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2018年湖北省宜昌市中考数学试卷及答案解析-

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2018年湖北省宜昌市中考数学试卷


一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共15小题，每题3分，共45分） 1．（3分）﹣2018的绝对值是（ ） A．2018 B．﹣2018 C． D．﹣
2．（3分）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）工信部发布《中国数字经济发展与就业白皮书（2018）》）显示，2017年湖北数字经济总量1.21万亿元，列全国第七位、中部第一位．“1.21万”用科学记数法表示为（ ） A．1.21×103
B．12.1×103
C．1.21×104
D．0.121×105
4．（3分）计算4+（﹣2）2×5=（ ） A．﹣16 B．16 C．20 D．24
5．（3分）在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字，这个字是“绿”的概率为（ ） A． B． C． D．
6．（3分）如图，是由四个相同的小正方体组合而成的几何体，它的左视图是（ ）

A． B． C． D．
7．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2=x4 B．x3•x2=x6 C．2x4÷x2=2x2 D．（3x）2=6x2
8．（3分）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，第1页（共28页）



比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则a，b，c的值分别为（ ）

A．a=1，b=6，c=15 B．a=6，b=15，c=20 C．a=15，b=20，c=15 D．a=20，b=15，c=6
9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （ ）

A．1 B． C． D．
10．（3分）为参加学校举办的“诗意校园•致远方”朗诵艺术大赛，八年级“屈原读书社”组织了五次选拔赛，这五次选拔赛中，小明五次成绩的平均数是90，方差是2；小强五次成绩的平均数也是90，方差是14.8．下列说法正确的是（ ） A．小明的成绩比小强稳定 B．小明、小强两人成绩一样稳定 C．小强的成绩比小明稳定
D．无法确定小明、小强的成绩谁更稳定
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为（ ）
第2页（共28页）




A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（﹣2，5）
12．（3分）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（ ）

A．30° B．35° C．40° D．45°
13．（3分）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
A． B． C． D．
14．（3分）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（ ）

A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米
15．（3分）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是4：2：1．如果A，B，C第3页（共28页）



面分别向下放在地上，地面所受压强为p1，p2，p3，压强的计算公式为p=，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则p1，p2，p3，的大小关系正确的是（ ）

A．p1＞p2＞p3 B．p1＞p3＞p2 C．p2＞p1＞p3 D．p3＞p2＞p1

二、解答题（本题共9题，75分）
16．（6分）先化简，再求值：x（x+1）+（2+x）（2﹣x），其中x=17．（6分）解不等式组﹣4．
，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．

19．（7分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．
20．（8分）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类杜团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查，问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如表： 社团名称

A．酵素制B．回收材C．垃圾分D．环保义E．绿植养第4页（共28页）


作社团 料小制作社团
类社团 工社团 护社团
人数 10 15 5 10 5
（1）填空：在统计表中，这5个数的中位数是 ； （2）根据以上信息，补全扇形图（图1）和条形图（图2）；
（3）该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；
（4）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．

21．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC． （1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．

22．（10分）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．
第5页（共28页）



（1）求n的值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．
23．（11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．
（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC； （2）如图2，①求证：BP=BF；
②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值； ③当BP=9时，求BE•EF的值．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B（0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线y=（k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．
（1）填空：OA= ，k= ，点E的坐标为 ；
（2）当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，﹣t2+5t﹣）与点N（﹣t﹣3，﹣t2+3t﹣）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点． ①当点P在双曲线y=上时，求证：直线MN与双曲线y=没有公共点；
第6页（共28页）



②当抛物线y=﹣x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值； ③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．



第7页（共28页）




2018年湖北省宜昌市中考数学试卷
参考答案与试题解析


一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共15小题，每题3分，共45分） 1．（3分）﹣2018的绝对值是（ ） A．2018 B．﹣2018 C． D．﹣
【分析】根据绝对值的定义即可求得． 【解答】解：﹣2018的绝对值是2018． 故选：A．
【点评】本题主要考查的是绝对值的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．

2．（3分）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的定义，能够正确观察图形和理解轴对称图形的定义是解此题的关键．

3．（3分）工信部发布《中国数字经济发展与就业白皮书（2018）》）显示，2017年湖北数字经济总量1.21万亿元，列全国第七位、中部第一位．“1.21万”用科学记数法表示为（ ） A．1.21×103

