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2012年高考数学试卷及解析湖南卷(理科)

发布时间：2022-11-10 20:59:18   来源：文档文库   
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2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1. 设集合M{1,0,1}，N{x|x2x},则MN（ ） A．{0} B. {0,1} C. {1,1} D. {1,0,1}

3. 某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）


4. 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi,yi(i1,2,,n，用最小二乘法建立的回归方程为y0.85x85.71，则下列结论不正确的是（ ）
A．y与x具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心(x,y

C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg 5. 已知双曲线C:22xa22yb221的焦距为10，点P(2,1在C的渐近线上，则C的方程为（ ）
A．x20y51 B. x25y2201 C. x280y2201 D. x220y2801
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8. 已知两条直线l1:ym和l2:y82m1(m0，l1与函数y|log2x|的图象从左至右相交于点A,B，l2与函数y|log2x|的图象从左至右相交于点C,D，记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b.当m变化时，ba的最小值为（ ）
A．162 B. 82 C. 834 D.434
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。
一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）


二、必做题（12~16题）
12．已知复数z(3i（i为虚数单位），则|z| 。
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2
113．2x（用数字作答） 的二项展开式中的常数项为
。x6
15．函数fxsinx的导函数yf'x的部分图象如图4所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点。
（1）若6，点P的坐标为0,33，则 ； 2ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC内的概率为 。 （2）若在曲线段 3 / 24


三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示
一次购物量 顾客数（人）
1至4件 5至8件 x
9至12件 25 2 13至16件 Y 2.5 17件及以上 10 3 30 1.5 结算时间（分钟/人）
1 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. （1）确定x,y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
（2）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率。 （注：将频率视为概率）
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20. （本小题满分13分）
某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）.已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.
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2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
试卷总评：总体来说2012湖南理科数学试题相对于2010，2011年有着很大的变化：试题难度变大，体现于解答题的难度相对于前两年有显著提高。着重体现在19题的内容更换为数列的充分必要性的证明，考数列解答题可能很多人都有预测到，但是靠充分必要性的证明可能预测到的少，另外函数应用问题较去年也有提高，着重了函数、不等式应用思想的考查应用。而相对而言今年的选择题、填空题的布局与前两年吻合，注重对考生基础知识，基本技能的考查。内容变换，将原有的三角解答题去掉，对立体集合问题不直接考查角度的计算，而考查几何体体积的计算。突出了重点内容的考查，如函数与导数，圆锥曲线等。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合M={-1,0,1}，N={x|x2≤x}，则M∩N= A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0} 【答案】B 【解析】N0,1 M={-1,0,1} M∩N={0,1}. 【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分. 先求出N0,1,再利用交集定义得出M∩N. 2.命题“若α=A.若α≠44，则tanα=1”的逆否命题是
4，则tanα≠1 B. 若α=4，则tanα≠1
4C. 若tanα≠1，则α≠【答案】C D. 若tanα≠1，则α=
【解析】因为“若p，则q”的逆否命题为“若p，则q”，所以 “若α=tanα≠1，则α≠44，则tanα=1”的逆否命题是 “若”.
【点评】本题考查了“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力. 3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是
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【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.

【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型. 4.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x，y）
C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg 【答案】D 【解析】由回归方程为y=0.85x-85.71知y随x的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最ˆbxabxybx(aybx，所以回归直线过样本点的中心小二乘法建立的回归方程得过程知y（x，y），利用回归方程可以预测估计总体，所以D不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答 8 / 24

案，易错. 5. 已知双曲线C ：xax22-yby22=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为
A．x220-y2225=1 B.5-20=1 C.x280-y220=1 D.x220-y280=1 【答案】A 【解析】设双曲线C ：xa22-yb22=1的半焦距为c，则2c10,c5. ba2，即a2b. 又C 的渐近线为ybax，点P （2,1）在C 的渐近线上，1又cab，a25,b2225，C的方程为x220-y25=1. 【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型. 6. 函数f（x）=sinx-cos(x+6的值域为

3232A． [ -2 ,2] B.[-3,3] C.[-1,1 ] D.[-【答案】B 【解析】（fx）=sinx-cos(x+6 , ] sinx32cosx12sinx3sin(x6sin(x，61,1，f(x值域为[-3,3]. 【点评】利用三角恒等变换把f(x化成Asin(x的形式，利用sin(x1,1，求得f(x的值域. 7. 在△ABC中，AB=2，AC=3，ABBC= 1则BC___. A.3 B.7 C.22 D.23
【答案】A 【解析】由下图知ABBC= ABBCcos(B2BC(cosB1. 12BCcosB.又由余弦定理知cosBABBCAC2ABBC 9 / 24
222，解得BC3.


