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2005年高考理科数学(福建卷)试题及答案

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2005年高考理科数学福建卷试题及答案
源头学子小屋


本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
祝各位考生考试顺利！

第I卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．复数z1的共轭复数是
1i C．1i
D．1i D．64 D．3
2（ ）

A．11i
22B．11i
222．已知等差数列{an}中，a7a916,a41，则a12的值是

A．15 B．30 C．31 （ ）
3．在△ABC中，∠C=90°，AB(k,1,AC(2,3,则k的值是

A．5 B．－5 C．3
2（ ）
4．已知直线m、n与平面,，给出下列三个命题： ①若m//,n//,则m//n; ②若m//,n,则nm; ③若m,m//,则. 其中真命题的个数是

A．0 B．1 5．函数f(xaxb
C．2
D．3 y（ ）
的图象如图，其中a、b为常数，（ ）
则下列结论正确的是

A．a1,b0
211-1Ox



B．a1,b0 C．0a1,b0 D．0a1,b0
（ ）
6．函数ysin(x(xR,0,02的部分图象如图，则

A．265C．, D．,
4444,4 B．3,
y1O13x7．已知p：|2x3|1,q:x(x30,则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，
AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中 点，则异面直线A1E与GF所成的角是（ ）

A．arccos15
5D1A1EDC1B1GABFC．arccos10
59．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ） A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
 4D．
2B．Cx2y210．已知F1、F2是双曲线221(a0,b0的两焦点，以线段F1F2为边作正三角ab形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A．423
2B．31
2C．31
2D．31
11．设a,bR,a2b6,则ab的最小值是
（ ）

A．22 B．53
3C．－3 D．7
212．f(x是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(20在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A．2
B．3
C．4
D．5 （ ）




第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置
613．(2x展开式中的常数项是 （用数字作答）
1x2xy0,14．非负实数x,y满足则x3y的最大值为

xy30,1bb2bn1 . 15．若常数b满足|b|>1，则limnbn16．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：
若函数f(x3log2x的图象与g(x的图象关于____对称，则函数g(x=______
（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知2x0,sinxcosx1. 5 （I）求sinx－cosx的值；
3sin2
（Ⅱ）求xxxx2sincoscos22222的值. tanxcotx 18．（本小题满分12分）
甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与，投中得1分，投不中得0分. 25（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率； 19．（本小题满分12分）
已知函数f(xax6的图象在点M（－1，f(x）处的切线方程为x+2y+5=0. x2b（Ⅰ）求函数y=f(x的解析式； （Ⅱ）求函数y=f(x的单调区间.


20．（本小题满分12分）
如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. （Ⅰ）求证AE⊥平面BCE； CD（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小； （Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.
FA
B
E 21．（本小题满分12分）
x2y2已知方向向量为v=(1,3的直线l过点（0，－23）和椭圆C：221(ab0ab的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上. （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足OMON∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.
46cot3yEOx
22．（本小题满分14分）
已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+1我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如an当a=1时，得到无穷数列：1,2,3511,,;当a时,得到有穷数列:,1,0. 2322（Ⅰ）求当a为何值时a4=0； （Ⅱ）设数列{bn}满足b1=－1, bn+1=1求证a取数列{bn}中的任一个数，(nN，bn1都可以得到一个有穷数列{an}；
（Ⅲ）若3an2(n4，求a的取值范围. 2


2005年高考理科数学福建卷试题及答案
参考答案
1． B． 2． A．3． A． 4． C． 5． D． 6． C． 7． A． 8． D． 9． B． 10． D． 11． C． 12． D？． 12．解答：∵f(x是奇函数，∴f(0＝0
∵f(x是以3为周期，f(2＝0 ∴f(3＝f(0＋3＝f(0＝0 f(5＝f(2＋3＝f(2＝0

∵f(－1＝f(2－3＝f(2＝0；f(x是奇函数，f(－1＝－f(1＝0。∴f(1＝0 f(4＝f(1＋3＝f(1＝0
∵f(x是以3为周期，∴f(1.5＝f(1.5－3＝f(－1.5＝－f(1.5

也就是f(1.5＝－f(1.5，即2f(1.5＝0, f(1.5＝0 f(4.5＝f(1.5＋3＝0
由此可见，f(x＝0在区间(0,6内的解有7个，分别是：1、2、3、4、5、1.5、4.5 四个选项中都没有正确答案

说明出题者当时忽视了f(4.5＝f(1.5＝0也成立的情况
构造出符合四个条件（1）定义在R上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f(2=0的一个函数f(x=sin2π4πx+sinx，图像如下： 33yf(x=sin24x+sinx33o11.52344.556x
只需后面再加上一项sin2πx，图像如下：
yf(x=sin24x+sinx+sin2x33o94313422315494221456x


就可以在上一个原有的根不变的的基础上增加四个根：若再增加一项：sin4πx 391521,,,, 4444y24f(x=sinx+sinx+sin2x+sin4x33o579444313242171921444315495246x在前一个原有的根不变的基础上又可以增加四个根：,,的函数的根就有15个！

