=f′（x）的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．
（1）若φ=，点P的坐标为（0，），则ω= 3 ；
（2）若在曲线段 ．
与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为
8


考点：导数的运算；几何概型；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题：计算题；压轴题． 分析：
（1）先利用导数的运算性质，求函数f（x）的导函数f（′x），再将φ=，f（′0）=代入导函数解析式，即可解得ω的值； （2）先利用定积分的几何意义，求曲线段与x轴所围成的区域面积，再求三角形ABC的面积，最后利用几何概型概率计算公式求面积之比即可得所求概率． 解答：
解：（1）∵函数f（x）=sin （ωx+φ）的导函数y=f′（x）=ωcos（ωx+φ），其中φ=过点P（0，∴ωcos= ），
，∴ω=3．
故答案为：3．

（2）∵f′（x）=ωcos（ωx+φ），
∴曲线段与x轴所围成的区域面积为[﹣f′（x）]dx=﹣f（x）=﹣sin﹣（﹣sin）=2，
三角形ABC的面积为∴在曲线段=，
与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为P==．
．
故答案为： 9
点评：本题主要考查了f（x）=Asin （ωx+φ）型函数的图象和性质，导数运算及导函数与
原函数的关系，定积分的几何意义，几何概型概率的计算方法，属基础题． 16．（5分）（2012•湖南）设N=2n（n∈N*，n≥2），将N个数x1，x2，…，xN依次放入编号为1，2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1=x1x3…xN﹣1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到P2，当2≤i≤n﹣2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段作C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置． （1）当N=16时，x7位于P2中的第 6 个位置；
（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第 3×2n4+11 个位置．

考点：演绎推理的基本方法；进行简单的演绎推理． 专题：压轴题． 分析： （1）由题意，可按照C变换的定义把N=16时P2列举出，从中查出x7的位置即可；
（2）根据C变换的定义及归纳（1）中的规律可得出P4中所有的数字分为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1，3，5，7，9，11，13，15，2，4，6，8，10，12，14，16，再173=16×10+13，即可确定出x173位于P4中的位置． 解答： 解：（1）当N=16时，P0=x1x2…x16．由C变换的定义可得P1=x1x3…x15x2x4…x16，
﹣又将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到P2，故P2=x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16，由此知x7位于P2中的第6个位置；
（2）考察C变换的定义及（1）计算可发现，第一次C变换后，所有的数分为两段，每段的序号组成公差为2的等差数列，且第一段序号以1为首项，第二段序号以2为首项；第二次C变换后，所有的数据分为四段，每段的数字序号组成以4公差的等差数列，且第一段的序号以1为首项，第二段序号以3为首项，第三段序号以2为首项，第四段序号以4为首项，依此类推可得出P4中所有的数字分为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1，9，5，13，…，由于173=16×10+13，故x173位于以13为首项的那一段的第11个数，由于N=2n（n≥8）﹣﹣﹣故每段的数字有2n4个，以13为首项的是第四段，故x173位于第3×2n4+11=3×2n4+11个位置．
故答案为3×2n4+11 点评：本题考查演绎推理及归纳推理，解题的关键是理解新定义，找出其规律，本题是探究
型题，运算量大，极易出错，解题进要严谨认真，避免马虎出错

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）（2012•湖南）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示． 一次性购物量 1至4件 5 至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数（人） x 30 25 y 10 ﹣
10
结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．
（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）

考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其
分布列． 专题：应用题． 分析：（Ⅰ）由已知得25+y+10=55，x+30=45，故可确定，y的值，将频率视为概率，故可
求相应的概率，由此可得X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟，Xi（i=1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P（A）=P（（X1=1且X2=1）+P（（X1=1且X2=1.5）+P（（X1=1.5且X2=1），由于各顾客的结算相互独立，且Xi（i=1，2）的分布列都与X的分布列相同，故可得结论． 解答：解： （Ⅰ）由已知得25+y+10=55，x+30=45，所以x=15，y=20；
将频率视为概率可得P（X=1）=P（X=2.5）==0.2；P（X=3）==0.15；P（X=1.5）==0.1 =0.3；P（X=2）==0.25；X的分布列
X 1 1.5 2 2.5 P 0.15 0.3 0.25
0.2 X的数学期望为E（X）=1×0.15+1.5×0.3+2×0.25+2.5×0.2+3×0.1=1.9 3
0.1 （Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟，Xi（i=1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则 P（A）=P（（X1=1且X2=1）+P（（X1=1且X2=1.5）+P（（X1=1.5且X2=1）
由于各顾客的结算相互独立，且Xi（i=1，2）的分布列都与X的分布列相同，所以 P（A）=0.15×0.15+0.15×0.3+0.3×0.15=0.1125 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为0.1125． 点评：本题考查学生的阅读能力，考查概率的计算，考查离散型随机变量的期望，属于中档
题． 18．（12分）（2012•湖南）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点． （Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE； （Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

