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苏科版2017年江苏省无锡市中考数学试卷(副卷)-

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2017年江苏省无锡市中考数学试卷（副卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填在相应的括号内） 1．（3分）﹣的绝对值是（ ） A．﹣
B．
C．2
D．﹣2
2．（3分）下列运算正确的是（ ） A．x2+x2＝x4
B．x6÷x3＝x2
C．4x3﹣3x3＝x3
D．（x3）2＝x5
3．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列命题是真命题的是（ ） A．三个角相等的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．平行四边形的对角线互相垂直 D．对角线互相垂直的四边形是菱形
5．（3分）如图，直线a∥b∥c，直角三角板的直角顶点落在直线b上．若∠1＝35°，则∠2等于（ ）

A．115°
B．125°
C．135°
D．145°
6．（3分）在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（ ） A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
7．（3分）某班测量了10名学生的身高，他们的身高与对应的人数如下表所示
身高（cm） 学生人数（人）
163 1
165 2
170 3
172 2
173 2
则这10名学生身高的众数和中位数分别为（ ）
第1页（共31页）



A．165cm，165cm C．165cm，170cm
B．170cm，165cm D．170cm，170cm
8．（3分）关于抛物线y＝（x+1）2﹣2，下列结论中正确的是（ ） A．对称轴为直线x＝1

B．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 C．与x轴没有交点
D．与y轴交于点（0，﹣2）
9．（3分）一块直角边分别为3和4的三角形木板，绕长度为3的边旋转一周，则斜边扫过的面积是（ ） A．15
B．15π
C．20
D．20π

10．（3分）已知，如图，△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，半径为1的⊙O与三角形的边AB、AC都相切，点P为⊙O上一动点，点Q为BC边上一动点，则PQ的最大值与最小值的和为（ ）

A．11
B．5+4
C．5+5
D．12
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上） 11．（2分）16的算术平方根是 ． 12．（2分）化简：＝ ．
13．（2分）我市火车站在今年端午节假期累计发送旅客278000人，这个数据用科学记数法可表示为 ． 14．（2分）函数中，自变量x的取值范围是 ．
15．（2分）若关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
16．（2分）如图，已知AB为⊙O的直径，C为半圆上异于A、B的一个动点，∠ACB的平分线与⊙O交于点E，若圆的半径为2时，则
的长度为 ．
第2页（共31页）



17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2），点Q在对角线OB上，且QO＝OC，连结CQ并延长交边AB于点P，则四边形OAPQ的面积为 ．

18．（2分）在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于O，则AO：OB＝ ．

三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算： （1）|﹣2|﹣+（）2；
﹣（2）（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）．
20．（8分）（1）解不等式：（x﹣1）＞2+3x； （2）解方程组：．
21．（8分）如图，已知点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC，BE＝CF．求证：BD是△ABC的角平分线．
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22．（6分）某数学课外学习小组为统计某小区共享单车的使用情况，对A、B、C、D四种共享单车品牌的骑行人数进行了调查，并绘制了如下的两张不完整的统计图．

（1）扇形统计图中，B、C品牌单车骑行人数所占圆心角的度数分别为 和 ； （2）请把条形统计图补充完整；
（3）若该小区习惯使用共享单车的有120人，请你估算使用B型品牌单车的人数约是多少人？
23．（8分）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，他们通过摸球的方式决定首场比赛的两个选手：在一个不透明的口袋中放入两个红球和一个白球，它们除颜色外其他都相同，将它们搅匀，三人从中各摸出一个球，摸到红球的两人即为首场比赛选手．求甲、乙两人成为比赛选手的概率．（请用画树状图或列表等方法写出分析过程并给出结果） 24．（8分）如图，已知∠MAN，及线段a，b（a＞b）．

