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七年级数学全册单元测试卷测试卷附答案

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七年级数学全册单元测试卷测试卷附答案

一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）
1．如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD．
（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，∠MON＝________°；
（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数；
（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜120），则n＝________时，∠MON＝2∠BOC．
【答案】（1）100
（2）解：①当0＜n＜60°时，∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°－n，∠BOD=60°－n，∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=∠AOC+n+∠BOD=（120°-n）+n+（60°－n）=100°；


②当60°＜n＜120°时，∠AOC=120°－n，∠COD=60°，∠BOD=n-60°，∠MOC=∠AOC，∠DON=∠BOD，∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=（120°-n）+60°+（n-60°）=100°．





综上所述：∠MON的度数恒为100°

（3）解：①当0＜n＜60°时，∠BOC=n，∠MON=2n，∴∠MON=
（120°+n）+60°-
（60°+n）=100°；解得：n=50°；

②当60°＜n＜120°时，∠AOC=360°-（120°+n）=240°－n，∠BOD=60°+n，∴∠MON=360°－∠AOM－∠AOB－∠BON=360°－n=70°．
（240°-n）－120°－
（60°+n）=140°，解得：
综上所述：n=50°或70°
【解析】【解答】解：（1）∠MON=∠AOB+∠COD=100°；
【分析】（1）由∠AOM＝∠AOC，∠AOC=∠AOB，∠AOC=∠AOM+∠MOC得出∠MOC=∠AOB，又∠BON＝∠BOD，从而由∠MON=∠AOB+∠COD即可算出答案；
（2）需要分类讨论：①当0＜n＜60°时，根据旋转的性质得出∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°－n，∠BOD=60°－n，由∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON整体替换再化简即可得出答案；②当60°＜n＜120°时，根据旋转的性质得出∠AOC=120°－n，∠COD=60°，∠BOD=n-60°，∠MOC=∠AOC，∠DON=∠BOD，由∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON整体替换再化简即可得出答案；
（3）分类讨论：①当0＜n＜60°时，∠BOC=n，∠MON=2n，又∠MON=∠MOB+∠BOC-∠NOC=（120°+n）+60°-（60°+n）=100°，从而列出方程，求解得出n的值；②当60°＜n＜120°时，∠BOC=n，∠MON=2n，∠AOC=360°-（120°+n）=240°－n，∠BOD=60°+n，又∠MON=360°－∠AOM－∠AOB－∠BON，从而整体整体代入化简并列出方程，求解即可。




2．如图，C为线段AB上一点，点D为BC的中点，且AB＝18cm，AC＝4CD．

（1）图中共有________条线段；（2）求AC的长；
（3）若点E在直线AB上，且EA＝2cm，求BE的长．【答案】（1）解：图中有四个点，线段有故答案为：6；
．

（2）解：由点D为BC的中点，得BC＝2CD＝2BD，由线段的和差，得
AB＝AC+BC，即4CD+2CD＝18，解得CD＝3，AC＝4CD＝4×3＝12cm

（3）解：①当点E在线段AB上时，由线段的和差，得BE＝AB﹣AE＝18﹣2＝16cm，
②当点E在线段BA的延长线上，由线段的和差，得BE＝AB+AE＝18+2＝20cm．综上所述：BE的长为16cm或20cm．【解析】【分析】（1）线段的个数为
，n为点的个数.（2）由题意易推出CD的长
度，再算出AC＝4CD即可.（3）E点可在A点的两边讨论即可.

3．一副直角三角板（其中一个三角板的内角是45°,45°,90°,•另一个是30°,60°,90°）

（1）如图①放置，AB⊥AD,∠CAE=________，BC与AD的位置关系是________；
（2）在（1）的基础上，再拿一个30°,60°,90°的直角三角板，如图②放置，将AC′边和AD边重合，AE是∠CAB′的角平分线吗，如果是，请加以说明，如果不是，请说明理由.