11


考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角． 专题：计算题；证明题． 分析：解法一： （Ⅰ）先根据条件得到CD⊥AE；再结合PA⊥平面ABCD即可得到结论的证明；
（Ⅱ）先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA=BF，进而得到四边形BCDG是平行四边形，在下底面内求出BF的长以及下底面的面积，最后代入体积计算公式即可．
法二：（Ⅰ）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而得到•=0．即可证明结论；
=0以及（Ⅱ）先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA的长，再求出下底面面积，最后代入体积计算公式即可． 解答：解法一： （Ⅰ）连接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5，
又AD=5，E是CD得中点， 所以CD⊥AE，
PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD． 所以PA⊥CD，
而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线， 所以CD⊥平面PAE．
（Ⅱ）过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF，
由CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE，于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE．
由PA⊥平面ABCD知，∠PBA即为直线PB与平面ABCD所成的角．
由题意∠PBA=∠BPF，因为sin∠PBA=，sin∠BPF=，所以PA=BF．
由∠DAB=∠ABC=90°知，AD∥BC，又BG∥CD． 所以四边形BCDG是平行四边形， 故GD=BC=3，于是AG=2．
在RT△BAG中，AB=4，AG=2，BG⊥AF， 所以BG==2，BF===．
12
于是PA=BF=．
又梯形ABCD的面积为S=×（5+3）×4=16． 所以四棱锥P﹣ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=．
解法二：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系，
设PA=h，则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，3，0），D（0，5，0），E（2，4，0），P（0，0，h）． （Ⅰ）因为=（﹣4，2，0），=﹣8+8+0=0，=（2，4，0），•=0．
=（0，0，h）．
所以CD⊥AE，CD⊥AP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线， 所以CD⊥平面PAE． （Ⅱ）由题设和第一问知，，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量，
而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等， 所以：|cos＜，＞|=|cos＜，＞|，即||=||．
由第一问知故|=（﹣4，2，0），|=|=（（0，0，﹣h），又|．
=（4，0，﹣h）．
解得h=．
又梯形ABCD的面积为S=×（5+3）×4=16． 所以四棱锥P﹣ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=．


13

点评：本题是中档题， 利用空间直角坐标系通过向量的计算，考查直线与平面所成角的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，是常考题型． 19．（12分）（2012•湖南）已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+…+an，B（n）=a2+a3+…+an+1，C（n）=a3+a4+…+an+2，n=1，2，…． （1）若a1=1，a2=5，且对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{an}的通项公式． （2）证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列．

考点：等差数列的性质；充要条件；等比关系的确定． 专题：计算题；证明题． 分析： （1）由于对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，可得到B（n）﹣A（n）=C（n）﹣B（n），即an+1﹣a1=an+2﹣a2，整理即可得数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列，从而可得an．
（2）必要性：由数列{an}是公比为q的等比数列，可证得即==q，即必要性成立；
充分性：若对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，可得an+2﹣qan+1=a2﹣qa1．由n=1时，B（1）=qA（1），即a2=qa1，从而an+2﹣qan+1=0，即充分性成立，于是结论得证． 解答： 解：（1）∵对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，
∴B（n）﹣A（n）=C（n）﹣B（n），
即an+1﹣a1=an+2﹣a2，亦即an+2﹣an+1=a2﹣a1=4．
故数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列，于是an=1+（n﹣1）×4=4n﹣3． （2）证明：（必要性）：若数列{an}是公比为q的等比数列，对任意n∈N*，有an+1=anq．由an＞0知，A（n），B（n），C（n）均大于0，于是
===q，
===q，
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即==q，
∴三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列； （充分性）：若对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，则
B（n）=qA（n），C（n）=qB（n）， 于是C（n）﹣B（n）=q[B（n）﹣A（n）]，即an+2﹣a2=q（an+1﹣a1），亦即an+2﹣qan+1=a2﹣qa1．
由n=1时，B（1）=qA（1），即a2=qa1，从而an+2﹣qan+1=0． ∵an＞0， ∴==q．故数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列．
综上所述，数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列． 点评：本题考查等差数列的性质，考查充要条件的证明，考查等比关系的确定，突出化归思
想，逻辑思维与综合运算能力的考查，属于难题． 20．（13分）（2012•湖南）某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为K（K为正整数）． （1）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间； （2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数K的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．

