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2004年高考浙江卷理科数学试题及答案

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普通高等学校招生全国统一考试数学（理工类）（浙江卷）
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分
一.选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1 若 U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则 CU(M∪N=
(A {1,2,3} (B {2} 2 (C {1,3,4} 2 (D {4} (2 点 P 从(1,0出发,沿单位圆 x y 1逆时针方向运动 标为

2弧长到达 Q 点,则 Q 的坐
3
(A (
, 1 3 2 2 3
2
(B (
1 , 2
2 3
(C ( ,
1
2 1 (D ( 3 ,
2 2
(3 已知等差数列an 的公差为 2,若 a1 ,a 3 , a4 成等比数列, 则 a 2 = (A –4 2 (B –6 (C –8 (D –10 (4曲线 y 4x 关于直线 x=2 对称的曲线方程是

(A y 8 4x
2 (B y 4x 8 (C y 16 4x 2 2 (D y 4x 16 2 (5 设 z=x—y ,式中变量 x 和 y 满足条件
(A 1
x y 3 0 则 z 的最小值为
x 2 y 0, (D –3 (B –1 (C 3 (6 已知复数 z1 3 4i, z2 t i ,且 z1 z2 是实数,则实数
t= (A 3 4
(B 4 3
(C
-- 4 3
(D
-- 3 4
(7 若( x

(A 8 2 n 展开式中存在常数项,则 n 的值可以是 3
x(B 9 (C 10 (D 12 (8在ΔABC 中,“A>30º”是“sinA> ”的
1
2
x 2 y 2
1(a b 0 的左、右焦点分别为 F1、F2，线段 F1F2 被抛物线 y2=2bx (9若椭圆 2
2 a b 的焦点分成 5：3 两段，则此椭圆的离心率为
(A 充分而不必要条件 (C 充分必要条件 (B 必要而不充分条件 (D 既不充分也必要条件
1

（A）
16

17
4 17 （B）
17
（C）
4

5
（D）
2 5 5
（10）如图，在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中已知 AB=1，D 在棱 BB1 上，且 BD=1，若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为α，则α=
（A）
3
（B）
4
104
（C） arcsin （D） arcsin 6 4
（11）设 f (x 是函数 f(x的导函数，y= f (x 的图象 如图所示，则 y= f(x的图象最有可能的是
（12）若 f (x 和 g(x都是定义在实数集 R 上的函数，且方程 x f [g(x] 0有实数解，

则 g[ f (x]不可能是 ．．．（A） x x

2 1（B） x x

2 1（C） x

2 1（D） x

2 15
5 5
第Ⅱ卷 （非选择题 共 90 分）
5
二.填空题：三大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分。把答案填在题中横线上。 （13）已知 f (x

1, x 0, 则不等式
x (x 2 f (x 2 ≤5 的解集是

1, x0,
。
（ 14 ） 已 知 平 面 上 三 点 A 、 B 、 C 满 足 | AB |=3 ， | BC |=4 ， | CA |=5 ，

则
2




AB · BC + BC · CA + CA · AB 的值等于 。
（15）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿 x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳 1 个单位，经过 5 次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种（用数字作答）。 （16）已知平面α和平面交于直线l ，P 是空间一点，PA⊥α，垂足为 A，PB⊥β，垂足为 B，且 PA=1，PB=2，若点 A 在β内的射影与点 B 在α内的射影重合，则点 P 到l 的距离为 。 三. 解答题：本大题共 6 小题，满分 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本题满分 12 分） 在ΔABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且cos A 。 （Ⅰ）求sin 2 1 B C 2
3
cos 2 A 的值；
（Ⅱ）若 a 3 ，求 bc 的最大值。



（18） （本题满分 12 分）
盒子中有大小相同的球 10 个，其中标号为 1 的球 3 个，标号为 2 的球 4 个，标号为 5 的球 3 个，第一次从盒子中任取 1 个球，放回后第二次再任取 1 个球（假设取到每个球的可能性都相同）。记第一次与第二次取到球的标号之和为ε。 （Ⅰ）求随机变量ε的分布列； （Ⅱ）求随机变量ε的期望 Eε。