（3）根据（1）（2）的计算，请解决下列问题：
如图③∠BAD=90°，∠BAC=∠FAD=（是锐角），将一个45°,45°,90°直角三角板的一直角边与AD边重合，锐角顶点A与∠BAD的顶点重合，AE是∠CAF的角平分线吗？如果是，请加以说明，如果不是，请说明理由.【答案】（1）15°；BC与AD相互平行（2）解：AE是∠CAB′的角平分线.
理由如下：如图②，∵∠EAD=45°，∠B′AC′=30°，∴∠EAB′=∠EAD－∠B′AC′=15°.又由（1）知，∠CAE=15°，
∴∠CAE=∠EAB′，即AE是∠CAB′的角平分线

（3）解：AE是∠CAF的角平分线.
理由如下：如图③，∵∠EAD=45°，∠BAD=90°，∴∠BAE=∠DAE=45°，又∵∠BAC=∠FAD=α，
∴∠BAE－∠BAC=∠DAE－∠FAD，∴∠CAE=∠FAE，即AE是∠CAF的角平分线【解析】【解答】（1）解：∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，
∴∠CAE=90°－45°－30°=15°，∵AB⊥AD，AB⊥BC，∴BC与AD相互平行
【分析】（1）∠CAE=∠BAD－∠BAC－∠EAD=15°，因为AB⊥AD，AB⊥BC，
所以BC与AD相互平行；（2）先计算出∠EAB′=∠EAD－∠B′AC′=15°，由（1）可得∠EAB′=∠CAE，所以AE是∠CAB′的角平分线；（3）分别计算出∠CAE=∠FAE=45°－α，所以AE是∠CAF的角平分线.

4．学习千万条，思考第一条。请你用本学期所学知识探究以下问题：（1）已知点为直线内部作射线．①如图1，三角板的一边
与射线
重合，且
恰好平分
，若以点为观察中心，，且
，求
射线表示正北方向，求射线表示的方向；②如图2，将三角板放置到如图位置，使
的度数.
上一点，将直角三角板
的直角顶点放在点处，并在





（2）已知点平分
，用含
不在同一条直线上，的式子表示
的大小.
，
平分
，

【答案】（1）解：①∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，∴射线OC表示的方向为北偏东60°②∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，∴3∠NOC+∠NOC＝90°，∴4∠NOC＝90°，∴∠BON＝2∠NOC＝45°，∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°

（2）解：①如图1：
∵∠AOB＝α，∠BOC＝β

∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠AOM＝∠BOM＝∠AOB＝α，∠CON＝∠BON＝∠COB＝β，∴∠MON＝∠BOM+∠CON＝②如图2，
；




∠MON＝∠BOM﹣∠BON＝③如图3，
；

∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝∴∠MON为
或
或
．…
．
【解析】【分析】（1）①根据∠MOC=∠AOC-∠AOM代入数据计算，即得出射线OC表示的方向；②根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解；（2）分射线OC在∠AOB内部和外部两种情况讨论即可．

5．如图所示，O为一个模拟钟面圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA运动速度为每秒30，OB运动速度为每秒10，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为t秒，试解决下列问题：

（1）如图①，若OA顺时针转动，OB逆时针转动，=________秒时，OA与OB第一次重合；
（2）如图②，若OA、OB同时顺时针转动，



①当=3秒时，∠AOB=________；
②当为何值时，三条射线OA、OB、ON其中一条射线是另两条射线夹角的角平分线？________【答案】（1）4.5（2）
；解：由题意知
，
∴∠BON＝10t，∠AON＝180－30t(0≤t≤6，∠AON＝30t－180(6当ON为∠AOB的角平分线时，有180－30t＝10t，解得：t＝4.5；
当OA为∠BON的角平分线时，10t＝2(30t－180，解得：t＝7.2；
当OB为∠AON的角平分线时，30t－180＝2×10t，解得：t＝18（舍去）；
∴经过4.5，7.2秒时，射线OA、OB、ON其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线【解析】【解答】（1）解：若OA顺时针转动，OB逆时针转动，∴∠AOM+∠BON=180,∴解得：∴
故答案为：4.5
2）解：①若OA、OB同时顺时针转动，∴∴
故答案为：120；
【分析】（1）设t秒后第一次重合．根据题意，列出方程，解方程即可；（2）①利用180减去OA转动的角度，加上OB转动的角度，即可得到答案；
②先用t的代数式表示∠BON和∠AON，然后分为三种情况进行讨论：当ON、OA、OB为角平分线时，分别求出t的值，即可得到答案.
，
；
，
；
秒，OA与OB第一次重合；
，

6．如图，是一条射线，、分别是
和
的平分线.