B．12.1×103 C．1.21×104
第8页（共28页）
D．0.121×105


【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1.21万=1.21×104， 故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（3分）计算4+（﹣2）2×5=（ ） A．﹣16 B．16 C．20 D．24
【分析】根据有理数的乘方、乘法和加法可以解答本题． 【解答】解：4+（﹣2）2×5 =4+4×5 =4+20 =24， 故选：D．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数的混合运算的计算方法．

5．（3分）在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字，这个字是“绿”的概率为（ ） A． B． C． D．
【分析】直接利用概率公式求解．
【解答】解：这句话中任选一个汉字，这个字是“绿”的概率=故选：B．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．

第9页（共28页）

．


6．（3分）如图，是由四个相同的小正方体组合而成的几何体，它的左视图是（ ）

A． B． C． D．
【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【解答】解：该几何体的主视图为：；左视图为；俯视图为；
故选：C．
【点评】此题考查了简单几何体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．

7．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2=x4 B．x3•x2=x6 C．2x4÷x2=2x2 D．（3x）2=6x2
【分析】根据整式运算法则，分别求出四个选项中算式的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：A、x2+x2=2x2，选项A错误； B、x3•x2=x3+2=x5，选项B错误； C、2x4÷x2=2x4﹣2=2x2，选项C正确； D、（3x）2=32•x2=9x2，选项D错误． 故选：C．
【点评】本题考查了整式的混合运算，牢记整式混合运算的运算法则是解题的关键．
第10页（共28页）





8．（3分）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则a，b，c的值分别为（ ）

A．a=1，b=6，c=15 B．a=6，b=15，c=20 C．a=15，b=20，c=15 D．a=20，b=15，c=6
【分析】根据图形中数字规模：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可得a、b、c的值．
【解答】解：根据图形得：每个数字等于上一行的左右两个数字之和， ∴a=1+5=6，b=5=10=15，c=10+10=20， 故选：B．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （ ）

A．1 B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；
第11页（共28页）



【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，
∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J． ∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等， ∴S阴=S正方形ABCD=， 故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型．

10．（3分）为参加学校举办的“诗意校园•致远方”朗诵艺术大赛，八年级“屈原读书社”组织了五次选拔赛，这五次选拔赛中，小明五次成绩的平均数是90，方差是2；小强五次成绩的平均数也是90，方差是14.8．下列说法正确的是（ ） A．小明的成绩比小强稳定 B．小明、小强两人成绩一样稳定 C．小强的成绩比小明稳定
D．无法确定小明、小强的成绩谁更稳定
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【解答】解：∵小明五次成绩的平均数是90，方差是2；小强五次成绩的平均数也是90，方差是14.8．
平均成绩一样，小明的方差小，成绩稳定， 故选：A．
【点评】本题考查方差、平均数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．

11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为（ ）
第12页（共28页）




A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（﹣2，5）
【分析】依据四边形ABCD是平行四边形，即可得到BD经过点O，依据B的坐标为（﹣2，﹣2），即可得出D的坐标为（2，2）．
【解答】解：∵点A，C的坐标分别为（﹣5，2），（5，﹣2）， ∴点O是AC的中点， ∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形， ∴BD经过点O，
∵B的坐标为（﹣2，﹣2）， ∴D的坐标为（2，2）， 故选：A．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．

12．（3分）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（ ）

A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】由切线的性质知∠OCB=90°，再根据平行线的性质得∠COD=90°，最后由圆周角定理可得答案．
第13页（共28页）



【解答】解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点， ∴∠OCB=90°， ∵OD∥AB， ∴∠COD=90°，
∴∠CED=∠COD=45°， 故选：D．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理．

13．（3分）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据过直线外一点向直线作垂线即可． 【解答】已知：直线AB和AB外一点C． 求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F， （4）作直线CF．
直线CF就是所求的垂线． 故选：B．

第14页（共28页）



【点评】此题主要考查了过一点作直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键．

14．（3分）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（ ）

A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米 【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度． 【解答】解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°， ∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米． 故选：C．
【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．

15．（3分）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是4：2：1．如果A，B，C面分别向下放在地上，地面所受压强为p1，p2，p3，压强的计算公式为p=，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则p1，p2，p3，的大小关系正确的是（ ）

