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2021年辽宁职业学院单招数学模拟试题附答案解析

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辽宁职业学院单招数学模仿试题(附答案解析
一、选取题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目规定．
1．已知抛物线，则它焦点坐标是
A．B．C．D．
2．若一系列函数解析式相似，值域相似，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，
那么函数解析式为y=-x，值域为{-1，-9}“同族函数”共有
2
A．8个B．9个C．10个D．12个
3.下表是某班数学单元测试成绩单：
学号成绩
1135
2128
3135
…………
48108
4994
5097
所有同窗学号构成集合A，其相应数学分数构成集合B，集合A中每个学号与其分数相相应．下列说法：①这种相应是从集合A到集合B映射；②从集合A到集合B相应是函数；③数学成绩按学号顺序排列：135，128，135，…，108，94，97构成一种数列．以上说法对的是
A．①②B．①③C．②③D．①②③
4．已知x＝a＋a－2（a＞2），y＝(2
11
(b＜0，则x，y之间大小关系是
A．x＞yB．x＜yC．x＝yD．不能拟定

5．已知A是三角形内角，且sinA＋cosA=，则cos2A等于
A．B．－C．D．－
6．已知二面角和
所成角为
大小为，和是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使
是
A．∥，∥B．∥，
C．D．，∥
7．已知函数为
，若
反函数
，则
最小值为
A．1B．
C．D．
8.下图是某公司至四年来关于生产销售一张记录图表(注：利润＝销售额－生产成本.对这四年有如下几种说法:(1该公司利润逐年提高;
(2—该公司销售额增长率最快;
(3—该公司生产成本增长率最快;

(4—该公司利润增长幅度比—利润增长幅度大.
其中说法对的是
A.(1(2(3B.(1(3(4C.(1(2(4D.(2(3(4
9．在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每三个点可以构成一种三角形，如果随机选取三个点，正好构成直角三角形概率是
1
1
1
1
A．4B．3C．2D．5
10．抛物线上点A处切线与直线夹角为，则点A坐标为
A．(–1,1B．C．(1,1D．(–1,1或
11．设函数图象如右图所示，则导函数图像
也许为






A．B．C．D．
12．有限数列A＝(a1，a2，…，an，为其前项和，定义
S1＋S2＋…＋Sn
n
为A“凯森和”；如有项数
列(a1，a2，…，a“凯森和”为，则有项数列(1，a1，a2，…，a“凯森和”为（）
A．B．C．D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．圆x2＋y2＝2上到直线x－y－4＝0距离近来点坐标是_________。
14．设三棱锥三个侧面两两互相垂直，且侧棱长均为，则其外接球体积为。

15．点B是空间向量a=(2,1,2在xoy平面上射影,则=。
16．已知命题p：m≥1，命题q：2m2－9m＋10＜0，若p，q中有且仅有一种为真命题，则实数m取值范畴是______________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字阐明，证明过程或演算环节.17．(本小题满分12分
在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C对边，x＝（2a＋c，b），y＝(cosB，cosC，且
x·y＝0，
（1）求∠B大小；
（2）若b＝，求a＋c最大值。
18.(本小题满分12分
某基本系统是由四个整流二极管（串，并）联结而成。已知每个二极管可靠度为0.8（即正常工作概率为0.8），若规定系统可靠度不不大于0.85，请你设计出二极管各种也许联结方案（规定：画出相应设计图形，并有相应计算阐明）。

19．(本小题满分12分
如图，把正三角形ABC提成有限个全等小正三角形，且在每个小三角形顶点上都放置一种非零实数，使得任意两个相邻小三角形构成菱形两组相对顶点上实数乘积相等．设点A为第一

行，…，BC为第n行，记点A上数为a11，…，第i行中第j个数为aij（1≤j≤i）．若a11=1，
a21=，a22=．
（Ⅰ）求a31，a32，a33；
（Ⅱ）试归纳出第n行中第m个数anm表达式（用含n，m式子表达，不必证明）；
（Ⅲ）记Sn=an1+an2+…+ann，证明：
n≤≤．
20．(本小题满分12分
如图，在斜三棱柱是边长为2
中，底面
正三角形，G为它中心，侧面ABBA⊥底面
ABC，
侧棱AA1=2，且与底面成角，AG交BC于D点，
B1D与BC1交于E点．
（1）求证：GE∥侧面ABBA；
（2）求点E到侧面ABBA距离；
（3）求二面角B1－AD－B大小．