（1）如图①，当（2）如图②，当射线（3）当射线在（4）当射线________.【答案】（1）
在
在
时，则
的度数为________；
、
、、
三角之间有、

内绕点旋转时，
怎样的数量关系？并说明理由;
外如图③所示位置时，（2）中三个角：外如图④所示位置时，
、
、
之间数量关系的结论是否还成立？给出结论并说明理由；
之间数量关系是

（2）解：∠DOE＝∠DOC＋∠EOC＝∠AOC＋∠BOC＝∠BOE＋∠DOA（3）解：当射线OC在∠AOB的外部时（1）中的结论不成立.理由是：∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线∴∠COD＝∠AOC，∠EOC＝∠BOC，
∠DOE＝∠COD−∠EOC＝∠AOC−∠BOC＝∠AOD−∠BOE

（4）
；
【解析】【解答】（1）解：当射线OC在∠AOB的内部时，∵OD，OE分别为∠AOC，∠BOC的角平分线，∴∠DOC＝∠AOC，∠EOC＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠DOC＋∠EOC＝（∠AOC＋∠BOC）＝∠AOB，若∠AOB＝80°，则∠DOE的度数为40°.
故答案为：40；（4）∵OD，OE分别为∠AOC，∠BOC的角平分线，∴∠DOC＝∠AOD，∠EOC＝∠BOE，∴∠DOE＝∠DOC＋∠EOC＝∠BOE＋∠DOA.
故∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系是∠DOE＝∠BOE＋∠DOA.故答案为：∠DOE＝∠BOE＋∠DOA.
【分析】（1）（2）根据角平分线定义得出∠DOC＝∠AOC，∠EOC＝∠BOC，求出∠DOE＝（∠AOC＋∠BOC）＝AOB，即可得出答案；（3）根据角平分线定义得出∠DOC＝∠AOC，∠EOC＝∠BOC，求出∠DOE＝（∠AOC−∠BOC）＝∠AOB，即可得出答案；（4）根据角平分线定义即可求解.




7．已知点O在直线MN上，过点O作射线OP，使∠MOP=130°，将一块直角三角板的直角顶点始终放在点O处．

（1）如图①，当三角板的一边OA在射线OM上，另一边OB在直线MN的上方时，求∠POB的度数；
（2）若将三角板绕点O旋转至图②所示的位置，此时OB恰好平分∠PON，求∠BOP和∠AOM的度数；
（3）若将三角板绕点O旋转至图③所示位置，此时OA在∠PON的内部，若OP所在的直线平分∠MOB，求∠POA的度数；
【答案】（1）解：∠POB=∠MOP-∠AOB=130°-90°=40°．（2）解：∵∠MON是平角，∠MOP=130°，∴∠PON=∠MON-∠MOP=180°-130°=50°∵OB平分∠PON，∴∠BOP=∠PON=25°∵∠AOB=90゜，
∴∠AOP=∠AOB-∠BOP=90°-25°=65°∴∠MOA=∠MOP-∠AOP=130°-65°=65°；

（3）解：如图，OE是PO的延长线，
∵∠MOP=130°∴∠MOE=50°

∵OE是∠MOB的平分线，∴∠MOB=100°，∴∠BON=80°∵∠AOB=90°
∴∠AON=∠AOB-∠BON=90°-80°=10°∴∠POA=∠PON-∠AON=50°-10°=40°
【解析】【分析】（1）根据题意，∠POB=∠POA-∠AOB代入数据即可求出结论；（2）根



据题意，∠PON=180°-∠POM,又根据角平分线的定义可得∠POB=∠NOB=,代入已知
即可求解；再根据余角定义求出∠POA的度数；（3）从已知条件可得，∠MOE=180°-∠MOP,再根据角平分线的定义得∠MOB=2∠MOE,∠NOA=180°-∠MOB,∠AON=90°-∠BON,∠POB=∠PON-∠AON,代入求值即可．

8．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，边ON与直线AB重合.

