2017年广西柳州市中考数学试卷

2017年广西柳州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）

1．据统计，2017年柳州市工业总产值达4573亿，把4573用科学记数法表示为（　　）

A．4.573×103 B．45.73×102 C．4.573×104 D．0.4573×104

2．如图，茶杯的左视图是（　　）

A． B． C． D．

3．计算：2﹣=（　　）

A．3 B． C．2 D．1

4．小李同学掷一枚质地均匀的骰子，点数为2的一面朝上的概率为（　　）

A． B． C． D．

5．如图，与∠1是同旁内角的是（　　）

A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5

6．小黄同学在参加今年体育中考前进行了针对性训练，最近7次的训练成绩依次为：41，43，43，44，45，45，45，那么这组数据的中位数是（　　）

A．41 B．43 C．44 D．45

7．如图，在直线l上有A、B、C三点，则图中线段共有（　　）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

8．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（　　）

A．（3，﹣2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（2，﹣3）

9．下列图形中是中心对称图形的是（　　）

A．

正三角形 B．

正方形 C．

等腰梯形 D．

正五边形

10．在四边形ABCD中，若∠A+∠B+∠C=260°，则∠D的度数为（　　）

A．120° B．110° C．100° D．40°

11．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）

A． B． C． D．

12．分式方程的解为（　　）

A．x=2 B．x=﹣2 C．x=﹣ D．x=

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)

13．在反比例函数y=图象的每一支上，y随x的增大而______（用“增大”或“减小”填空）．

14．如图，在△ABC中，∠C=90°，则BC=______．

15．将抛物线y=2x2的图象向上平移1个单位后，所得抛物线的解析式为______．

16．分解因式：x2+xy=______．

17．如图，若▱ABCD的面积为20，BC=5，则边AD与BC间的距离为______．

18．某校2017（3）班的四个小组中，每个小组同学的平均身高大致相同，若：

第一小组同学身高的方差为1.7，第二小组同学身高的方差为1.9，

第三小组同学身高的方差为2.3，第四小组同学身高的方差为2.0，

则在这四个小组中身高最整齐的是第______小组．

三、解答题（本大题共8小题，满分66分）

19．在一次“社会主义核心价值观”知识竞赛中，四个小组回答正确题数情况如图，求这四个小组回答正确题数的平均数．

20．如图，请你求出阴影部分的面积（用含有x的代数式表示）．

21．如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比．

22．小陈妈妈做儿童服装生意，在“六一”这一天上午的销售中，某规格童装每件以60元的价格卖出，盈利20%，求这种规格童装每件的进价．

23．求证：等腰三角形的两个底角相等

（请根据图用符号表示已知和求证，并写出证明过程）

已知：

求证：

证明：

24．下表是世界人口增长趋势数据表：

（1）请你认真研究上面数据表，求出从1960年到2017年世界人口平均每年增长多少亿人；

（2）利用你在（1）中所得到的结论，以1960年30亿人口为基础，设计一个最能反映人口数量y关于年份x的函数关系式，并求出这个函数的解析式；

（3）利用你在（2）中所得的函数解析式，预测2020年世界人口将达到多少亿人．

25．如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足PE2=PA•PC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D．

（1）求证：△PAE∽△PEC；

（2）求证：PE为⊙O的切线；

（3）若∠B=30°，AP=AC，求证：DO=DP．

26．如图1，抛物线y=ax2+b的顶点坐标为（0，﹣1），且经过点A（﹣2，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若将抛物线y=ax2+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变，就得到了函数y=|ax2+b|图象上的任意一点，直线l是经过（0，1）且平行与x轴的直线，过点P作直线l的垂线，垂足为D，猜想并探究：PO与PD的差是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．

（注：在解题过程中，如果你觉得有困难，可以阅读下面的材料）

附阅读材料：

1．在平面直角坐标系中，若A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离为|AB|=，这个公式叫两点间距离公式．