A．p1＞p2＞p3 B．p1＞p3＞p2 C．p2＞p1＞p3 D．p3＞p2＞p1 【分析】直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案． 【解答】解：∵p=，F＞0， ∴p随S的增大而减小，
第15页（共28页）



∵A，B，C三个面的面积比是4：2：1， ∴p1，p2，p3的大小关系是：p3＞p2＞p1． 故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确把握反比例函数的性质是解题关键．

二、解答题（本题共9题，75分）
16．（6分）先化简，再求值：x（x+1）+（2+x）（2﹣x），其中x=﹣4．
【分析】根据单项式乘多项式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解：x（x+1）+（2+x）（2﹣x） =x2+x+4﹣x2 =x+4， 当x=﹣4时，原式=﹣4+4=．
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的计算方法．

17．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】解一元一次不等式组的方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分；并把它的解集在数轴上表示出来即可． 【解答】解：解不等式①，得：x≥1； 解不等式②，得：x＜2；
∴原不等式组的解集是1≤x＜2．

．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组的方法，要熟练掌握，解答此题的第16页（共28页）



关键是要明确方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．

18．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．

【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°； （2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°， ∴∠ABC=90°﹣∠A=50°， ∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线， ∴∠CBE=∠CBD=65°；

（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°， ∴∠CEB=90°﹣65°=25°． ∵DF∥BE， ∴∠F=∠CEB=25°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．

第17页（共28页）



19．（7分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．
【分析】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，分别得出等式组成方程组求出答案．
【解答】解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛， 则，
解得：，
答：1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．

20．（8分）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类杜团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查，问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如表： 社团名称
A．酵素制作社团
B．回收材料小制作社团
人数
10
15
5
10
5
C．垃圾分类社团
D．环保义工社团
E．绿植养护社团
（1）填空：在统计表中，这5个数的中位数是 10 ； （2）根据以上信息，补全扇形图（图1）和条形图（图2）；
（3）该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；
（4）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．
第18页（共28页）




【分析】（1）根据中位数的定义即可判断；
（2）求出没有选择的百分比，高度和E相同，即可画出图形； （3）利用样本估计总体的思想解决问题即可； （4）画出树状图即可解决问题；
【解答】解：（1）这5个数从小到大排列：5，5，10，10，15，故中位数为10， 故答案为10．

（2）没有选择的占1﹣10%﹣30%﹣20%﹣10%﹣20%=10%， 条形图的高度和E相同；如图所示：


（3）1400×20%=280（名）
答：估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团有280名；

（4）酵素制作社团、绿植养护社团分别用A、B表示：树状图如图所示，
第19页（共28页）




共有4种可能，两人同时选择绿植养护社团只有一种情形， ∴这两名同学同时选择绿植养护社团的概率=．
【点评】此题考查了扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC． （1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．

【分析】（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）设CD=x，连接BD．利用勾股定理构建方程即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵AB是直径， ∴∠AEB=90°， ∴AE⊥BC， ∵AB=AC， ∴BE=CE， ∵AE=EF，
∴四边形ABFC是平行四边形， ∵AC=AB，
第20页（共28页）



∴四边形ABFC是菱形．

（2）设CD=x．连接BD． ∵AB是直径， ∴∠ADB=∠BDC=90°， ∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2， ∴（7+x）2﹣72=42﹣x2， 解得x=1或﹣8（舍弃） ∴AC=8，BD=∴S菱形ABFC=8．
=，

【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、线段的垂直平分线的性质勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

22．（10分）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善． （1）求n的值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合第21页（共28页）



计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．
【分析】（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，得出等式求出答案；
（2）利用从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家得出等式求出答案； （3）利用n的值即可得出关于a的等式求出答案． 【解答】解：（1）由题意可得：40n=12， 解得：n=0.3；

（2）由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m）2=190， 解得：m1=，m2=﹣（舍去），
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）=40（1+50%）=60（家），

（3）设第一年用乙方案治理降低了100n=100×0.3=30， 则（30﹣a）+2a=39.5， 解得：a=9.5， 则Q=20.5．
设第一年用甲方案整理降低的Q值为x，
第二年Q值因乙方案治理降低了100n=100×0.3=30， 解法一：（30﹣a）+2a=39.5 a=9.5 x=20.5 解法二：解得：