（19）（本题满分 12 分）
如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，

AB= 2 ，AF=1，M 是线段 EF 的中点。 （Ⅰ）求证 AM∥平面 BDE； （Ⅱ）求二面角 A—DF—B 的大小；


（20）（本题满分 12 分）
设曲线 y
e

x


t (x ≥0）在点 M（t, e）处的切线l 与 x 轴 y 轴所围成的三角形面
3
积为 S（t）。
（Ⅰ）求切线l 的方程；
（Ⅱ）求 S（t）的最大值。



（21）（本题满分 12 分）
已知双曲线的中心在原点，右顶点为 A（1，0）点 P、Q 在双曲线的右支上，支 M（m,0）到直线 AP 的距离为 1。
3
（Ⅰ）若直线 AP 的斜率为 k，且 k [ , 3]，求实数 m 的
3
取值范围；

（Ⅱ）当 m 2 1时，ΔAPQ 的内心恰好是点 M，求此双曲 线的方程。


（22）（本题满分 14 分）
如图，ΔOBC 的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设 P 为线段 BC 的中点,P2 为线段 CO 的中点,P3 为线 段 OP1 的中点,对于每一个正整数 n,Pn+3 为线段 PnPn+1 的中点,令 Pn 的坐标为(xn,yn,

1 a y y y. n2 n n1
2 n （Ⅰ）求 a1 , a2 ,a 3 及 an ;



（Ⅱ）证明 y n4
y 1 n , n N
; 4

(Ⅲ若记b n N , 证明b n y 4n4 y 4, n n 是等比数列.

数学答案(理工类
一.选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1. D 2.A 3.B 4.C 5.A 6.A 7.C 8.B 9.D 10.D 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分.
11.C 12.B 3( 13. , ]
2

14. 14 --25 15. 5 16. 5
三.解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分.
4
17. (本题满分 12 分 解: (Ⅰ sin 2 B C 2
cos 2 A 1 2 2 1 2 = (1 cos A (2 cos A 1 2 1 12 = (1 ( 1 2 3 9 1=

9

= [1 cos(B C] (2 cos A 1
b 2 c 2 a 2 cos A 1
(Ⅱ ∵
2bc 3
2 2 2 2 2 ∴ bc b c a 2bc a , 3
又∵ a 3 ∴ bc
. 9 4
当且仅当 b=c= 时,bc= ,故 bc 的最大值是
. 3 2
9
9 4 4
(18 (满分 12 分
解: (Ⅰ由题意可得,随机变量ε的取值是 2、3、4、6、7、10。随机变量ε的概率分布列如下
ε 2 3 4 6 7 P 0.09 0.24 0.16 0.18 0.24 随机变量ε的数学期望
Eε=2×0.09+3×0.24+4×0.13+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2. (19 (满分 12 分 方法一
解: (Ⅰ记 AC 与 BD 的交点为 O,连接
OE, ∵O、M 分别是 AC、EF 的中点，ACEF 是矩形， ∴四边形 AOEM 是平行四边形， ∴AM∥OE。 ∵ OE 平面 BDE， AM 平面 BDE， ∴AM∥平面 BDE。
(Ⅱ在平面 AFD 中过 A 作 AS⊥DF 于 S，连结 BS， ∵AB⊥AF， AB⊥AD， AD AF A, ∴AB⊥平面 ADF，
∴AS 是 BS 在平面 ADF 上的射影，

10 0.09 答案 word 版+微信
5
由三垂线定理得 BS⊥DF。
∴∠BSA 是二面角 A—DF—B 的平面角。

在 RtΔASB 中， AS 
6 , AB 2, 3
∴ tan ASB 3, ASB 60,
∴二面角 A—DF—B 的大小为 60º。
（Ⅲ）设 CP=t（0≤t≤2）,作 PQ⊥AB 于 Q，则 PQ∥AD， ∵PQ⊥AB，PQ⊥AF， AB AF A ， ∴PQ⊥平面 ABF， QE 平面 ABF， ∴PQ⊥QF。
在 RtΔPQF 中，∠FPQ=60º， PF=2PQ。
∵ΔPAQ 为等腰直角三角形，

∴ PQ 2 2
(2 t. 又∵ΔPAF 为直角三角形，

2 ∴ PF (2 t 1 ，





∴ (2 t 1 2 2 2 (2 t. 2

所以 t=1 或 t=3(舍去 即点 P 是 AC 的中点。
方法二
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。设 AC BD N ，连接 NE，