21．(本小题满分12分
已知f(x＝x＋ax＋bx＋c在x＝1与x＝－时，都获得极值．
(1求a，b值；
(2若f(－1=，求f(x单调区间和极值；
(3若对x∈[－1，2]均有f(x＜c恒成立，求c取值范畴．
3

22．（本小题满分14分）
在直角坐标平面内，已知a＝（x＋2，y），b＝（x－2，y），且|a|－|b|＝2．
（1）求点M（x，y）轨迹C方程；
AD
DB
（2）过点D（2，0）作倾斜角为锐角直线l与曲线C交于A、B两点，且→＝3→，求直线l方程；
（3）与否存在过D弦AB，使得AB中点Q在y轴上射影P满足PA⊥PB？如果存在，求出
AB弦长；如果不存在，请阐明理由．

参照答案及解析
一、选取题：

题号答案
1．D
1D
2B
3D
4A
5B
6C
7B
8D
9B
10D
11D
12B
抛物线为x2=4y，它焦点坐标是(0,1,选(D。
【点评】必要先把抛物线化为原则方程x2=4y,否则容易误选成(A。
2．B
定义域中也许有元素为1，-1，3，-3，并且在1与-1，3与-3中各至少有一种在定义域内．当定义域中只有2个元素时，可有{1，3}，{1，-3}与{-1，3}，{-1，-3}，共4种也许；当定义域中具有3个元素时，也许有1种也许．由4+4+1=9．选（B）。
=4种也许；当定义域中具有4个元素时，只
【点评】试题考查了分类讨论思想,分类时必要要”不重复,不漏掉”。
3．D
对每一种学号学生来说，这次考试均有唯一分数。她们之间存在一一相应关系。故①②③所有对的，选（D）。
【点评】要对的解答本题，必要要精确理解映射、函数、数列定义。
4．A
x＝（a-2）＋a－2+2
1
，y＝(2
1
<4。因此x。
【点评】本题考查了不等式性质。将a转化为(a-2+2是解题核心。
5．B

由sinA＋cosA=得,而A是三角形内角,因而。这
样,选(B。
【点评】注意三角形内角这一条件运用。
6．C当
时，两条异面直线
和所成角为
，选（C）。
【点评】考查了线面垂直关系以及异面直线所成角意义。
7．B
由条件知，a>0，b>0，且ab=16，因此
。
【点评】本题将反函数等知识与不等式进行了有机结合。
8．D
依照图象,易得第(2(3(4三种说法都是对的,选（D）。
【点评】本题考查了学生读图能力。
9．B
依照等也许性事件概率公式得，。
【点评】本题事实上是通过概率问题考查排列组合知识。
10．D

（文）设，则过点切线斜率为，由夹角公式即可求出=-1
或．从而选（D）。
【点评】试题重要考查函数切线以及直线夹角公式。
11．D
依照y=f(x图象单调性，考察导数值符号，选出答案为（D）。
【点评】本题考查了学生图形辨认能力，体现了多方面知识交汇。
12．B
依照题中所给“凯森和”定义，可得数列(1，a1，a2，…，a“凯森和”为，选（B）。
【点评】本题是“新定义”题型，是近年来高考数学热点题型。

二、填空题：
13．(1，－114．36π15．516．[1，2]∪[2，＋∞）
5
13．(1，－1
思路一：设动点坐标为，运用点到直线距离公式，然后求最小值得，此
时，从而点坐标是（1，-1）；思路二：作圆x2＋y2＝2与直线x－y
－4＝0平行直线，由图形位置，求出符合题意切点即为（1，-1）。

【点评】解析几何中有关公式与办法必要要纯熟掌握和运用。
14．36π
将三棱锥补成正方体，三棱锥外接球即为正方体外接球。由锥外接球体积为
。
得R=3，因而三棱
【点评】“割补法”是解决立体几何问题重要思想办法。
15．5
射影为点B(2,1,0，则=5。
【点评】要理解点在平面上投影概念。
16．[1，2]∪[2，＋∞）
5
命题q等价于
5
。分“p对的q错误”与“p错误q对的”两种状况讨论，易得成果
为[1，2]∪[2，＋∞）。
【点评】要精确把握“p，q中有且仅有一种为真命题”含义。