（1）仅用没有刻度的直尺和圆规分别在射线AM、AN上确定点B、点C，使得AC＝b，AB+BC＝a（保留作图痕迹，不要作法）； （2）若sin∠MAN＝，a＝61，b＝39，则△ABC的面积为 ．
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25．（8分）如图，P是平面直角坐标系中第四象限内一点，过点P作PA⊥x轴于点A，以AP为斜边在右侧作等腰Rt△APQ，已知直角顶点Q的纵坐标为﹣2，连结OQ交AP于B，BQ＝2OB．
（1）求点P的坐标；
（2）连结OP，求△OPQ的面积与△OAQ的面积之比．

26．（10分）某品牌牛奶专营店销售一款牛奶，售价是在进价的基础上加价a%出售，每月的销售额可以达到9.6万元，但每月需支出2.45万元的固定费用及进价的2.5%的其他费用．
（1）如果该款牛奶每月所获的利润要达到1万元，那么a的值是多少？（利润＝售价﹣进价﹣固定费用﹣其他费用）
（2）现这款牛奶的售价为64元/盒，根据市场调查，这款牛奶如果售价每降低1%，销售量将上升8%，求这款牛奶调价销售后，每月可获的最大利润．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（5，0），以原点O为圆心、3为半径作圆．P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t（s）．连结AP，将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．求△APQ有一边所在直线与⊙O相切时t的值．
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28．（10分）在平面直角坐标系中，已知A（1，4）、B（4，1）、C（m，0）、D（0，n）． （1）四边形ABCD的周长的最小值为 ，此时四边形ABCD的形状为 ； （2）在（1）的情况下，P为AB的中点，E为AD上一动点，连结PE，作PF⊥PE交四边形的边于点F，在点E从D运动到A的过程中： ①求tan∠PEF的值；
②若EF的中点为Q，在整个运动过程中，请直接写出点Q所经过的路线长．

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2017年江苏省无锡市中考数学试卷（副卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填在相应的括号内） 1．（3分）﹣的绝对值是（ ） A．﹣
B．
C．2 D．﹣2
【考点】15：绝对值．
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可． 【解答】解：|﹣|＝， 故选：B．
【点评】本题考查的是绝对值的性质，掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0是解题的关键． 2．（3分）下列运算正确的是（ ） A．x2+x2＝x4
B．x6÷x3＝x2
C．4x3﹣3x3＝x3
D．（x3）2＝x5
【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法． 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、x2+x2＝2x2，故此选项错误； B、x6÷x3＝x3，故此选项错误； C、4x3﹣3x3＝x3，故此选项正确； D、（x3）2＝x6，故此选项错误； 故选：C．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B． C． D．
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【考点】R5：中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行解答即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，故此选项正确； D、不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义． 4．（3分）下列命题是真命题的是（ ） A．三个角相等的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．平行四边形的对角线互相垂直 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据菱形的判定方法，矩形的判定方法以及平行四边形的性质对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、三个角相等的平行四边形是矩形，是真命题； B、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题； C、平行四边形的对角线互相平分，是假命题； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是假命题； 故选：A．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，本题熟练掌握菱形，矩形以及平行四边形的判定和性质是解题的关键．
5．（3分）如图，直线a∥b∥c，直角三角板的直角顶点落在直线b上．若∠1＝35°，则∠2等于（ ）
第8页（共31页）




A．115°
B．125°
C．135° D．145°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】先根据a∥b求出∠3的度数，再由余角的性质得出∠4的度数，进而得到∠5的度数，根据b∥c即可得出结论． 【解答】解：如图所示，∵a∥b， ∴∠3＝∠1＝35°， 又∵∠3+∠4＝90°， ∴∠4＝55°，
∴∠5＝180°﹣∠4＝125°， 又∵b∥c，
∴∠2＝∠5＝125°， 故选：B．