则点 N、E 的坐标分别是（

2 2
, ,0 、 （0,0,1）, 2 2 ∴NE=( 2 , 2 ,1 , 2 2 2 2 2 2 又点 A、M 的坐标分别是

（ 2，2，0）、（

, ,1 ∴ AM=（
2 , 2 ,1 2 2 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信
“hehezmv”
6
∴NE=AM 且 NE 与 AM 不共线， ∴NE∥AM。
又∵ NE 平面 BDE， AM 平面 BDE， ∴AM∥平面 BDF。
（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF AD A, ∴AB⊥平面 ADF。
∴ AB (2,0,0为平面 DAF 的法向量。

∵NE·DB=（
2 2
,2 2
,1 · ( 2, 2,0 =0，


∴NE·NF=（

2 , 2 ,1 · ( 2, 2,0 =0 得
2 2

NE⊥DB，NE⊥NF，
∴NE 为平面 BDF 的法向量。 ∴cos= 1 2
∴AB 与 NE 的夹角是 60º。
即所求二面角 A—DF—B 的大小是 60º。

（Ⅲ）设 P(t,t,0(0≤t≤ 2 得

PF ( 2 t, 2 t,1,
∴CD=（ 2 ，0，0）
又∵PF 和 CD 所成的角是 60º。

∴ cos 60 

( 2 t 2


( 2 t2 ( 2 t2 1
2
解得t 2 或t 3 2 （舍去），
2 2
即点 P 是 AC 的中点。
（20）（满分 12 分） 解：（Ⅰ）因为 f (x (e
x
e x ,
所以切线l 的斜率为 e,
t 故切线l 的方程为 y e e(x t.即ex y e(t 1 0 。
t t t 1

7
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8
（Ⅱ）令 y=0 得 x=t+1, 又令 x=0 得 y et (t 1 所以 S（t）= 1 (t 1 e1 (t 1 = 1 2 (t 12 e1 2 从而 S (t 1 e1 (1 t(1 t. 2
∵当t （0，1）时， S (t>0, 当t （1,+∞）时, S (t <0, 所以 S(t的最大值为 S(1= (21 (满分 12 分
解: (Ⅰ由条件得直线 AP 的方程 y k (x 1, 即 kx y k 0. 因为点 M 到直线 AP 的距离为 1, ∵ mk k 1, k 2 1 即 m 1 k 2 1 k
1 1k
2 . ∵ k [ 3 , 3
3], ∴
2 3 3
m 1 2, 解得
2 3 +1≤m≤3 或--1≤m≤1-- 2 3 . 3 3 ∴m 的取值范围是[1,1
2 3 3 ] [1
2 3 3 ,3]. 2 (Ⅱ可设双曲线方程为 x 2 y b 2 1(b 0, M ( 2 1,0, A(1,0, 9












由

得 AM 2 .
又因为 M 是ΔAPQ 的内心,M 到 AP 的距离为 1,所以∠MAP=45º,直线 AM 是∠PAQ 的角平分线,且 M 到 AQ、PQ 的距离均为 1。因此，k AP 1, k AQ 1（不妨设 P 在第一象限）
直线 PQ 方程为 x 2 2 。




直线 AP 的方程 y=x-1,







2 ∴解得 P 的坐标是（2+ 2 ，1+ 2
），将 P 点坐标代入 x 2y b 2 1得，


b 2 2 1
2 3
所以所求双曲线方程为 x 2
( 2 3 2
2 1 y 1,
即 x 2 (2 2 1 y 2 1.
（22）（满分 14 分）
解：(Ⅰ因为 y1 y2 y4 1, y3 1 , y 2 5

3 ， 4


所以 a1 a 2 ayn yn1 3 2 ，又由题意可知 y n3 2
∴
a n1
1 y 2 n1 y n2 yn3 1
= 2 yn1 y y n yn2
2
n1 = 1 2 y n yn1
yn2 an , ∴ an 为常数列。 ∴ a
n a 1 2, n N . (Ⅱ将等式
1 2 y n yn1
yn2 2 两边除以 2，得
1
yyn1 yn2 4 n 2
1, 10



又∵ y n4 y n1 yn2 2
yn 1 . ∴ yn4 4

yy（Ⅲ）∵
b
y
y (1 4n4 (1
4n
n1 4n3 4n4 4 4 =
1 ( y y
4 4n4 4n

= 1 4 n b , 又∵ b1 y3 y4

1 0, 4 ∴ b 是公比为
1 的等比数列。
n 4
11



本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/10343f0e0b75f46527d3240c844769eae109a3d5.html

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