例如：已知A，B两点的坐标分别为（﹣1，2），（2，﹣2），则A，B两点间的距离为|AB|==5．

2．因式分解：x4+2x2y2+y4=（x2+y2）2．

2017年广西柳州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）

1．据统计，2017年柳州市工业总产值达4573亿，把4573用科学记数法表示为（　　）

A．4.573×103 B．45.73×102 C．4.573×104 D．0.4573×104

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】根据科学计数法的定义解答．

【解答】解：4573=4.573×103，故选A．

2．如图，茶杯的左视图是（　　）

A． B． C． D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】根据左视图的定义即可得出结论．

【解答】解：茶杯的左视图是．

故选C．

3．计算：2﹣=（　　）

A．3 B． C．2 D．1

【考点】二次根式的加减法．

【分析】利用二次根式的加减运算性质进行计算即可．

【解答】解：

2﹣=（2﹣1）×=，

故选B．

4．小李同学掷一枚质地均匀的骰子，点数为2的一面朝上的概率为（　　）

A． B． C． D．

【考点】概率公式．

【分析】抛掷一枚质地均匀的骰子，有6种结果，每种结果等可能出现，点数为2的情况只有一种，即可求．

【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子，有6种结果，每种结果等可能出现，

出现“点数为2”的情况只有一种，

故所求概率为．

故选：A．

5．如图，与∠1是同旁内角的是（　　）

A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5

【考点】同位角、内错角、同旁内角．

【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义逐个判断即可．

【解答】解：A、∠1和∠2是对顶角，不是同旁内角，故本选项错误；

B、∠1和∠3是同位角，不是同旁内角，故本选项错误；

C、∠1和∠4是内错角，不是同旁内角，故本选项错误；

D、∠1和∠5是同旁内角，故本选项正确；

故选D．

6．小黄同学在参加今年体育中考前进行了针对性训练，最近7次的训练成绩依次为：41，43，43，44，45，45，45，那么这组数据的中位数是（　　）

A．41 B．43 C．44 D．45

【考点】中位数．

【分析】把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，由此即可确定这组数据中位数．

【解答】解：把这组数据从小到大排序后为41，43，43，44，45，45，45

其中第四个数据为44，

所以这组数据的中位数为44；

故选C．

7．如图，在直线l上有A、B、C三点，则图中线段共有（　　）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【考点】直线、射线、线段．

【分析】根据线段的概念求解．

【解答】解：图中线段有AB、AC、BC这3条，

故选：C．

8．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（　　）

A．（3，﹣2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（2，﹣3）

【考点】点的坐标．

【分析】根据平面直角坐标系以及点的坐标的 定义写出即可．

【解答】解：点P的坐标为（3，﹣2）．

故选A．

9．下列图形中是中心对称图形的是（　　）

A．

正三角形 B．

正方形 C．

等腰梯形 D．

正五边形

【考点】中心对称图形．

【分析】根据中心对称图形的定义可以判断哪个图形是中心对称图形，本题得以解决．

【解答】解：正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，

正方形是中心对称图形，

等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，

正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，

故选B．

10．在四边形ABCD中，若∠A+∠B+∠C=260°，则∠D的度数为（　　）

A．120° B．110° C．100° D．40°

【考点】多边形内角与外角．

【分析】根据四边形的内角和定理确定出所求角的度数即可．

【解答】解：∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A+∠B+∠C=260°，

∴∠D=100°，

故选C

11．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）

A． B． C． D．

【考点】在数轴上表示不等式的解集．

【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可．

【解答】解：原不等式组的解集为1＜x≤2，1处是空心圆点且折线向右；2处是实心圆点且折线向左，

故选：B．

12．分式方程的解为（　　）

A．x=2 B．x=﹣2 C．x=﹣ D．x=

【考点】解分式方程．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：2x=x﹣2，

解得：x=﹣2，

经检验x=﹣2是分式方程的解，

则分式方程的解为x=﹣2，

故选B

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)

13．在反比例函数y=图象的每一支上，y随x的增大而　减小　（用“增大”或“减小”填空）．

【考点】反比例函数的性质．

【分析】根据反比例函数的性质，依据比例系数k的符号即可确定．

【解答】解：∵k=2＞0，

∴y随x的增大而减小．

故答案是：减小．

14．如图，在△ABC中，∠C=90°，则BC=　4　．

【考点】勾股定理．

【分析】根据勾股定理列式计算即可．

【解答】解：由勾股定理得，BC==4，

故答案为：4．

15．将抛物线y=2x2的图象向上平移1个单位后，所得抛物线的解析式为　y=2x2+1　．

【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】根据左加右减，上加下减的规律，直接在函数上加1可得新函数．