三、解答题：
17．（1）x·y＝（2a＋c）cosB＋bcosC＝0，
由正弦定理2sinAcosB＋sinCcosB＋sinBcosC＝0，
∴2sinAcosB＋sin(B＋C＝0∴sinA(2cosB＋1＝0．

∵A，B∈(0，π，∴sinA≠0，cosB＝－2，∴B＝3．
2π
12π
（2）法一：3＝a＋c－2accos3＝(a＋c－ac，
2
2
2
a＋c
(a＋c＝3＋ac≤3＋(2，∴(a＋c≤4，a＋c≤2．
2
2
2
∴当且仅当a＝c时，(a＋cmax＝2．
法二：2R＝sinB＝22＝2，A＋C＝3．
A＋C
A－C
A＋C
A－C
b33π
a＋c＝2(sinA＋sinC＝2[sin(2＋2＋sin(2－2]
＝4sin2cos2＝4×2cos2≤2．
A＋CA－C1A－C
当且仅当A＝C＝6时，(a＋cmax＝2．
π
【点评】本题体现了向量与三角知识交汇，小而巧。
18.⑴所有并联，可靠度1-＝0.9984＞0.85



⑵每两个串联后再并联，可靠度0.8704＞0.85
＝











⑶每两个并联后再串联，可靠度＝0.9216＞0.85



⑷三个串联后再与第四个并联，可靠度1-0.2＝0.9024＞0.85



⑸两个串联后再与第三、第四个并联，可靠度1-0.2
2
＝0.9856＞0.85




【点评】本题中将概率知识与物理学科综合设计，体现了各种知识交汇。对五种也许情形需要逐个讨论，较好地考查了学生分析问题和解决问题能力。

19.解：（Ⅰ），∴．，∴．
，∴．∴，，．
（Ⅱ）由=1，a21=，，……，
可归纳出，a21，a31，…，an1是公比为等比数列，故．
由a21=，a22=，，，，
可归纳出，an2，an3，…，ann是公比为等比数列，
故·，即．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
，∴，
∴≥=．

又≤，
∴1≤≤．∴
n≤≤．

【点评】本题中在平面图形背景下设计了一种数列问题,考查了数列通项与求和等基本知识点,显得较有新意。
20．（1）∵G为正△ABC中心，∴D为BC中点．
∴DE：EB1＝BD：B1C1＝1：2＝DG：GA．
∴GE//AB1．∵GE面AA1B1B，AB1面AA1B1B，
∴GE//面AA1B1B．
（2）由（1），E、G到平面AA1B1B等距离，
设CG交AB于F，则GF⊥AB．
3
3
∵面AA1B1B⊥面ABC，∴GF⊥面AA1B1B，GF＝6AB＝3．
3
∴E到面AA1B1B距离为3．
（3）作B1M⊥AB于M，则B1M⊥面ABC．
作MN⊥AD于N，连接B1N，则B1N⊥AD，因此∠B1NM为二面角B1－AD－B平面角．

∵面AA1B1B⊥面ABC，∴∠B1BM为侧棱与底面所成角，∠B1BM＝60°．
3
B1M＝B1Bsin60°＝，BM＝B1Bcos60°＝1，AM＝3，MN＝AMsin30°＝2．
B1M3333
tan∠B1NM＝，NM＝22＝3，∴二面角B1－AD－B为arctan3．
【点评】本题通过一种常用问题设计，研究了线与面和面与面之间位置关系、数量关系。
21．（1）f′(x＝3x＋2ax＋b＝0．
2
2
由题设，x＝1，x＝－3为f′(x＝0解．
2
2
b
2
1
－3a＝1－3，3＝1×(－3．∴a＝－2，b＝－2．
1
1
3
（2）f(x＝x－2x－2x＋c，由f(－1＝－1－2＋2＋c＝2，c＝1．
3
2
1
∴f(x＝x－2x－2x＋1．
3
2
2
2
xf′(x
（－∞，－3）
＋
2
（－3，1）
－
（1，＋∞）
＋
2
∴f(x递增区间为（－∞，－3），及（1，＋∞），递减区间为（－3，1）．
2
2
49
1
当x＝－3时，f(x有极大值，f(－3＝27；当x＝1时，f(x有极小值，f(1＝－2．
1
（3）由上，f′(x＝(x－1(3x＋2，f(x＝x－2x－2x＋c，
3
2
2
2
f(x在[－1，－3及（1，2］上递增，在（－3，1）递减．
2
8
2
4
22
f(－3＝－27－9＋5＋c＝c＋27．f(2＝8－2－4＋c＝c＋2．
3
c2＋2c－3
由题设，c＋2＜c恒成立，c＜0，∴c＜－3，或0＜c＜1．