【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．
6．（3分）在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（ ） A．30°
B．45°
C．60° D．90°
【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系．
【分析】画出符合题意的几何图形，证明△OAB是等边三角形即可得到此弦所对圆心角的度数．
【解答】解：如图， ∵OA＝OB＝AB， ∴△OAB是等边三角形，
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∴∠AOB＝60°． 故选：C．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．解答该题时，利用了等边三角形的判定和性质，熟记和圆有关的各种性质是解题的关键．
7．（3分）某班测量了10名学生的身高，他们的身高与对应的人数如下表所示
身高（cm） 学生人数（人）
163 1
165 2
170 3
172 2
173 2
则这10名学生身高的众数和中位数分别为（ ） A．165cm，165cm C．165cm，170cm
【考点】W4：中位数；W5：众数．
B．170cm，165cm D．170cm，170cm
【分析】根据表格可以直接得到这10名学生身高的众数，然后将表格中数据按从小到大的顺序排列即可得到中位数．
【解答】解：由表格可知，170cm出现了3次，出现的次数最多，则这10名学生身高的众数是170cm；
这10名学生身高按从小到大排列是：163、165、165、170、170、170、172、172、173、173，
则这10名学生身高的中位数是＝170（cm）；
则这10名学生身高的众数和中位数分别为170cm，170cm； 故选：D．
【点评】本题考查众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
8．（3分）关于抛物线y＝（x+1）2﹣2，下列结论中正确的是（ ） A．对称轴为直线x＝1

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B．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 C．与x轴没有交点
D．与y轴交于点（0，﹣2）

【考点】H3：二次函数的性质；HA：抛物线与x轴的交点．
【分析】直接利用二次函数的性质分别分析得出答案．
【解答】解：抛物线y＝（x+1）2﹣2，对称轴为直线x＝﹣1，故此选项A错误； 当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B正确；
∵抛物线y＝（x+1）2﹣2，开口向上，顶点坐标为：（﹣1，﹣2）， ∴与x轴有2个交点，故选项C错误；
当x＝0时，y＝﹣1，故图象与y轴交于点（0，﹣1），故选项D错误． 故选：B．
【点评】此题主要考查了抛物线于x轴的交点以及二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题关键．
9．（3分）一块直角边分别为3和4的三角形木板，绕长度为3的边旋转一周，则斜边扫过的面积是（ ） A．15
B．15π
C．20 D．20π
【考点】MO：扇形面积的计算．
【分析】先利用勾股定理得到斜边为5，由于三角形木板绕3的边旋转一周所得的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为4，母线长为5，斜边扫过的面积就是圆锥的侧面积，然后利用扇形面积公式计算出圆锥的侧面即可．
【解答】解：直角边分别为3和4的三角形木板的斜边为5，三角形木板绕长度为3的边旋转一周所得的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为4，母线长为5， 此圆锥的侧面积＝π×4×5＝20π． 所以斜边扫过的面积为20π． 故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面积＝πrl（r为底面圆的半径，l为母线长）．
10．（3分）已知，如图，△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，半径为1的⊙O与三角形的边AB、AC都相切，点P为⊙O上一动点，点Q为BC边上一动点，则PQ的最大值与最小值的和为（ ）
第11页（共31页）




A．11
B．5+4
C．5+5
D．12
【考点】KS：勾股定理的逆定理；MC：切线的性质．
【分析】如图，设⊙O与AC相切于点D，与AB相切于点E，连接OD，OE，过点O，作OP1⊥BC垂足为Q1交⊙O于P1，此时垂线段OQ1最短，P1Q1最小值为OQ1﹣OP1，求出OQ1，如图当Q2与B重合时，BO的延长线与⊙O交于点P2，P2Q2最大值OQ2+OP2． 【解答】解：∵△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴∠ACB＝90°，
设⊙O与AC相切于点D，与AB相切于点E，连接OD，OE，过点O，作OP1⊥BC垂足为Q1交⊙O于P1，连接AO，延长AO与BC相交于点F，过F作FG⊥AB于点G，如图1，此时垂线段OQ1最短，P1Q1最小值为OQ1﹣OP1，

则四边形ODCQ2为矩形，AO平分∠BAC， ∴CF＝FG，
设CF＝FG＝x，则BF＝6﹣x，AC＝AG＝8，BG＝AB﹣AG＝10﹣8＝2， 由勾股定理得，（6﹣x）2﹣x2＝22， 解得，x＝， ∴GF＝， ∵OE∥GF， ∴△AOE∽△AFG，
第12页（共31页）



