函数性质与反函数
知识要点: 1.函数的单调性、奇偶性综合 函数的单调性和奇偶性是函数的重要性质,对于函数y=f(x),如果在区间(a,b)上是单调的,则在区间(-b,-a)上也单调。如果奇函数y=f(x)在区间(a,b)上是单调增,则在(-b,-a)上也是单调增;若y=f(x)为偶函数,当其在区间(a,b)上是单调增时,在对称区间(-b,-a)上则是单调减。 可以简单的概括为一句话:奇函数在两个对称区间内的单调性相同,偶函数则相反。 注意:对于函数y=f(x),只能说分别在这两个区间内单调性相同,而不能说在整个区间里单调,更不能说在定义域内单调,在应用时一定要多加留意。 一个很简单的例子就是:奇函数 在(0,+∞)上单调减,在(-∞,0)上单调减,但不能说在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调减。 2.反函数 2.1 反函数的概念 设函数y=f(x)(x∈A)的值域为C,如果反解得到的 确定了一个从集合C到集合A的映射,则由这个映射所确定的函数就称为函数y=f(x)(x∈A)的反函数。记为y=f-1(x)(x∈C) 显然,y=f(x)(x∈A)与y=f-1(x)(x∈C)互为反函数。
2.2 反函数的存在性 不是每个函数都有反函数,只有当构成函数的映射是1-1映射时,这个函数才有反函数。这可以借助于逆映射的概念来理解。 结论:如果函数y=f(x)在区间(a,b)上单调,则在(a,b)上存在反函数。 注意: (1)函数单调是函数存在反函数的充分不必要条件,也就是说,一个函数不单调,也有可能存在反函数,比如说反比例函数 上并不单调,但是在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)内存在反函数。 (2)奇函数如果存在反函数,则反函数仍然是奇函数;定义域不是{0}的偶函数都不存在反函数。 2.3 互为反函数间的关系 由反函数的概念可知: (1)原函数与反函数的定义域值域互换; (2)对应法则互逆; (3)互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称; (4)f(f-1(x))=x(x∈C),f-1(f(x))=x(x∈A)。 注:函数y=f(x)与函数x=f-1(y)在同一个坐标系中的图象相同。 2.4反函数的求解 反函数求解一般可以按照下面几个步骤进行: (1)求原函数的定义域、值域,以确定反函数的定义域; (2)反解x,即用含y的代数式表示x; (3)互换x、y,并注明反函数的定义域。 注意:步骤(3)是因为我们已经习惯于用x表示自变量,用y表示因变量。关键在于理解反函数的对应法则。 典型例题: 例1 设f(x)为定义在R上的偶函数,且f(x)在(-∞,0)上单调增,当f(3a2-2a+2)>f(2a2+a+2)时,判断函数y=8+2a-a2的单调性。 分析与解:由函数f(x)在(-∞,0)上单调增,且为偶函数可知,f(x)在区间(0,+∞)上单调减函数。注意到3a2-2a+2>0与2a2+a+2>0均恒成立,于是由函数在(0,+∞)单调减可以得到3a2-2a+2<2a2+a+2,从而得到a的取值范围,并以此解决函数y=8+2a-a2的单调性。 解:因为函数f(x)为定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上单调增,则f(x)在区间(0,+∞)上为单调减函数。 又对任意实数a都有3a2-2a+2>0与2a2+a+2>0成立 于是由f(3a2-2a+2)>f(2a2+a+2) 得3a2-2a+2<2a2+a+2 解之得0 由函数y=8+2a-a2=-(a-1)2+9(0的图象可知, 函数y=8+2a-a2在区间 上是单调增,在区间 上单调减。 发展1:设f(x)在R上的偶函数,且f(x)在 上单调增,当f(a2-2a-2)>f(2)时,判断函数y=8+2a-a2的单调性。 由于a2-2a-2的符号不能确定,因此不能利用例1中的方法直接由函数值的大小得出自变量的大小,这时有两种方法。 方法一:若f(a2-2a-2)>f(2),则 方法二:f(a2-2a-2)>f(2)|a2-2a-2|<2 发展2:把题中条件“f(x)为定义在R上的偶函数”改为“f(x)为定义在R上的奇函数”又得到一种新的问题。这种问题照样可以借助于图象来解决。 例2 下列函数中哪些存在反函数,哪些不存在?存在的求出其反函数,不存在的说明理由。 (1)f(x)=3x-5(1
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