BCA

【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意AB,BC的夹角为B的外角. 8．已知两条直线l1 ：y=m 和l2： y=82m1(m＞0，l1与函数ylog2x的图像从左至右相交于点A，B ，l2与函数ylog2x的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，ba的最小值为
A．162 B.82 C.84 D.44 【答案】B 【解析】在同一坐标系中作出y=m，y=82m1(m＞0，ylog2x图像如下图，
82m1m由log2x= m，得x12m,x22，log2x= m，得x32882m18,x422m1. 依照题意得a2m282m18,b22m2m1,ba222m2m182b82m122m2m12m82m1. m82m1m124m1212412312，(min82. a 10 / 24

ylog2xCDy82m1A1BymOx
【点评】在同一坐标系中作出y=m，y=82m1(m＞0，ylog2x图像，结合图像可解得. 二 、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. （一）选做题（请考生在第9、10、 11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ）
xt1,xasin,9. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C1： (t为参数与曲线C2 ：
y12ty3cos(为参数，a0 有一个公共点在X轴上，则a__. 【答案】32
xt1,3【解析】曲线C1：直角坐标方程为y32x，与x轴交点为(,0；
2y12t22xasin,xy曲线C2 ：直角坐标方程为21，其与x轴交点为(a,0,(a,0，
a9y3cos由a0，曲线C1与曲线C2有一个公共点在X轴上，知a32. 【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线C1与曲线C2的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与x轴交点，即可求得. 10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______. 【答案】xx1 4 11 / 24

13,(x211【解析】令f(x2x12x1，则由f(x4x1,(x1得f(x0的解集为xx. 243,(x1【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）.
11.如图2，过点P的直线与圆O相交于A，B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于_______. B
【答案】6
【解析】设PO交圆O于C，D，如图，设圆的半径为R，由割线定理知
PAPBPCPD,即1(12(3-r(3r,rDOPA6.
OBCPA
【点评】本题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知PAPBPCPD，从而求得圆的半径. (二必做题（12~16题）
12.已知复数z(3i (i为虚数单位，则|z|=_____. 【答案】10 22【解析】z(3i=96ii86i，z28610. 22【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的abi(a,bR形式，利用 zab求得. 22 12 / 24

13.( 2x-1x6的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答）
【答案】-160 【解析】( 2x-1xr6r6的展开式项公式是Tr1C6(2x(1xC62rr6r(1xr3r.由题意知，所以二项展开式中的常数项为T4C62(1160. 3r0,r3【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法. 14.如果执行如图3所示的程序框图，输入x1,n=3,则输出的数S= . 333

【答案】4
【解析】输入x1,n=3,，执行过程如下：i2:S6233；i1:S3(1115；i0:S5(1014，所以输出的是4. 【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错. 15.函数f（x）=sin (x的导函数yf(x的部分图像如图4所示，其中，P为图像与y轴的交点，A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点. （1）若6，点P的坐标为（0，332），则
; ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为 . （2）若在曲线段 13 / 24


【答案】（1）3；（2）4
6【解析】（1）yf(xcos(x，当，点P的坐标为（0，332）时
cos6332,3；
2（2）由图知ACT1，SABCAC，设A,B的横坐标分别为a,b. 2222ABC与x轴所围成的区域的面积为S 设曲线段则Sbaf(xdxf(xbasin(asin(b2，由几何概型知该点在△ABC内的概率为PSABCS2. 24【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P在图像上求， （2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得. n16.设N=2（n∈N*，n≥2），将N个数x1,x2,…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段i到p2；当2≤i≤n-2时，将Pi分成2段，每段N2和后N2个位置，得到排N2个数，并对每段作C变换，得N2i个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置. （1）当N=16时，x7位于P2中的第___个位置； （2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第___个位置. 【答案】（1）6；（2）32n411
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【解析】（1）当N=16时, P0x1x2x3x4x5x6x16,可设为(1,2,3,4,5,6,,16, P1x1x3x5x7x15x2x4x6x16,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16, P2x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x16,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16, x7位于P2中的第6个位置,；
（2）方法同（1）,归纳推理知x173位于P4中的第32n411个位置. 【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量 顾客数（人）
1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 x
17件及以上 10 3 30 1.5 25 2 y
结算时间（分1 钟/人）
2.5 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％. （Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；[&%中国教育出~版网*#] （Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率. （注：将频率视为概率）[中%#国教*育^出版网~] 【解析】（1）由已知,得25y1055,xy35,所以x15,y20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得 p(X11510020201p,X( p(X2.51005X的分布为
3,p(X1.53p,X(100101013 .1001030225
10014, X 1 P 3201.5 2
3102.5 3
15
14
110
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X的数学期望为 E(X13201.510312412.551310. 1.9（Ⅱ）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi(i1,2为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则
P(AP(X且11X1P(1X且122X1.5P1X(且1.5X. 21由于顾客的结算相互独立，且X1,X2的分布列都与X的分布列相同，所以 P(AP(X1(P2X1P(X1P2(X11
32032032031031039. 20801.5P1X( 1.5PX(21故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980. 【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％知
计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望；25y1010055%,xy35,从而解得x,y，第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率. 18.（本小题满分12分）
如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点. （Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.
【解析】
解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，BC3，ABC90,得AC5.
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又AD5,Ｅ是ＣＤ的中点，所以CDAE.
PA平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD.
而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE. （Ⅱ）过点Ｂ作BGCD,分别与AE,AD相交于F,G,连接PF.
由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是BPF为直线ＰＢ与平面PAE 所成的角，且BGAE. 由PA平面ABCD知，PBA为直线PB与平面ABCD所成的角. AB4,AG2,BGAF,由题意，知PBABPF,
因为sinPBAPAPB,sinBPFBFPB,所以PABF.
由DABABC90知，AD//BC,又BG//CD,所以四边形BCDG是平行四边形，故GDBC3.于是AG2.
在RtΔBAG中，AB4,AG2,BGAF,所以
AB2 BGABAG2225,BFBG1625855.
于是PABF855.
12又梯形ABCD的面积为S1(53416,所以四棱锥PABCD的体积为
V1SPA1633855128 .155
解法2：如图（2），以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 17 / 24