（1）如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，当射线ON平分∠BOC时，请判断∠AOM与∠MOC的大小关系，并说明理由；
（2）如图1，若∠BOC=60°，将三角板MON从图所示位置开始绕点O逆时针旋转，①当射线OC恰好平分∠MOB时，求∠BON和∠AOM的度数；
②若三角板MON绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转一周，则经过几秒时间，∠MOC=2∠BON？
【答案】（1）解：∵ON平分∠BOC∴∠NOC=∠BON
∵∠NOC+∠MOC=90°，∠NOB+∠MOA=90°∴∠MOC=∠MOA

（2）解：①如图，
∵∠AOC+∠BOC=180°∵∠BOC=60°∴∠AOC=120°∵OC恰好平分∠MOB∴∠MOC=∠BOC=60°∴∠AOM=60°




∵∠NOC+∠MOC=90°∴∠NOC=30°∴∠BON=30°
②如图，设∠BON=x,则∠MOC=2x∵∠BOC=60°∠NOB+∠NOC=90°∴∠NOC=60°-x∵∠COM+∠NOC=90°∴x=30°30÷5=6(秒
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义即可得到结论；（2）①如图，根据角平分线定义得到∠BOM=2∠BOC=120°，根据角的和差即可得到结论；②根据已知条件得到∠MOC=2∠NOC，根据∠COM+∠NOC=90°，列方程即可得到结论.

9．问题情境：如图1，AB∥CD，∠A=30°，∠C=40°，求∠AEC的度数.小明的思路是：



（1）初步尝试：按小明的思路，求得∠AEC的度数；之间有何数量关系?请说明理由；

（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点E、F为AB、CD内部两点，问∠A、∠E、∠F和∠D（3）应用拓展：如图3，AB∥CD，点E、F为AB、CD内部两点，如果∠E+∠EFG=160°，请直接写出∠B与∠D之问的数量关系.【答案】（1）解：如图，过E作EM∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥ME∥CD，∴∠AEC=∠A+∠C=70°；

∴∠A=∠AEM，∠C=∠CEM，




（2）解：∠A+∠EFD=∠AEF+∠D
理由如下：过点E作EM∥AB,过点F作FN∥AB∵AB∥CD，∴AB∥ME∥FN∥CD，∴∠A=∠AEM，∠MEF=∠EFN,∠D=∠DFN，∴∠A+∠EFD=∠AEF+∠D；

（3）∠B+∠D=160°
【解析】【解答】解：（3）过点E作EH∥AB，过点F作FM∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FM∥EH，

∴∠B=∠BEH，∠EFM=∠HEF，∠MFD+∠D=180°，∴∠B+∠EFM+∠MFD+∠D=180°+∠BEH+∠HEF，∴∠B+∠D+∠EFD=180°+∠BEF，∴∠B+∠D=180°+∠BEF-∠EFD。∵∠BEF+∠EFG=160°，∴∠BEF+180°-∠EFD=160°，∴∠BEF-∠EFD=-20°，∴∠B+∠D=180°-20°=160°。
【分析】（1）添加辅助线，转化基本图形。过E作EM∥AB，利用平行线的性质可证得∠A=∠AEM，∠C=∠CEM，再证明∠AEC=∠A+∠C，继而可解答问题。
（2）添加辅助线，转化两直线平行的基本图形。过点E作EM∥AB,过点F作FN∥AB，利用平行线的性质可证AB∥ME∥FN∥CD，再根据两直线平行，内错角相等，可证得∠A=∠AEM，∠MEF=∠EFN,∠D=∠DFN，然后将三式相加，可证得结论。
（3）过点E作EH∥AB，过点F作FM∥AB，结合已知可证得AB∥CD∥FM∥EH，利用两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，可证∠B=∠BEH，∠EFM=∠HEF，∠MFD+∠D=180°，再将三个等式相加，整理可得到∠B+∠D=180°+∠BEF-∠EFD，然后由∠BEF+∠EFG=160°，可推出∠BEF-∠EFD=-20°，整体代入求出∠B+∠D的值。