【点评】导数知识作为现行教材中新增内容，在各类考试中均占有重要地位。本题将导数与函数、不等式知识有机结合，是高考中热点题型。
22．（1）∵|a|－|b|＝2，∴－＝2＜4．
∴M(x，y到点F（－2，0）和D（2，
0）距离差为2，
∴M点轨迹是以F、D为焦点，实轴长为2双曲线右支，
∴a＝1，c＝2，b＝3．
2
y2
∴M点轨迹方程是C：x－3＝1(x≥1．
2
AD
DB
（2）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵→＝3→，
∴（2－x1，－y1）＝3(x2－2，y2，∴y1＝－3y2，
设x＝my＋2，代入C：3(my＋2－y＝3，
2
2
(3m－1y＋12my＋9＝0．
2
2
－2y2＝y1＋y2＝3m2－1，－3y2＝y1y2＝3m2－1．
2
－12m9

∴(3m2－1＝3m2－1，12m＝1－3m，m＝15．
2
2
2
2
6m－31
由已知m＞0，l：x＝y＋2，即y＝(x－2．
法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），
AD
DB
∵→＝3→，∴（2－x1，－y1）＝3(x2－2，y2，∴x1＋3x2＝8，y1＝－3y2，
即
x1＋3x2＝8，③
，y1＝－3y2．④
由①②④消去y1、y2得
x12－9x22＝－8，
(x1－3x2(x1＋3x2＝－8，
将③代入得
x1－3x2＝－1．⑤
由③⑤解得x1＝27
，
代入①得，y15
1＝±2．
∴kl＝±（∵l倾斜角为锐角，∴kl＝－舍去），∴l：y＝(x－2．法三：设A、B在双曲线右准线l′上射影为A1，B1，
AB交l′于E，l倾斜角为θ（0＜θ＜2π
）．
则→DB→ADAD
|＝31
＝|AA1||BB1|
＝|EA||EB|
．∴|EB|＝21
|AB|＝21
×4|BD|，
|EB|＝2|BD|，又|BD|＝e|BB1|，∴|EB|＝2e|BB1|，∴e＝2．


∴cosθ＝|EB|＝4，tanθ＝，∴l：y＝(x－2．
|BB1|1
（3）法一：假设存在满足条件弦AB，则PQ为Rt△PAB斜边上中线，∴2|PQ|＝|AB|．
设Q（x0，y0），|PQ|＝x0．
y0＝2＝3m2－1，x0＝my0＋2＝3m2－1＋2＝3m2－1．
y1＋y2－6m－6m2－2
|PQ|＝3m2－1＞0，m＜3．
2
－21
(y1－y2＝(3m2－1－4×3m2－1＝36×
2
2
12m94m2＋1－3m2
2＝2．
m2＋1
|AB|＝(y1－y2＋(x1－x2＝(1＋m(y1－y2＝2．
2
2
2
2
2
m2＋1
4
2
m2＋12
∴|AB|＝1－3m2＝2|PQ|＝1－3m2，∴m＝－3，不也许成立．∴不存在满足条件弦．
2
法二：设PQ交双曲线右准线l′于P1，P1Q为梯形AA1B1B中位线，
1
1
1
2|PQ|＝|AA1|＋|BB1|＝e|AD|＋e|BD|＝e|AB|．∴|AB|＝4|PQ|．
假设存在满足条件弦AB，则PQ为Rt△PAB斜边上中线，
1
1
1
∴|PQ|＝2|AB|＝2|P1Q|，∴2＋|P1Q|＝2|P1Q|，|P1Q|＝2，
1
3
又|P1Q|≥2－2＝2，矛盾，∴不存在满足条件弦．
【点评】本题将向量与解析几何有机结合，考查了学生综合运用数学知识解决问题能力。


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/6a1e4c225cf7ba0d4a7302768e9951e79a89690b.html

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