【解答】解：∵抛物线y=2x2的图象向上平移1个单位，

∴平移后的抛物线的解析式为y=2x2+1．

故答案为：y=2x2+1．

16．分解因式：x2+xy=　x（x+y）　．

【考点】因式分解-提公因式法．

【分析】直接提取公因式x即可．

【解答】解：x2+xy=x（x+y）．

17．如图，若▱ABCD的面积为20，BC=5，则边AD与BC间的距离为　4　．

【考点】平行四边形的性质．

【分析】过A作AH⊥BC，根据平行四边形的面积公式可得5AH=20，解出AH的长，进而可得答案．

【解答】解：过A作AH⊥BC，

∵▱ABCD的面积为20，BC=5，

∴5AH=20，

AH=4，

∴边AD与BC间的距离为4，

故答案为：4．

18．某校2017（3）班的四个小组中，每个小组同学的平均身高大致相同，若：

第一小组同学身高的方差为1.7，第二小组同学身高的方差为1.9，

第三小组同学身高的方差为2.3，第四小组同学身高的方差为2.0，

则在这四个小组中身高最整齐的是第　一　小组．

【考点】方差．

【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，据此判断出在这四个小组中身高最整齐的是第几小组即可．

【解答】解：∵1.7＜1.9＜2.0＜2.3，

∴第一小组同学身高的方差最小，

∴在这四个小组中身高最整齐的是第一小组．

故答案为：一．

三、解答题（本大题共8小题，满分66分）

19．在一次“社会主义核心价值观”知识竞赛中，四个小组回答正确题数情况如图，求这四个小组回答正确题数的平均数．

【考点】加权平均数；条形统计图．

【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．

【解答】解：（6+12+16+10）÷4

=44÷4

=11

∴这四个小组回答正确题数的平均数是11．

20．如图，请你求出阴影部分的面积（用含有x的代数式表示）．

【考点】列代数式．

【分析】根据图形可以用代数式表示阴影部分的面积，本题得以解决．

【解答】解：由图可得，

阴影部分的面积是：x2+3x+3×2=x2+3x+6，

即阴影部分的面积是x2+3x+6．

21．如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比．

【考点】位似变换．

【分析】根据点B的坐标和点D的坐标，求出OB=4，OD=6，得出=，再根据△OAB与△OCD关于点O位似，从而求出△OAB与△OCD的相似比．

【解答】解：∵点B的坐标是（4，0），点D的坐标是（6，0），

∴OB=4，OD=6，

∴==，

∵△OAB与△OCD关于点O位似，

∴△OAB与△OCD的相似比．

22．小陈妈妈做儿童服装生意，在“六一”这一天上午的销售中，某规格童装每件以60元的价格卖出，盈利20%，求这种规格童装每件的进价．

【考点】一元一次方程的应用．

【分析】等量关系：售价为60元，盈利20%，即售价是进价的120%．

【解答】解：设这种规格童装每件的进价为x元，

根据题意得，（1+20%）x=60，

解方程得，x=50，

答：这种规格童装每件的进价为50元．

23．求证：等腰三角形的两个底角相等

（请根据图用符号表示已知和求证，并写出证明过程）

已知：

求证：

证明：

【考点】等腰三角形的性质．

【分析】充分理解题意，利用等腰三角形的性质，要根据题意画图，添加辅助线来证明结论．

【解答】解：已知：△ABC中，AB=AC，

求证：∠B=∠C；

证明：如图，过D作BC⊥AD，垂足为点D，

∵AB=AC，AD=AD，

在Rt△ABD与Rt△ACD中，，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）

∴∠B=∠C．

24．下表是世界人口增长趋势数据表：

（1）请你认真研究上面数据表，求出从1960年到2017年世界人口平均每年增长多少亿人；

（2）利用你在（1）中所得到的结论，以1960年30亿人口为基础，设计一个最能反映人口数量y关于年份x的函数关系式，并求出这个函数的解析式；

（3）利用你在（2）中所得的函数解析式，预测2020年世界人口将达到多少亿人．

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）根据增长的人口数除以年数，求得从1960年到2017年世界人口平均每年增长的数量；

（2）根据待定系数法求得人口数量y关于年份x的函数关系式，再进行检验即可；

（3）在所得的函数解析式中，求得当x=2020时运动值即可．

【解答】解：（1）从1960年到2017年世界人口平均每年增长（69﹣30）÷=39÷50=0.78（亿）；

（2）假设人口数量y关于年份x的函数关系式为y=kx+b，则

将x=1960，y=30；x=1974，y=40代入，得

解得

∴函数关系式为y=x﹣1370

检验：当x=1987时，y≈50；

当x=1999时，y≈58；

当x=2017时，y≈66；

∴人口数量y与年份x之间的函数关系基本符合y=x﹣1370；

（3）当x=2020时，y=×2020﹣1370≈73

∴2020年世界人口将达到73亿人．

25．如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足PE2=PA•PC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D．