设PAh,则相关的各点坐标为：
A(4,0,0,B(4,0,0,C(4,3,0,D(0,5,0,E(2,4,0,P(0,0,h. （Ⅰ）易知CD(4,2,0,AE(2,4,0,AP(0,0,h.因为
CDAE8800,CDAP0,所以CDAE,CDAP.而AP,AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE.
(Ⅱ由题设和（Ⅰ）知，CD,AP分别是平面PAE，平面ABCD的法向量，而PB与
平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以 CDPBPAPBcosCD,PBcosPA,PB,即.
CDPBPAPB由（Ⅰ）知，CD(4,2,0,AP(0,0,h,由PB(4,0,h,故
16002516h200h22.
h16h解得h855. 12(53416，所以四棱锥PABCD的体积为
又梯形ABCD的面积为S1313 VSPA1685512815. 5【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明PACD即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由V13SPA算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积. 19.（本小题满分12分）
已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，……
（1） 若a1=1，a2=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{ an }的通项公式. （2） 证明：数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意nN，三个数A（n），B（n）， 18 / 24

C（n）组成公比为q的等比数列. 【解析】
解（１）对任意nN,三个数A(n,B(n,C(n是等差数列，所以 B(nA(nC(n
Bn即an1a1an2,亦即an2an1a2a14.
故数列an是首项为１，公差为４的等差数列.于是an1(n144n3. （Ⅱ）（１）必要性：若数列an是公比为ｑ的等比数列，则对任意nN，有
an1anq.由an0知，A(n,B(n,C(n均大于０，于是

B(nA(nC(nB(na2a3...an1a1a2...ana3a4...ana2a3...anq(a1a2...ana1a2...anq(a2a3..a.naa...an23q,
211q,
1即B(nA(n＝C(nB(n＝q，所以三个数A(n,B(n,C(n组成公比为q的等比数列. （２）充分性：若对于任意nN，三个数A(n,B(n,C(n组成公比为q的等比数列， 则
B(nqA(n,C(n，q Bn于是C(nB(nqB(nA(n,得an2a2q(an1a1,即 an2qan1a2a.
由n1有B(1qA(1,即a2qa1，从而an2qan10. 因为an0，所以an2an1a2a1q，故数列an是首项为a1，公比为q的等比数列，
综上所述，数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数A(n,B(n,C(n组成公比为q的等比数列. 【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证. 20.（本小题满分13分）
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某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）. （１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；
（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案. 【解析】
解：（Ⅰ）设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为
T1(x,T2(x,T3(x,由题设有
T1(x230006x1000,T(x2x2000,T(x3kx2001500
,(1kx期中x,kx,200(1kx均为1到200之间的正整数. （Ⅱ）完成订单任务的时间为f(xmaxT1(x,T2(x,T3(x,其定义域为
200,xN.易知，T1(x,T2(x为减函数，T3(x为增函数.注意到 x0x1kT2(x2kT1(x,于是
（1）当k2时，T1(xT2(x, 此时 f(xmaxT1(x,T3(xmax1000x,，
2003x15002003x1500由函数T1(x,T3(x的单调性知，当x400991000x时f(x取得最小值，解得
.由于
45,而f(44T1(4425011,f(45T3(4530013,f(44f(45. 2501144400故当x44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为f(44. 37550x,(xmaxT1(x,T(xT1(xT2(x, 由于k为正整数，（2）当k2时，故k3，此时T(x易知T(x为增函数，则
f(xmaxT1(x,T3(x
20 / 24