∴，即，
∴AE＝3， ∴AF＝AE＝3， ∴OQ1＝CD＝8﹣3＝5， ∴P1Q1＝OQ1﹣OP1＝5﹣1＝4，
如图2，当Q2与B重合时，连接BO延长BO与⊙O交于点P2，

此时P2Q2为最大值P2Q2＝OQ2+OP2∴PQ的最大值与最小值的和为：P1Q1+P2Q2＝4+5故选：C．
【点评】本题是圆与三角形的综合题，考查了圆的切线的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，相似三角形的性质与判定，切割线定理，关键是确定PQ的最小值与最大值的位置．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上） 11．（2分）16的算术平方根是 4 ． 【考点】22：算术平方根．
，
+1＝5+5．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果． 【解答】解：∵42＝16，
∴＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根． 12．（2分）化简：【考点】66：约分．
＝ 2﹣6x ．
第13页（共31页）



【分析】对于分子分母是多项式的分式，先因式分解，再约分． 【解答】解：故答案为：2﹣6x
【点评】本题考查了约分，熟悉因式分解是解题的关键．
13．（2分）我市火车站在今年端午节假期累计发送旅客278000人，这个数据用科学记数法可表示为 2.78×105 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
，
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：278000＝2.78×105， 故答案为：2.78×105
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 14．（2分）函数中，自变量x的取值范围是 x≥﹣3 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x+3≥0， 解得x≥﹣3． 故答案为：x≥﹣3．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
15．（2分）若关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜ ．
【考点】AA：根的判别式．
【分析】利用一元二次方程的根判别式即可求解 【解答】解：
第14页（共31页）



∵一元二次方程x2+x+k＝0有两个不相等的实数根
∴由根的判别式得，△＝b2﹣4ac＝1﹣4k＞0，解得k＜， 故答案为k＜
【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式：在一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）中（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）当△＜0时，方程没有实数根，方程有两个共轭虚根．（1）和（2）合起来：当△≥0时，方程有实数根．
16．（2分）如图，已知AB为⊙O的直径，C为半圆上异于A、B的一个动点，∠ACB的平分线与⊙O交于点E，若圆的半径为2时，则的长度为 π ．

【考点】M5：圆周角定理；MN：弧长的计算．
【分析】由圆周角定理得出∠ACB＝90°，∠AOE＝2∠ACE＝90°，由弧长公式即可得出结果．
【解答】解：连接OE，如图所示： ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB的平分线与⊙O交于点E， ∴∠ACE＝∠ACB＝45°， ∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，
∴的长度为＝π；
故答案为：π．

第15页（共31页）



【点评】本题主要考查了弧长的计算、圆周角定理；熟记弧长公式，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2），点Q在对角线OB上，且QO＝OC，连结CQ并延长交边AB于点P，则四边形OAPQ的面积为 6﹣3 ．

【考点】D5：坐标与图形性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．
【分析】先证明BP＝BQ＝2﹣2，得到AP长度，最后利用四边形OAPQ面积＝梯形OAPC面积﹣△COQ面积，即可求解．
【解答】解：∵四边形OABC是正方形，OC＝2， ∴BO＝2．
∵QO＝OC＝2， ∴BQ＝2﹣2．
又OC∥AB， ∴BP＝BQ＝2﹣2．
．
∴AP＝2﹣BP＝4﹣2在△COQ中，∠COQ＝45°，OQ＝2， ∴Q点到OC距离为．
四边形OAPQ面积＝梯形OAPC面积﹣△COQ面积 ＝（4﹣2故答案为6﹣3+2）×2﹣×．
×2＝6﹣3．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，解题的关键是求解不规则图形面积时，要找到与其相关的规则图形，利用面积间的和差关系进行解决．
18．（2分）在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、第16页（共31页）



D都是格点，AB与CD相交于O，则AO：OB＝ ．

【考点】KQ：勾股定理；S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】如图，由EH∥CF，利用平行线分线段成比例可求出EH＝，则AE＝，再证明△AOE∽△BOC，然后利用相似比可得到【解答】解：如图， ∵EH∥CF，
∴＝，即＝，
的值．
∴EH＝，
∴AE＝AH﹣EH＝3﹣＝， ∵AE∥BC， ∴△AOE∽△BOC，
∴＝＝．
＝．
故答案为
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：三在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．
第17页（共31页）