13． 240 14． 9 15．
571719,,这样符合四个条件4444
1. b116．①x轴 ,3log2x②y轴 ,3log2(x
③原点 ,3log2(x④直线yx ,2x3
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知2x0,sinxcosx1. 5 （I）求sinx－cosx的值；
3sin2
（Ⅱ）求xxxx2sincoscos22222的值. tanxcotx 本题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、各个象限内三角函数符号的特点等基本知识，以及推理和运算能力 解法一：（Ⅰ）由sinxcosx 即 2sinxcosx 又24.2511,平方得sin2x2sinxcosxcos2x, 52549(sinxcosx212sinxcosx.
252x0,sinx0,cosx0,sinxcosx0,
75 故 sinxcosx.


3sin2 （Ⅱ）xxxxxsincoscos22sin2sinx122222
sinxcosxtanxcosxcosxsinxsinxcosx(2cosxsinx 121108
((22551251sinxcosx,① 解法二：（Ⅰ）联立方程 5sin2cos2x1.②
1cosx,将其代入②，整理得25cos2x5cosx120,
53sinx,345 cos x或cosx.x0,4552cosx.57 故 sinxcosx.
5xxxxx3sin2sincoscos22sin2sinx122222 （Ⅱ）
sinxcosxtanxcotxcosxsinx 由①得sinxsinxcosx(2cosxsinx 3443108
((25555125
18．（本小题满分12分）
甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与，投中得1分，投不中得0分. 25（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率； 本题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力 解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则
P(A1213,P(B,P(A,P(B. 2525ξ
P 0 1 2 甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，则ξ概率分布为：
3
1031192 E0 1025101 21
5

答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为9. 10 （Ⅱ）“甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中”的事件是“甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球均未命中”的事件C的对立事件，
911223而PCCC2 2255100020202∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为1PC答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为19．（本小题满分12分）
已知函数f(x91
10091
100ax6的图象在点M（－1，f(x）处的切线方程为x+2y+5=0. x2b（Ⅰ）求函数y=f(x的解析式； （Ⅱ）求函数y=f(x的单调区间. 本题考查函数的单调性，导数的运用等知识，考察运用数学知识、分析问题和解决问题的能力
解：由函数f(x的图像在点M（-1，f1）处的切线的方程为x+2y+5=0,知112f150,即f12,f'1，
2f'xax2b2xax6x2b2,
a61b2a22x6a1b2a6,解得，∴fx2
1b3x3221b（II）f'x2x212x6x232，
由f'x0得到3-23x323；
由f'x0得到，x323或x323
所以函数f(x 在(,323,(323,上单调递减，在(323,323上单调递增
20．（本小题满分12分）
如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. （Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；
DCAEFB

（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小； （Ⅲ）求点D到平面ACE的距离. 本题主要考查直线、直线和平面基点和平面的距离等基础知识，考察空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力
（I）BF平面ACE,BFAE,
二面角D-AB-E为直二面角，平面ABCD平面ABE，
又BCAB，BC平面ABE，BCAE,
又BF平面BCE，BFBC=B，AE平面BCE。
（II）连结AC、BD交于G，连结FG，∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∵BF⊥平面ACE，∴FG⊥AC，∠FGB为二面角B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=2， 在直角三角形BCE中，CE=BC2BE26,BFBCBE222 CE632BFBGDG在正方形中，BG=2，在直角三角形BFG中，sinFGB36
32C∴二面角B-AC-E为arcsin6
3（III）由（II）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，D到平面ACB的距离等于B到平面ACE的距离，BF⊥平面ACE，线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为D到平面ACE的距离所AFOEB以D到平面的距离为2323
3另法：过点E作EOAB交AB于点O. OE=1. ∵二面角D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD. 设D到平面ACE的距离为h，VDACEVEACD, SACBh1ADDCEOAE平面BCE，AEEC. h21AEEC2131SACDEO.
3122123 2.13262∴点D到平面ACE的距离为解法二：
23.
3

（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图. AE面BCE，BE面BCE， AEBE，
在RtAEB中,AB2,O为AB的中点，
OE1.A(0,1,0,E(1,0,0,C(0,1,2.
AE(1,1,0,AC(0,2,2. 设平面AEC的一个法向量为n(x,y,z， AEn0,xy0,则 即2y2x0.ACn0,
解得yx,
zx,

令x1,得n(1,1,1是平面AEC的一个法向量. D又平面BAC的一个法向量为m(1,0,0，
zMCcos(m,nm,n|m||n|133.
3
3∴二面角B—AC—E的大小为arccos.
3AxFOByE（III）∵AD//z轴，AD=2，∴AD(0,0,2，
∴点D到平面ACE的距离d|AD||cosAD,n21．（本小题满分12分）
|ADn||n|2323.
3x2y2已知方向向量为v=(1,3的直线l过点（0，－23）和椭圆C：221(ab0ab的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上. （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足OMONy46cot∠MON≠0（O为原点）.3EOx若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.
本题考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力