【点评】考查了一元二次方程和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

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23．（11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．
（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC； （2）如图2，①求证：BP=BF；
②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值； ③当BP=9时，求BE•EF的值．

【分析】（1）先判断出∠A=∠D=90°，AB=DC再判断出AE=DE，即可得出结论； （2）①利用折叠的性质，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，进而判断出∠GPF=∠PFB即可得出结论；
②判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论； ③判断出△GEF∽△EAB，即可得出结论．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=DC， ∵E是AD中点， ∴AE=DE，
在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△DCE（SAS）；

，
（2）①在矩形ABCD，∠ABC=90°， ∵△BPC沿PC折叠得到△GPC， ∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC， ∵BE⊥CG， ∴BE∥PG，
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∴∠GPF=∠PFB， ∴∠BPF=∠BFP， ∴BP=BF； ②当AD=25时， ∵∠BEC=90°， ∴∠AEB+∠CED=90°， ∵∠AEB+∠ABE=90°， ∴∠CED=∠ABE， ∵∠A=∠D=90°， ∴△ABE∽△DEC， ∴，
设AE=x， ∴DE=25﹣x， ∴，
∴x=9或x=16， ∵AE＜DE， ∴AE=9，DE=16， ∴CE=20，BE=15， 由折叠得，BP=PG， ∴BP=BF=PG， ∵BE∥PG， ∴△ECF∽△GCP， ∴，
设BP=BF=PG=y， ∴，
∴y=， ∴BP=，


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在Rt△PBC中，PC=
，cos∠PCB==；
③如图，连接FG，

∵∠GEF=∠BAE=90°， ∵BF∥PG，BF=PG， ∴▱BPGF是菱形， ∴BP∥GF， ∴∠GFE=∠ABE， ∴△GEF∽△EAB， ∴，
∴BE•EF=AB•GF=12×9=108．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B（0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线y=（k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．
（1）填空：OA= 6 ，k= ﹣6 ，点E的坐标为 （﹣，4） ；
（2）当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，﹣t2+5t﹣）与点N（﹣t﹣3，﹣t2+3t﹣）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点． ①当点P在双曲线y=上时，求证：直线MN与双曲线y=没有公共点；
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②当抛物线y=﹣x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值； ③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．

【分析】（1）根据题意将先关数据带入
（2）①用t表示直线MN解析式，及b，c，得到P点坐标带入双曲线y=解析式，证明关于t的方程无解即可；
②根据抛物线开口和对称轴，分别讨论抛物线过点B和在BD上时的情况； ③由②中部分结果，用t表示F、P点的纵坐标，求出t的取值范围及直线MN在四边形OAEB中所过的面积．
【解答】解：（1）∵A点坐标为（﹣6，0） ∴OA=6
∵过点C（﹣6，1）的双曲线y= ∴k=﹣6 y=4时，x=﹣
∴点E的坐标为（﹣，4） 故答案为：6，﹣6，（﹣，4）
（2）①设直线MN解析式为：y1=k1x+b1 由题意得：
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解得
∵抛物线y=﹣过点M、N
∴
解得
∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣x+5t﹣2 ∴顶点P坐标为（﹣1，5t﹣） ∵P在双曲线y=﹣上 ∴（5t﹣）×（﹣1）=﹣6 ∴t=
此时直线MN解析式为：
联立
∴8x2+35x+49=0
∵△=352﹣4×8×48=1225﹣1536＜0 ∴直线MN与双曲线y=﹣没有公共点．
②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点 ∴4=5t﹣2，得t=
当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点 ∴∴t=或t=，得t=

③∵点P的坐标为（﹣1，5t﹣）
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∴yP=5t﹣
当1≤t≤6时，yP随t的增大而增大 此时，点P在直线x=﹣1上向上运动 ∵点F的坐标为（0，﹣∴yF=﹣
）
∴当1≤t≤4时，随者yF随t的增大而增大 此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动 ∴1≤t≤4
当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3） 当t=4﹣时，直线MN过点A．
当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积为 S=
【点评】本题为二次函数与反比例函数综合题，考查了数形结合思想和分类讨论的数学思想．解题过程中，应注意充分利用字母t表示相关点坐标．

第28页（共28页）


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/55e1997c41323968011ca300a6c30c225901f035.html

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