10．如图，点C在线段AB上，AC=8cm，CB=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．


（1）求线段MN的长；




（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；

（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由；

（4）你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？

【答案】（1）MN=MC+NC=AC+BC=（AC+BC）=×（8+6）=×14=7

（2）MN=MC+NC=（AC+BC）=a

（3）MN=MC-NC=AC-BC=(AC-BC=b

（4）如图，只要满足点C在线段AB所在直线上，点M、N分别是AC、BC的中点．那么MN就等于AB的一半．

【解析】【分析】（1）根据M、N分别是AC、BC的中点，我们可得出MC、NC分别是AC、BC的一半，那么MC、CN的和就应该是AC、BC和的一半，也就是说MN是AB的一半，有了AC、CB的值，那么就有了AB的值，也就能求出MN的值了；（2）方法同（1）只不过AC、BC的值换成了AC+CB=acm，其他步骤是一样的；（3）当C在线段AB的延长线上时，根据M、N分别是AC、BC的中点，我们可得出MC、NC分别是AC、BC的一半．于是，MC、NC的差就应该是AC、BC的差的一半，也就是说MN是AC-BC即AB的一半．有AC-BC的值，MN也就能求出来了；（4）综合上面我们可发现，无论C在线段AB的什么位置（包括延长线），无论AC、BC的值是多少，MN都恒等于AB的一半．

11．如图，已知AB∥CD，∠A=40°，点P是射线B上一动点（与点A不重合），CM，CN分别平分∠ACP和∠PCD，分别交射线AB于点M,N．




（1）求∠MCN的度数．
（2）当点P运动到某处时，∠AMC=∠ACN，求此时∠ACM的度数．
（3）在点P运动的过程中，∠APC与∠ANC的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值：若变化，请找出变化规律．【答案】（1）解：∵AB∥CD，∴∠ACD=180°﹣∠A=140°，
又∵CM，CN分别平分∠ACP和∠PCD，
∴∠MCN=∠MCP+∠NCP=（∠ACP+∠PCD）=∠ACD=70°，故答案为：70°．

（2）解：∵AB∥CD，∴∠AMC=∠MCD，又∵∠AMC=∠ACN，∴∠MCD=∠ACN，
∴∠ACM=∠ACN﹣∠MCN=∠MCD﹣∠MCN=∠NCD，∴∠ACM=∠MCP=∠NCP=∠NCD，∴∠ACM=∠ACD=35°，故答案为：35°．

（3）解：不变．理由如下：∵AB∥CD，
∴∠APC=∠PCD，∠ANC=∠NCD，又∵CN平分∠PCD，
∴∠ANC=∠NCD=∠PCD=∠APC，即∠APC：∠ANC=2：1．
【解析】【分析】（1）由AB∥CD可得∠ACD=180°-∠A，再由CM、CN均为角平分线可求解；（2）由AB∥CD可得∠AMC=∠MCD，再由∠AMC=∠ACN可得∠ACM=∠NCD（3）由AB∥CD可得∠APC=∠PCD，再由CN为角平分线即可解答．

12．已知，
，
.
，试回答下列问题：
（1）如图1所示，求证：

（2）如图2，若点、在
上，且满足
，并且
平分
.求



________度.

（3）在（2）的条件下，若平行移动，如图3，那么化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值.
的值是否随之发生变

（4）在（2）的条件下，如果平行移动【答案】（1）证明：∵∴∵∴∴
，
，
，
的过程中，若使
，求
度数.

（2）40°（3）解：结论：∵∴又∵∴∴∴
，
，







，
，
，，
，
，
的值不发生变化．理由为：

（4）解：∵∴∴∵∴∵∴∴
∵由（1）可知
由（2）可以设：



∴∴∴
【解析】【解答】（2）由∠BOA=40°
，且
平分



，所以∠BOA=180°-∠B=80°
，得到∠EOC=∠EOF+∠FOC=（∠BOF+∠FOA）=
，且
平
【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行证明即可；（2）由分
，得到∠EOC=∠EOF+∠FOC=（∠BOF+∠FOA）=∠BOA，算出结果；（3），得到
，
，所以
（4）结合（2）（3）结果，设出，由
，
列
出
等
列出等式，得到式
解
出
α
与
β
，
所
，又
，得到，故
，
，又由（1）得到
以


13．如图，已知AB∥CD，∠A＝40°．点P是射线AB上一动点(与点A不重合，CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP交射线AB于点E、F．