（I）解法一：直线l:y3x23， ①

过原点垂直l的直线方程为y解①②得x3x， ② 33.
2∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，
a2323.
c2∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）. x2y21. ③ c2,a6,b2. 故椭圆C的方程为6222解法二：直线l:y3x33. pq32322设原点关于直线l对称点为（p，q），则解得p=3. 3q1.p∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，
a23. ∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）. cx2y21. ③ c2,a6,b2. 故椭圆C的方程为6222（II）解法一：设M（x1,y1），N（x2,y2）. 当直线m不垂直x轴时，直线m:yk(x2代入③，整理得
M(3k21x212k2x12k260,
NEOx12k212k26x1x22,x1x2,
3k13k21|MN|1k2(x1x24x1x21k2212k2212k2626(1k2
(24,223k13k13k1点O到直线MN的距离d|2k|1k2




OMON44cosMON6cotMON,即 |OM||ON|cosMON60, 33sinMON4246,SOMN6.|MN|d6, 333yM|OM||ON|sinMON即46|k|k2146(3k21.
3
整理得k213,k. 3326. 3ENOx当直线m垂直x轴时，也满足SOMN故直线m的方程为y
323x, 33
或y323x,或x2. 33
经检验上述直线均满足OMON0. 所以所求直线方程为y323323x,或x2. x,或y3333解法二：设M（x1,y1），N（x2,y2）.
当直线m不垂直x轴时，直线m:k(x2代入③，整理得



12k2, (3k1x12kx12k60, x1x223k12222∵E（－2，0）是椭圆C的左焦点， ∴|MN|=|ME|+|NE| 2222=e(ax1e(ax2c(x1x22a2(12k2626(k1.
cca3k213k216 以下与解法一相同. 解法三：设M（x1,y1），N（x2,y2）.
设直线m:xty2，代入③，整理得(t3y4ty20.
22 y1y2
4t2,yy, 12t23t234t28|y1y2|(y1y24y1y2(22t3t324t224. 22(t3

OMON46cotMON,
3即 |OM||ON|cosMON46cosMON0,
3sinMON
|OM||ON|sinMON426,SOMN6. 33
SOMNSOEMSOEN1|OE||y1y2|2
24t224.
(t232
24t2242426∴=，整理得t3t. 223(t3解得t3,或t0.


故直线m的方程为y323323x,或x2. x,或y3333
经检验上述直线方程为OMON0. 所以所求直线方程为y
323323x,或x2. x,或y333322．（本小题满分14分）
已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+1我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如an当a=1时，得到无穷数列：1,2,3511,,;当a时,得到有穷数列:,1,0. 2322（Ⅰ）求当a为何值时a4=0； （Ⅱ）设数列{bn}满足b1=－1, bn+1=1求证a取数列{bn}中的任一个数，(nN，bn1都可以得到一个有穷数列{an}； （Ⅲ）若3an2(n4，求a的取值范围. 2本题主要考查数列不等式的基础知识，考察逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力 （I）解法1：an111112,an,a40,a31,a2,aa1; anan11231a12a13a22,a2.a3,a4,a40,a anaa1a13a1a,an11解法2：（II）


bn111,bn1,若a取数列{bn}的一个数bn,即abn, bn1bn111111bn1,a311bn2,, a1bna2bn110 an1则a21an1b11,an1所以数列{an}只能有n项为有穷数列 （III）解法一：因为
13121an12an1332an2n4n5n5an12n5 3223a22an12n12所以
3333a2an2n4a422a0 2222a1这就是所求的取值范围 解法二：
a1a,an111a12a13a25a38a5,a2.a3,a4,a5,a6, anaa12a13a25a3为运算方便，引入Fibonacci数列：
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233„ 令F01,F11,F22,F33,F45,F58,F613, 当n＞1时，Fn+2- Fn+1 ＝ Fn，而 F0F11
容易观察得到 anFn1aFn2 n4
Fn2aFn333an2n4a422233an2n4a5222所以，当a0时，对于n6，

特别地，由an2n633a22a0 22a135a32a0 23a2323Fn1aFn22n6 2Fn2aFn33Fn2a3Fn32Fn1a2Fn24Fn2a4Fn3


3Fn2a3Fn32Fn1a2Fn2 2Fn1a2Fn24Fn2a4Fn33F2Fn2(2Fn13Fn2a n32F4F(4F2Fan3n2n1n2Fn32Fn4(2Fn3Fn2a 2F2F(2F2Fan3n2n3n4FFn4(Fn3Fn4an5
2F2Fan5n4FFn5an6恒成立；所以a0

FFan4n5所以3an2n4a0
2这就是所求的取值范围


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/79f7f6926e1aff00bed5b9f3f90f76c660374c7f.html

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