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河南省中原名校2018届高三上学期第五次联考数学(理)试卷含答案

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中原名校2017—2018学年第五次质量考评
高三数学（理）试题第Ⅰ卷选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合Ax|x3x40,By|yA．1,4B．1,4C．2.已知aR，若（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知等比数列an的前n项和为Sn，且S324,S6216，则数列an的公比为（）A．3B．

2


2x31，则AIB（）


33,4D．,4
22
a2i
是纯虚数，则在复平面内，复数zaii2018所对应的点位于4i
11
C．D．232
2
4.已知抛物线C:y2pxp0的焦点为F，准线为l，且l过点2,3，M在抛物线C上，若点N1,2，则MNMF的最小值为（）A．2B．3C.4D．5
5.运行该程序框图，若输出的x的值为16，则判断框中不可能填（）

A．k5B．k4C.k9D．k7
6.已知网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的

表面积为（）

A．36417C.36217

52B．36417

51


51D．364175

y73x
7.已知实数x,y满足xy1，则z2x5y20的最大值为（）
x3y13
A．2B．8C.11D．15
44x1,x2
8.已知函数fx，若在区间1,上存在xii1,2,L,n，2
3x24x36,x2
使得
fxi
k0k4，则n的取值不可能为（）xi
A．1B．2C.3D．4
9.已知三棱锥PABC中PAPB2PC2，ABC是边长为3的正三角形，则三棱锥PABC的外接球半径为（）A．
57B．5C.D．722
10.老师在四个不同的盒子里面放了4张不同的扑克牌，分别是红桃A，梅花A，方片A以及黑桃A，让明、小红、小张、小李四个人进行猜测：
小明说：第1个盒子里面放的是梅花A，第3个盒子里面放的是方片A；小红说：第2个盒子里面饭的是梅花A，第3个盒子里放的是黑桃A；小张说：第4个盒子里面放的是黑桃A，第2个盒子里面放的是方片A；小李说：第4个盒子里面放的是红桃A，第3个盒子里面放的是方片A；
老师说：“小明、小红、小张、小李，你们都只说对了一半．”则可以推测，第4个盒子里装的是（）

A．红桃A或黑桃AB．红桃A或梅花AC.黑桃A或方片AD．黑桃A或梅花A11.已知函数fx2sinx0,


2
，过点A

,0，B,2，则且123
当x
35
,，且gx2mfxsin4x的最大值为，则m的值为（）
621212

515151
B．C.和D．和828282
m
12.已知函数fxxm1lnx,m0，当x1,e时，fx0恒成立，则实
x
A．
数m的取值范围为（）
A．0,B．1,C.0,1D．
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
121,2
urrurrurr
13.已知向量m2,3,n1,3，则m2n在m2n方向上的投影为．
14.sin22sincos3cos2，则cos2tan2．
x2y2
15.已知双曲线C:221ab0的左、右焦点分别为F1,F2，点
ab
P0,y0y00，以OP为直径的圆与直线y
上，若
b
x的交点为O,M，且点M在线段PF2a
SMF2OSPMO
7，则双曲线C的离心率为．
16.已知等差数列an的前n项和为Sn，且S315,a7a934，数列和为Tn，且对于任意的nN*,Tn
1
的前n项aann1
an11
，则实数t的取值范围为．t
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.如图所示，ABC中，
B
ruuur2uuu
,BDBC01,AD3BD3,AC13．3
（1）求证：ABD是等腰三角形；（2）求的值以及ABC的面积．

18.2017年10月18日上午9：00，中国共产党第十九次全国代表大会在人民大会堂开幕．习近平代表第十八届中央委员会向大会作了题为《决胜全面建成小康社会夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利》的报告．全国各地、国外网友观众通过手机、互联网、电视等方式，都在关注十九大盛况．某调查网站从观看十九大的观众中随机选出200人，经统计这200人中通过传统的传媒方式电视端口观看的人数与通过新型的传煤PC端口观看的人数之比为4：1．将这200人中通过传统的传煤方式电视端口观看的观众按年龄分组：第1组15,25，第2组25,35，第3组35,45，第4组45,55，第5组55,65，得到的频率分布直方图如图所示．