（1）求∠ECF的度数；
（2）随着点P的运动，∠APC与∠AFC之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；
（3）当∠AEC＝∠ACF时，求∠APC的度数．
【答案】（1）解：∵AB∥CD，∴∠A+∠ACD=180°，∴∠ACD=180°－40°=140°∵CE平分∠ACP，CF平分∠DCP，∴∠ACP=2∠ECP，∠DCP=2∠PCF∴∠ECF=∠ACD=70°

（2）解：不变.数量关系为：∠APC=2∠AFC．∵AB∥CD，∴∠AFC=∠DCF，∠APC=∠DCP∵CF平分∠DCP，∴∠DCP=2∠DCF，∴∠APC=2∠AFC

（3）解：∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD
当∠AEC=∠ACF时，则有∠ECD=∠ACF，∴∠ACE=∠DCF



∴∠PCD=∠ACD=70°∴∠APC=∠PCD=70°
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质，得出∠ACD=120°，再根据CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP，即可得出∠ECF的度数；（2）根据平行线的性质得出∠APC=∠PCD，∠AFC=∠FCD，再根据CF平分∠PCD，即可得到∠PCD=2∠FCD进而得出∠APC=2∠AFC；（3）根据∠AEC=∠ECD，∠AEC=∠ACF，得出∠ECD=∠ACF，进而得到∠ACE=∠FCD，根据∠ECF=70°，∠ACD=140°，可求得∠APC的度数．

14．如图1，已知直线CD∥EF，点A、B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．

（1）若∠DAP=40°，∠FBP=70°，则∠APB=________．
（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么关系？并说明理由．（3）利用(2的结论解答：
①如图2，AP1、BP1分别平分∠DAP、∠FBP，请你写出∠P与∠P1的数量关系，并说明理由．
②如图3，AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB=β，求∠AP2B(用含β的代数式表示．【答案】（1）（2）由（1）可知
∠DAP，∠FBP，∠APB之间的关系为：
.


（3）解：①∠P=2∠P1；由（2）得：
即∠P=2∠P1；
②由(2得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，∴∴

，







【解析】【解答】（1）证明：过P作PM∥CD，
∴∠APM=∠DAP．（两直线平行，内错角相等），∵CD∥EF（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠MPB=∠FBP．（两直线平行，内错角相等），∴∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP．（等式性质），即
【分析】（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等得出∠APM=∠DAP，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行得出PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等得出∠MPB=∠FBP
，
根
据
角
的
和
差
及；
（2）由（1）可知∠DAP，∠FBP，∠APB之间的关系为：（3）①∠P=2∠P1；根据（2）的结论，得等量代换得，

②由(2得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，根据角平分线的定义及角的和差，等量代换即可得出结论：∴
=180°-.
.
，由角平分线的定义及
等
量
代
换
即
可
得
出



15．学习千万条，思考第一条。请你用本学期所学知识探究以下问题：（1）已知点为直线内部作射线．
①如图1，三角板的一边与射线重合，且射线表示正北方向，求射线表示的方向；②如图2，将三角板放置到如图位置，使
，求
的度数.
恰好平分
，且
，若以点为观察中心，
上一点，将直角三角板
的直角顶点放在点处，并在





（2）已知点平分
，用含
不在同一条直线上，
的式子表示
的大小.
，
平分
，
【答案】（1）解：①∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，∴射线OC表示的方向为北偏东60°②∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，∴3∠NOC+∠NOC＝90°，∴4∠NOC＝90°，∴∠BON＝2∠NOC＝45°，∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°

（2）解：①如图1：
∵∠AOB＝α，∠BOC＝β

∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠AOM＝∠BOM＝∠AOB＝α，∠CON＝∠BON＝∠COB＝β，∴∠MON＝∠BOM+∠CON＝②如图2，
；




∠MON＝∠BOM﹣∠BON＝③如图3，
；

∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝
．…
∴∠MON为或或
．
【解析】【分析】（1）①根据∠MOC=∠AOC-∠AOM代入数据计算，即得出射线OC表示的方向；②根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解；（2）分射线OC在∠AOB内部和外部两种情况讨论即可．



本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a1edb3e17dd184254b35eefdc8d376eeafaa17bb.html

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