三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算： （1）|﹣2|﹣+（）2；
﹣（2）（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）．
【考点】2C：实数的运算；4C：完全平方公式；4F：平方差公式；6F：负整数指数幂．
【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可； （2）根据平方差和完全平方公式计算即可． 【解答】解：（1）|﹣2|﹣+（）2＝2﹣﹣2+9＝9；
（2）（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4x+4﹣x2+4＝﹣4x+8．
【点评】本题考查了平方差和完全平方公式，实数的运算，熟记乘法公式是解题的关键． 20．（8分）（1）解不等式：（x﹣1）＞2+3x； （2）解方程组：．
【考点】98：解二元一次方程组；C6：解一元一次不等式．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、系数化为1可得． （2）利用加减消元法求解即可． 【解答】解：（1）：（x﹣1）＞2+3x， 去分母，得：x﹣＞2+3x， 移项、合并，得：﹣x＞， 系数化为1，得：x＜﹣1； （2）
②﹣①×2得y＝3， 把y＝3代入①得x＝2， 所以方程组的解为．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键；也考查了解二元一次方程组．
第18页（共31页）



21．（8分）如图，已知点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC，BE＝CF．求证：BD是△ABC的角平分线．

【考点】KH：等腰三角形的性质；L7：平行四边形的判定与性质．
【分析】先证明四边形EFCD是平行四边形，得ED＝CF，再证明△BED是等腰三角形，得∠EBD＝∠EDB，再由平行线的性质得结果． 【解答】证明：∵ED∥BC，EF∥AC， ∴四边形EFCD是平行四边形， ∴ED＝CF， ∵BE＝CF， ∴BE＝ED， ∴∠EBD＝∠EDB， ∵ED∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC， ∴EBD＝∠DBC，
∴BD是△ABC的角平分线．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用直线知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
22．（6分）某数学课外学习小组为统计某小区共享单车的使用情况，对A、B、C、D四种共享单车品牌的骑行人数进行了调查，并绘制了如下的两张不完整的统计图．
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（1）扇形统计图中，B、C品牌单车骑行人数所占圆心角的度数分别为 60° 和 120° ；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若该小区习惯使用共享单车的有120人，请你估算使用B型品牌单车的人数约是多少人？
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【分析】（1）先由A的人数及其所占百分比求出总人数，再求出C的人数，继而用360°乘以对应人数所占比例即可得；
（2）根据以上所求数据即可补全条形图；
（3）用总人数乘以样本中B的人数所占比例即可得． 【解答】解：（1）∵被调查的总人数为6÷25%＝24（人）， ∴C单车人数为24﹣（6+4+6）＝8（人）， 则B品牌单车骑行人数所占圆心角的度数为360°×C品牌单车骑行人数所占圆心角的度数为360°×故答案为：60°，120°；

（2）补全条形图如下：
＝60°， ＝120°，

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（3）估算使用B型品牌单车的人数约是120×＝20（人）．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体的思想等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（8分）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，他们通过摸球的方式决定首场比赛的两个选手：在一个不透明的口袋中放入两个红球和一个白球，它们除颜色外其他都相同，将它们搅匀，三人从中各摸出一个球，摸到红球的两人即为首场比赛选手．求甲、乙两人成为比赛选手的概率．（请用画树状图或列表等方法写出分析过程并给出结果） 【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出甲、丙两人成为比赛选手的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为：

由树状图知，共有6种等可能的结果数，其中甲、丙两人成为比赛选手的结果有2种， 所以甲、丙两人成为比赛选手的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 24．（8分）如图，已知∠MAN，及线段a，b（a＞b）．