（1）求a的值及通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄；
（2）把年龄在第1，2，3组的观众称青少年组，年龄在第4，5组的观众称为中老年组，若选出的200人中通过新型的传媒PC端口观看的中老年人有12人，问是否有90%的把握认为是否通过新型的传媒PC端口观看十九大与年龄有关？附：
Pk2k0
0.100.050.0100.0050.001

k0
2.7063.8416.6357.87910.828
19.如图，在四棱锥SABCD中，二面角SADB的大小为90°，AB//CD，
DCB1350，ABCDDS2AD2AS22，
uuuruuuruuuruur
DEEC,SFSB01．
（1）求证：ADSC；
（2）试确定的值，使得直线EF与平面SDC所成的角的正弦值为
221286
2
．

x2y2
20.已知椭圆C:221ab0的左右焦点分别为F1,F2，若椭圆上一点P满足
ab
且椭圆C过点1,，过点R4,0的直线l与椭圆C交于两点E,F．PF1PF24，
2

3
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点E是点E在x轴上的垂足，延长EE交椭圆C于N，求证：N,F2F三点共线．21.已知fxmxlnx．
（1）若关于x的方程fxx1在0,上恒成立，求m的值；
1
1
1
1
（2）证明：当nN时，en
*
2
1
gen
2
2
gen
2
3
Lge4n4．
2
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系中，曲线C:xy6x8y0，直线l1:x3y0，直线
2
2
l2:3xy0，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）写出曲线C的参数方程以及直线l1,l2的极坐标方程；

（2）若直线l1与曲线C分别交于O,A两点，直线l2与曲线C分别交于O,B两点，求AOB的面积．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数fx2x2x3．（1）解不等式：fx3x2；（2）若函数fx
试卷答案
一、选择题
1-5:ABDBD6-10:BCDAA11、12：BC二、填空题13.
1
p的解集包含2,3，求实数p的取值范围．x
27114.15.2216.0,162520
三、解答题
ADBD
，
sinBsinBAD
BDsinB12
则sinBAD，∴BAD,ADB，
AD26366
17.【解析】（1）在ABD中，由正弦定理得∴ABD是等腰三角形；
方法二：在ABD中，由余弦定理可得，AB2BD22ABgBDgcosBAD2，解得AB2AB20，解得AB1BD，∴ABD是等腰三角形；（2）由（1）知：BADBDA

6
，故ABBD1，
在ACD中，由余弦定理：AC2AD2CD22ADgCDgcosADC，即133CD22g3gCDg

3，2
整理得CD23CD100，解得CD5（舍去），CD2，∴BCBDCD3，故
1
；3

∴SABC
11333ABBCsinB13．2224
18.【解析】（1）由频率分布直方图可得：100.010.015a0.030.011得a0.035，所以通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄为：
20100.0130100.01540100.03550100.0360100.0141.5，
由题意得22列联表
通过新型的传媒PC端口观看十九大
青少年（人）中老年（人）合计（人）
281240
2
通过传统的传媒方式电视端口观看十九大9664160
合计
12476200
20028641296
K21.35822.706，
4016012476
所以没有90%的把握认为是否通过新型的传媒PC端口观看十九大与年龄有关．
19.【解析】（1）证明：因为AB//CD，且ABCD，故四边形ABCD为平行四边形；
00
连接AC，因为AB22,BC2,DCB135,ABC45，
22g2gcos454，由余弦定理得AC842g
得AC2，所以ACB900，即BCAC，又AD//BC，
所以ADAC，又ADAS2,DS22，所以SAAD,ASIACA，所以
20
AD平面SAC，所以ADSC；
（2）

