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二次函数性质一览表

发布时间：2020-04-22 13:29:28 来源：文档文库

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二次函数性质一览表

表达式 (a≠0)	a值	图像	开口方向	对称轴	顶点坐标	增减性	最值	举例
①y=ax2	a＞0		向上	y轴	（0，0）	①当x＞0时，y随x的增大而增大 ②当x＜0时，y随x的增大而减小	当x=0时，y有最小值，即y最小值=0	y=x2 y=3x2
①y=ax2	a＜0		向下	y轴	（0，0）	①当x＞0时，y随x的增大而减小 ②当x＜0时，y随x的增大而增大	当x=0时，y有最大值，即y最大值=0	y=-5x2 y=x2
②y=ax2+k	a＞0		向上	y轴	（0，k）	①当x＞0时，y随x的增大而增大 ②当x＜0时，y随x的增大而减小	当x=0时，y有最小值，即y最小值=k	y=4x2+5 y=3x2-1
②y=ax2+k	a＜0		向下	y轴	（0，k）	①当x＞0时，y随x的增大而减小 ②当x＜0时，y随x的增大而增大	当x=0时，y有最大值，即y最大值=k	y=-2x2+3 y=-3x2-2
③y=a(x-h)2	a＞0		向上	直线x=h	（h，0）	①当x＞h时，y随x的增大而增大 ②当x＜0时，y随x的增大而减小	当x=h时，y有最小值，即y最小值=0	y=2(x-3)2 y=(x+2)2
③y=a(x-h)2	a＜0		向下	直线x=h	（h，0）	①当x＞h时，y随x的增大而减小 ②当x＜0时，y随x的增大而增大	当x=h时，y有最大值，即y最大值=0	y=-3(x-2)2 y=-2(x+1)2
④y=a(x-h)2+k	a＞0		向上	直线x=h	（h，k）	①当x＞h时，y随x的增大而增大 ②当x＜h时，y随x的增大而减小	当x=h时，y有最小值，即y最小值=k	y=5(x-2)2+1 y=2(x-1)2-3 y=3(x+1)2+2 y=4(x+2)2-4
④y=a(x-h)2+k	a＜0		向下	直线x=h	（h，k）	①当x＞h时，y随x的增大而减小 ②当x＜h时，y随x的增大而增大	当x=h时，y有最大值，即y最大值=k	y=-2(x-1)2+3 y=-3(x-2)2+1 y=-4(x+1)2+3 y=-5(x+2)2+4
⑤ y=ax2+bx+c 可化为： y=a(x+2+	a＞0		向上	直线x=-	（-，）	①当x＞-时，y随x的增大而增大 ②当x＜-时，y随x的增大而减小	当x=-时，y有最小值，即y最小值=	y=2x2+3x+4 y=3x2-3x+4 y=4x2-3x-4 y=5x2+3x-4
⑤ y=ax2+bx+c 可化为： y=a(x+2+	a＜0		向下	直线x=-	（-，）	①当x＞-时，y随x的增大而减小 ②当x＜-时，y随x的增大而增大	当x=-时，y有最大值，即 y最大值=	y=-2x2+3x+4 y=-3x2-3x+4 y=-4x2-3x-4 y=-5x2+3x-4

二次函数的有关知识

一、用代定系数法求二次函数表达式的方法(a≠0)：

1、一般式：y=ax2+bx+c [已知抛物线任意三点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)可设一般式求得]

2、顶点式：y=a(x-h)2+k [已知顶点坐标（h，k）和任意一点(x,y)可设顶点式求得]

3、两根式：y=a(x-x1)(x-x2) [已知抛物线与x轴是的两个交点（x1，0），（x2，0）和任意一点(x,y)可设两根式求得]

二、二次函数图象平移变换关系：

三、二次函数图象（抛物线）与x轴交点情况的判断：

y＝ax2+bx+c （a≠0，a、b、c都是常数）

四、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系：

1、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解。因此利用二次函数图象可求以x为未知

数的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解（从图象上进行判断）。

2、二次函数y＝ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横

坐标是一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解。

五、关于x轴、y轴对称的二次函数图象的关系：

二次函数y＝ax2+bx+c与y＝－ax2+bx+c关于x轴对称，即关于x轴对称的两个二次函数其二次项系数互为相反数，一次项系数

和常数项相同。

六、二次函数y＝ax2+bx+c,当a、b同号时，对称轴直线x＝－在x轴的负半轴，即y轴的左则；当a、b异号时，对称轴直线x＝

－在x轴的正半轴，即y轴的右则；当c＞0时，图象交于y轴的正半轴；当c＝0时图象一定过原点；当c＜0时，图象交于y轴

的负半轴。

七、任意一个二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0，不考虑b和c的取值)都可以化为y=a(x+2+的形式,即顶点坐标为(，),

当x=-时，y有最值，即y最值=,对称轴是直线x=-.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/71e2399331d4b14e852458fb770bf78a65293afd.html

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