（1）求证：△PAE∽△PEC；

（2）求证：PE为⊙O的切线；

（3）若∠B=30°，AP=AC，求证：DO=DP．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）利用两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似即可；

（2）连接BE，转化出∠OEB=∠PCE，又由相似得出∠PEA=∠PCE，从而用直径所对的圆周角是直角，转化出∠OEP=90°即可；

（3）构造全等三角形，先找出OD与PA的关系，再用等积式找出PE与PA的关系，从而判断出OD=PE，得出△ODM≌△PDE即可．

【解答】解：（1）∵PE2=PA•PC，

∴，

∵∠APE=∠EPC，

∴△PAE∽△PEC；

（2）如图1，

连接BE，

∴∠OBE=∠OEB，

∵∠OBE=∠PCE，

∴∠OEB=∠PCE，

∵△PAE∽△PEC，

∴∠PEA=∠PCE，

∴∠PEA=∠OEB，

∵AB为直径，

∴∠AEB=90°，

∴∠OEB+∠OEA=90°，

∵∠PEA+∠OEA=90°，

∴∠OEP=90°，

∵点E在⊙O上，

∴PE是⊙O的切线；

（3）如图，

过点O作OD⊥AC于M，

∴AM=AC，

∵BC⊥AC，

∴OD∥BC，

∵∠ABC=30°，

∴∠AOD=30°，

∴OD=AM=AC，

∵AP=AC，

∴OD=AP，

∵PC=AC+AP=2AP+AP=3AP，

∴PE2=PA×PC=PA×3PA，

∴PE=PA，

∴OD=PE，

∵∠PED=∠OMD=90°，∠ODM=∠PDE，

∴△ODM≌△PDE，

∴OD=DP．

26．如图1，抛物线y=ax2+b的顶点坐标为（0，﹣1），且经过点A（﹣2，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若将抛物线y=ax2+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变，就得到了函数y=|ax2+b|图象上的任意一点，直线l是经过（0，1）且平行与x轴的直线，过点P作直线l的垂线，垂足为D，猜想并探究：PO与PD的差是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．

（注：在解题过程中，如果你觉得有困难，可以阅读下面的材料）

附阅读材料：

1．在平面直角坐标系中，若A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离为|AB|=，这个公式叫两点间距离公式．

例如：已知A，B两点的坐标分别为（﹣1，2），（2，﹣2），则A，B两点间的距离为|AB|==5．

2．因式分解：x4+2x2y2+y4=（x2+y2）2．

【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与系数的关系；坐标与图形变化-对称．

【分析】（1）待定系数法求解可得；

（2）先根据题意表示出翻折后抛物线解析式，再求出y=1时x的值，继而可分﹣2≤x≤2、﹣2≤x＜﹣2或2、x＜﹣2或x＞2三种情况，根据两点间距离公式列式表示出PO与PD的差即可得出答案．

【解答】解：（1）根据题意设抛物线解析式为y=ax2﹣1，

将点A（﹣2，0）代入，得：4a﹣1=0，

解得：a=，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣1；

（2）如图，

根据题意，当﹣2≤x≤2时，y=﹣x2+1；

当x＜﹣2或x＞2时，y=x2﹣1；

由可得点M（﹣2，1）、点N（2，1），

①当﹣2≤x≤2时，设点P坐标为（a，﹣a2+1），

则PO﹣PD=﹣[1﹣（﹣a2+1）]

=a2+1﹣a2

=1；

②当﹣2≤x＜﹣2或2时，设点P的坐标为（a， a2﹣1），

则PO﹣PD=﹣[1﹣（a2﹣1）]

=a2+1﹣2+a2

=a2﹣1；

③当x＜﹣2或x＞2时，设点P的坐标为（a， a2﹣1），

则PO﹣PD=﹣[（a2﹣1）﹣1]

=a2+1﹣a2+2

=3；

综上，当x＜﹣2、﹣2≤x≤2或x＞2时，PO与PD的差为定值．

2017年9月20日

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/773061cf7d1cfad6195f312b3169a4517623e543.html