因为二面角SADB的大小为90°，SAAD，所以SA底面ABCD，所以直线

AC,AD,AS两两互相垂直，以A为原点，直线AD,AC,AS坐标轴，建立如图所示空间直
角坐标系Axyz，则A0,0,0,D2,0,0,C0,2,0,B2,2,0,E1,1,0,S0,0,2，
uuuruuuruur
所以SC0,2,2,SD2,0,2,SB2,2,2，则uuur
SF2,2,2,F2,2,22，
uuurr
所以EF21,21,22，设平面SDC的法向量为nx,y,z，由
ruuurruuur
ngSC0,ngSD0，
r2y2z0
得，令x1，得n1,1,1．
2x2z0
uuurrEFgn222
依题意，uuu，化简可得22，rr
2
3EFgn1286
即3
1，解得
33
．2
x2y23
2120.【解析】（1）依题意，PF1PF22a4，故a2，将1,代入
24b
中，
x2y2
1；解得b3，故椭圆C:43
2
（2）由题知直线l的斜率必存在，设l的方程为ykx4，点Ex1,y1,Fx2,y2,Nx1,y1，联立
ykx4222
得3x4kx412，22
3x4y12
32k264k212
,x1x2即34kx32kx64k120,0,x1x2，
34k234k2
2
2
2
2
由题可得直线FN方程为yy1
y2y1
xx1，
x2x1
又∵y1kx14,y2kx24，∴直线FN方程为ykx14
kx24kx14
xx1，
x2x1

2xx4x1x2x1x24x2x124x1
令y0，整理得xx112
x1x28x1x28
64k21232k224
24222
34k34k34k1，即直线FN过点1,0，
32k232k22432k2
82
34k34k2
又∵椭圆C的右焦点坐标为F21,0，∴三点N,F2,F在同一条直线上．21.【解析】令Fxfxx1mxlnxx1,x0,，若m0,f22mln210，与已知矛盾，
若m0，则fxx1，显然不满足在0,上Fx0恒成立，若m0，对fx求导可得Fxmlnxm1，由Fx0解得xe
1m
m
，由Fx0解得0xe
1mm
，
m1m
1mm0,ee,∴Fx在上单调递减，在上单调递增，
m1m1m
1
Fem1mem，∴要使fxx1恒成立，则须使1mem0成

∴Fxmin立，即e
1m1
mm
恒成立，两边取对数得，
1m11
ln，整理得lnm10，即须此式成立，
mmm
令gmlnm
1m1
1，则gm2，显然当0m1时，gm0，当m1时，mm
gm0，于是函数gm的0,1上单调递减，在1,单调递增，
∴gmming10，即当且仅当m1时，FxminF10,Fxx1恒成立，∴m1满足条件，综上所述，m1．
（2）由（1）知x1时，xlnxx1，即lnx
x1
恒成立，x
n21n21n21*
nNln1令x，即，n2n2n21n21

即
1122
，同理，lnn1lnnlnn22lnn21，22
n1n2112222
lnn3lnn2,Lln4n1ln4n2，22
n34n1122
ln4nln4n1，2
4n
将上式左右相加得：
11114n222
L2ln4nlnnln2ln42ln2，n21n22n234nn
即e
1
L2
n1n2n34n
2
1

1
2

11111
2
4，即en
2
1
gen
2
2
gen
2
3
Lge4n4．
2
2
22.【解析】①依题意，曲线C:x3y425，故曲线C的参数方程是
2
x35cos
(为参数，
y45sin
因为直线l1:x3y0，直线l2:3y0，故l1,l2的极坐标方程为
l1:

6
R,l2:R；
3

（2）易知曲线C的极坐标方程为6cos8sin，把

6
代入6cos8sin，得1433，∴A433,


，6
把

3
代入6cos8sin，得2343，∴B343,


，3
∴SAOB
11253
．12sinAOB433343sin12
22436

23.【解析】（1）依题意，2x2x33x2；
1
，故x3；233
当3x1时，原式化为22xx33x2，解得x，故3x；
44
当x3，原式化为22xx33x2，解得x当x1时，原式化为2x2x33x2，无解；综上所述，不等式fx3x2的解集为,；
4

3

1
p在2,3上恒成立；x
1113
则3x1p在2,3上恒成立；即321p，故p；
x22
（2）依题意，2x2x3故实数p的取值范围为,

13．2

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/8ba5f8a88562caaedd3383c4bb4cf7ec4afeb60d.html

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