2020年海南省高考数学试卷

2020年普通高等学校招生全国统一考试

数学(海南卷)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（ ）

A. {x|2<x≤3} B. {x|2≤x≤3}

C. {x|1≤x<4} D. {x|1<x<4}

【分析】

根据集合并集概念求解.

【详解】

故选：C

2.（ ）

A. 1 B. −1

C. i D. −i

【分析】

根据复数除法法则进行计算.

【详解】

故选：D

3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）

A. 120种 B. 90种

C. 60种 D. 30种

【分析】

分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.

【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；

然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；

最后剩下的名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有种.

故选：C

4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）

A. 20° B. 40°

C. 50° D. 90°

【分析】

画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点处的纬度，计算出晷针与点处的水平面所成角.

【详解】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，

根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得..

由于，所以，

由于，

所以，也即晷针与点处的水平面所成角为.

故选：B

5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）

A. 62% B. 56%

C. 46% D. 42%

【分析】

记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式可得结果.

【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，

则，，，

所以

所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.

故选：C.

6.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）

A. 1.2天 B. 1.8天

C. 2.5天 D. 3.5天

【分析】

根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.

【详解】因为，，，所以，所以，

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，

则，所以，所以，

所以天.

故选：B.

7.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（ ）

A. B.

C. D.

【分析】

首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.

【详解】

的模为2，根据正六边形的特征，

可以得到在方向上的投影的取值范围是，

结合向量数量积的定义式，

可知等于的模与在方向上的投影的乘积，

所以的取值范围是，

故选：A.

8.若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）

A. B.

C. D.

【分析】

首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.

【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，，

所以当时，，当时，，

所以由可得：

或或

解得或，

所以满足的的取值范围是，

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.已知曲线.（ ）

A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为

C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为

D. 若m=0，n>0，则C是两条直线

【分析】

结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.

【详解】对于A，若，则可化为，

因为，所以，

即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；

对于B，若，则可化为，

此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；

对于C，若，则可化为，

此时曲线表示双曲线，

由可得，故C正确；

对于D，若，则可化为，

，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；

故选：ACD.

10.下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）

A. B. C. D.

【分析】

首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.

【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,

当时，，

解得：，

即函数的解析式为：

.

而

故选：BC.

11.已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）

A. B.

C. D.

【分析】

根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.

【详解】对于A，，

当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，所以，故B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；

故选：ABD

12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（ ）

A 若n=1，则H(X)=0

B. 若n=2，则H(X)随着的增大而增大

C. 若，则H(X)随着n的增大而增大

D. 若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)

【分析】

对于A选项，求得，由此判断出A选项的正确性；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出，利用对数函数的性质可判断出C选项的正确性；对于D选项，计算出，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项的正确性.

【详解】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.

对于B选项，若，则，，

所以，

当时，，

当时，，

两者相等，所以B选项错误.

对于C选项，若，则

，

则随着的增大而增大，所以C选项正确.

对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）.

.

由于，所以，所以，

所以，

所以，所以D选项错误.

故选：AC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．

【分析】

先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.

【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，

又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：

代入抛物线方程消去y并化简得，

解法一：解得

所以

解法二：

设，则,

过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.

故答案为：

14.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．

【分析】

首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.

【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，

数列是以1首项，以3为公差的等差数列，

所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，

所以的前项和为，

故答案为：.

15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．

【分析】

利用求出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形的面积，求出直角的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.

【详解】设，由题意，，所以，

因为,所以，

因，所以，

因为与圆弧相切于点，所以，

即为等腰直角三角形；

在直角中，，，

因为，所以，

解得；

等腰直角面积为；

扇形的面积，

所以阴影部分的面积为.

故答案为：.

16.已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．

【分析】

根据已知条件易得，侧面，可得侧面与球面的交线上的点到的距离为，可得侧面与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结果.

【详解】如图：

取的中点为，的中点为，的中点为，

因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，

又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，

因为，所以侧面，

设为侧面与球面的交线上的点，则，

因为球的半径为，，所以，

所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，

因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，

因为，所以，

所以根据弧长公式可得.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【分析】

解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.

解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得的值，得到角的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.

【详解】解法一：

由可得：，

不妨设，

则：，即.

选择条件①的解析：

据此可得：，，此时.

选择条件②的解析：

据此可得：，

则：，此时：，则：.

选择条件③的解析：

可得，，

与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.

解法二：∵,

∴,

，

∴,∴,∴,∴,

若选①，,∵,∴,∴c=1;

若选②，,则,;

若选③,与条件矛盾.

18.已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）求.

【分析】

(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；

(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.

【详解】(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，

整理可得：，

，

数列的通项公式为：.

(2)由于：，故：

.

【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.

19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：

（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；

（2）根据所给数据，完成下面的列联表：

（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？

附：，

【分析】

（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；

（2）根据表格中数据可得列联表；

（3）计算出，结合临界值表可得结论.

【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数有天，

所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率为；

（2）由所给数据，可得列联表为：

（3）根据列联表中的数据可得

，

因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.

【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善列联表，考查了独立性检验，属于中档题.

20.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

（1）证明：l⊥平面PDC；

（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

【分析】

（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，从而得到平面；

（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得的最大值，即为直线与平面所成角的正弦值的最大值.

【详解】（1）证明：

在正方形中，，

因为平面，平面，

所以平面，

又因为平面，平面平面，

所以，

因为在四棱锥中，底面是正方形，所以

且平面，所以

因为

所以平面；

（2）如图建立空间直角坐标系，

因为，则有，

设，则有，

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，所以平面的一个法向量为，则

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号，

所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.

21.已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，

（1）求C的方程；

（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.

【分析】

(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；

(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.

【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.

当y=0时，解得，所以a=4，

椭圆过点M(2，3)，可得，

解得b2=12.

所以C的方程：.

(2)设与直线AM平行的直线方程为：，

如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.

联立直线方程与椭圆方程，

可得：，

化简可得：，

所以，即m2=64，解得m=±8，

与AM距离比较远的直线方程：，

直线AM方程为：，

点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，

利用平行线之间的距离公式可得：，

由两点之间距离公式可得.

所以△AMN的面积的最大值：.

22.已知函数．

（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．

【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；

（2）解法一：利用导数研究，得到函数得导函数的单调递增，当a=1时由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.

解法二：利用指数对数的运算可将,

令,上述不等式等价于,注意到的单调性，进一步等价转化为，令,利用导数求得，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a的对数不等式，解得a的取值范围.

【详解】（1），，.

，∴切点坐标为(1,1+e),

∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,

切线与坐标轴交点坐标分别为,

∴所求三角形面积为;

（2）解法一：,

，且

设,则

∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，

当时，,∴,∴成立.

当时， ，，,

∴存在唯一，使得，且当时，当时0' altImg='8baaf0ef5eac596ebf01a45909545fc1.png' w='75' h='21' class='_9'>，，，

因此

>1,

∴∴恒成立；

当时， ∴不是恒成立.

综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).

解法二：等价于

,

令,上述不等式等价于,

显然为单调增函数，∴又等价于，即，

令,则

在上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，

∴,

，∴a的取值范围是[1,+∞).

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/75b159d3f724ccbff121dd36a32d7375a517c64f.html