maxT1(x,T(x
1000375(xmax,. 50xx由函数T1(x,T(x的单调性知，当3640037而,11(36T11000x250(36950x250,T(3711375时(x取得最小值，解得x375250(37 1311,40011.由于此时完成订单任务的最短时间大于25011. （3）当k2时，T1(xT2(x, 由于k为正整数，故k1， 此时f(xmaxT2(x,T3(xmax2000x.由函数T2(x,T3(x的单调性知，
100x80011,750当2000x750100x时f(x取得最小值，解得x2509.类似（1）的讨论.此时
完成订单任务的最短时间为，大于25011. 综上所述，当k2时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数 分别为44,88,68. 【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想. 21.（本小题满分13分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C1的方程；
（Ⅱ）设P(x0,y0（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值. 【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M的坐标为(x,y，由已知得
x2(x5y3，
22易知圆C2上的点位于直线x2的右侧.于是x20，所以
(x5yx5. 22化简得曲线C1的方程为y20x. 2 21 / 24

解法2 ：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0的距离等于它到直线x5的距离，因此，曲线C1是以(5,0为焦点，直线x5为准线的抛物线，故其方程为y220x. （Ⅱ）当点P在直线x4上运动时，P的坐标为(4,y0，又y03，则过P且与圆
C2相切得直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为yy0k(x4,即kx-y+y0+4k=0.于是
5ky04kk123.
整理得
72k18y0ky090. ①
22设过P所作的两条切线PA,PC的斜率分别为k1,k2，则k1,k2是方程①的两个实根，故
k1k218y072y04. ②
由k1xyy04k10,y20x,22得k1y20y20(y04k10. ③
设四点A,B,C,D的纵坐标分别为y1,y2,y3,y4，则是方程③的两个实根，所以
y1y220(y04k1k1. ④
同理可得
y3y420(y04k2k2. ⑤
于是由②，④，⑤三式得
y1y2y3y4400(y04k1(y04k2k1k2
2400y04(k1k2y016k1k2k1k222400yy16k1k200
k1k26400. 所以，当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400. 22 / 24

【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到A,B,C,D四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想. 22.（本小题满分13分）
已知函数f(x=eaxx，其中a≠0.
（1） 若对一切x∈R，f(x≥1恒成立，求a的取值集合. （2）在函数f(x的图像上取定两点A(x1,f(x1，B(x2,f(x2(x1x2，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使f(x0k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由. 【解析】（Ⅰ）若a0，则对一切x0，f(xeaxx1，这与题设矛盾，又a0， 故a0. 而f(xaeax1,令f(x0,得x当x1aln1a1aln1a.
1aln1a时，f(x0,f(x单调递减；当x1aln1a1a1aln1a.
时，f(x0,f(x单调递增，故当x1aln1a时，f(x取最小值f(于是对一切xR,f(x1恒成立，当且仅当
1a11ln. 1 ① aa令g(tttlnt,则g(tlnt.
当0t1时，g(t0,g(t单调递增；当t1时，g(t0,g(t单调递减. 故当t1时，g(t取最大值g(11.因此，当且仅当综上所述，a的取值集合为1. f(x2f(x1x2x1ax1a1即a1时，①式成立. （Ⅱ）由题意知，keax2eax1x2x11.
令(xf(xkaeeax2eax1x2x1,则
(x1ea(x2x1a(x2x11,
x2x1eax1 23 / 24

(x2ea(x1x2a(x1x21.
x2x1eax2令F(tett1，则F(tet1. 当t0时，F(t0,F(t单调递减；当t0时，F(t0,F(t单调递增. 故当t0，F(tF(00,即ett10.
a(x2x1a(x1x2从而ea(x2x110，ea(x1x210,又eax1x2x10,eax2x2x10,
所以(x10,(x20.
因为函数y(x在区间x1,x2上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在x0(x1,x2使(x00,(xaeax2ax12ax0,(x单调递增，故这样的c是唯一的，且c1alneax2eax1a(x2x1.故当且仅当x(1alneea(x2x1,x2时， f(x0k. 综上所述，存在x0(x1,x2使f(x0k成立.且x0的取值范围为
(1alneax2eax1a(x2x1,x2. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出f(x取最小值f(1aln1a1a1aln1a.对一切x∈R，f(x 1恒成立转化为f(xmin1，从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断. 24 / 24

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/924fa452be23482fb4da4c9a.html

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