考点：函数模型的选择与应用． 专题：综合题． 分析： （1）设完成A，B，C三种部件生产需要的时间分别为T1（x），T2（x），T3（x），则可得，，；
（2）完成订单任务的时间为f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}，其定义域为，可得T1（x），T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，T2（x）=T1（x），分类讨论：①当k=2时，T2（x）=T1（x），f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max{}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间；记②当k≥3时，T2（x）＜T1（x），，为增函数，φ（x）=max{T1（x），T（x）}f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T（x）}=max{}，利用基本不等式求出完成订
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单任务的最短时间；③当k＜2时，k=1，f（x）=max{T2（x），T3（x）}=max{}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间，从而问题得解． 解答： 解：（1）设写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间分别为T1（x），T2（x），T3（x）
∴，，
其中x，kx，200﹣（1+k）x均为1到200之间的正整数 （2）完成订单任务的时间为f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}，其定义域为
∴T1（x），T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，T2（x）=T1（x） ①当k=2时，T2（x）=T1（x），f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max{∵T1（x），T3（x）为增函数，∴当∵＜f（45）
∴x=44时，完成订单任务的时间最短，时间最短为②当k≥3时，T2（x）＜T1（x），记，为增函数，φ（x）=max{T1（x），T（x）} }

，，时，f（x）取得最小值，此时x=}
，f（44）f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T（x）}=max{∵T1（x）为减函数，T（x）为增函数，∴当此时x=∵
，
∴完成订单任务的时间大于
，时，φ（x）取得最小值，③当k＜2时，k=1，f（x）=max{T2（x），T3（x）}=max{∵T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，∴当} 时，φ（x）取得最小值，
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此时x=
，大于
类似①的讨论，此时完成订单任务的时间为综上所述，当k=2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A，B，C三种部件的人数分别为44，88，68． 点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，解题的关
键是确定分类标准，有难度． 21．（13分）（2012•湖南）在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在C2：（x﹣5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值． （Ⅰ）求曲线C1的方程 （Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别于曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．

考直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程． 点：
专综合题；压轴题． 题：
分（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），根据对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于析：
该点与圆C2上点的距离的最小值，可得|x+2|=且圆C2上的点位于直线x=﹣2的右侧，从而可得曲线C1的方程；
（Ⅱ）当点P在直线x=﹣4上运动时，P的坐标为（﹣4，y0），设切线方程为kx﹣y+y0+4k=0，利用直线与圆相切可得，从而可得过P所作的两条切线PA，PC的斜率k1，k2是方程的两个实根，设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，从而可得；同理可得，由此可得当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值为6400．
解（Ⅰ）解：设M的坐标为（x，y），由已知得|x+2|=答：
点位于直线x=﹣2的右侧
∴=x+5 且圆C2上的化简得曲线C1的方程为y2=20x （Ⅱ）证明：当点P在直线x=﹣4上运动时，P的坐标为（﹣4，y0），
∵y0≠±3，∴过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为

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y﹣y0=k（x+4），即kx﹣y+y0+4k=0， ∴，整理得①
设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根 ∴②
由，消元可得③
设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4， ∴y1，y2是方程③的两个实根 ∴④
同理可得由①②④⑤可得⑤
==6400 ∴当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值为6400． 点本题考查轨迹方程，考查直线与圆相切，考查韦达定理的运用，解题的关键是切线与抛评：物线联立，属于中档题． 22．（13分）（2012•湖南）已知函数f（x）=eax﹣x，其中a≠0． （1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合．
（2）在函数f（x）的图象上取定两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）（x1＜x2），记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由．

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题． 专题：压轴题． 分析：
（1）先确定a＞0，再求导函数，确定函数的单调性，可得时，f（x）取最小值
，构建新函数g（t）=t﹣tlnt，则故对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，则g′（t）=﹣lnt，确定函数的单调性，求出函数的最大值，由此即可求得a的取值集合；

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（2）由题意知，，构建新函数φ（x）=f′（x）﹣k=，则，，构建函数F（t）=et﹣t﹣1，从而可证明φ（x1）＜0，φ（x2）＞0，由此即可得到存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立． 解答： 解：（1）若a＜0，则对一切x＞0，函数f（x）=eax﹣x＜1，这与题设矛盾，
∵a≠0，∴a＞0 ∵f′（x）=aeax﹣1，令f′（x）=0，可得令f′（x）＜0，可得单调增， ∴时，f（x）取最小值①


，函数，函数单调减；令f′（x）＞0，可得∴对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，则令g（t）=t﹣tlnt，则g′（t）=﹣lnt 当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减
∴t=1时，g（t）取最大值g（1）=1 ∴当且仅当=1，即a=1时，①成立 综上所述，a的取值集合为{1}； （2）由题意知，
令φ（x）=f′（x）﹣k=，则


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令F（t）=et﹣t﹣1，则F′（t）=et﹣1 当t＜0时，F′（t）＜0，函数单调减；当t＞0时，F′（t）＞0，函数单调增； ∴t≠0时，F（t）＞F（0）=0，即et﹣t﹣1＞0 ∴
∵＞0，
，∴φ（x1）＜0，φ（x2）＞0 ∴存在c∈（x1，x2），φ（c）=0 ∵φ（x）单调递增，故这样的c是唯一的，且
当且仅当x∈（，x2）时，f′（x）＞k 综上所述，存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立，且x0的取值范围为（，x2）
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查构建新函数确定函数值的
符号，从而使问题得解．


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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/40f3c785bb68a98271fefa9a.html

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