（1）仅用没有刻度的直尺和圆规分别在射线AM、AN上确定点B、点C，使得AC＝b，AB+BC＝a（保留作图痕迹，不要作法）； （2）若sin∠MAN＝，a＝61，b＝39，则△ABC的面积为 330 ．
【考点】K3：三角形的面积；N3：作图—复杂作图；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）在AN上截取AC＝b，AM上截取AD＝a，连接CD，作CD的垂直平分线交AD于B，则点B、C为所作；
（2）作CH⊥AB于H，如图，先利用三角函数的定义计算出CH＝15，则根据勾股定理可得到AH＝36，所以HD＝25，设BH﹣＝x，则BD＝CD＝25﹣x，利用勾股定理得到152+x2＝（25﹣x）2，解方程求出x得到BH的长，然后根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：（1）如图，△ABC为所作；

（2）作CH⊥AB于H，如图， 在Rt△ACH中，sin∠A＝∴CH＝15， ∴AH＝＝36，
＝＝，
∴HD＝61﹣36＝25，
设BH﹣＝x，则BD＝CD＝25﹣x， 在Rt△BCH中，152+x2＝（25﹣x）2， 解得x＝8，
∴AB＝AH+BH＝44，
∴△ABC的面积＝×44×15＝330． 故答案为330．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 25．（8分）如图，P是平面直角坐标系中第四象限内一点，过点P作PA⊥x轴于点A，以AP为斜边在右侧作等腰Rt△APQ，已知直角顶点Q的纵坐标为﹣2，连结OQ交AP于B，BQ＝2OB．
（1）求点P的坐标；
（2）连结OP，求△OPQ的面积与△OAQ的面积之比．
第22页（共31页）




【考点】D5：坐标与图形性质；KW：等腰直角三角形；S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）过Q作QC⊥x轴于C，根据等腰直角三角形的性质得到∠PAQ＝∠CAQ＝45°，求得AC＝QC＝2，AQ＝2论；
（2）由AB∥CQ，得到△OAB∽△OCQ，根据相似三角形的性质得到AB＝CQ＝，求得PB＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．
，AP＝4，根据平行线分线段成比例定理即可得到结【解答】解：（1）过Q作QC⊥x轴于C， ∵△APQ是等腰直角三角形， ∴∠PAQ＝∠CAQ＝45°， ∴AC＝QC＝2，AQ＝2∵AB∥CQ， ∴，
，AP＝4，
∴OA＝AC＝1， ∴点P的坐标（1，﹣4）； （2）∵AB∥CQ， ∴△OAB∽△OCQ， ∴，
∴AB＝CQ＝， ∴PB＝，
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∴S△OAQ＝OA•CQ＝×1×2＝1，S△OPQ＝PB•OA+PB•AC＝5， ∴△OPQ的面积与△OAQ的面积之比＝5．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
26．（10分）某品牌牛奶专营店销售一款牛奶，售价是在进价的基础上加价a%出售，每月的销售额可以达到9.6万元，但每月需支出2.45万元的固定费用及进价的2.5%的其他费用．
（1）如果该款牛奶每月所获的利润要达到1万元，那么a的值是多少？（利润＝售价﹣进价﹣固定费用﹣其他费用）
（2）现这款牛奶的售价为64元/盒，根据市场调查，这款牛奶如果售价每降低1%，销售量将上升8%，求这款牛奶调价销售后，每月可获的最大利润． 【考点】B7：分式方程的应用；HE：二次函数的应用．
【分析】（1）根据利润＝销售收入﹣（进货成本+固定费用+其它费用），即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）列出二次函数的解析式后求最值即可． 【解答】解：依题意，得：96000﹣（解得：a＝60，
经检验，a＝60是原方程的解，且符合题意． 答：a的值是60． （2）牛奶的进价为：＝40元/盒，所进盒数为＝1500盒，
+24500+×2.5%）＝10000，
设新售价调整为x元/盒，则新的盒数为：（×8+1）×1500盒，
第24页（共31页）



由题意得调整后的总利润w＝（x﹣40）（＝﹣187.5（x﹣56）2+2200， ∴当x＝56时，w的最大值为22000，
×8+1）×1500﹣24500﹣×2.5%
答：当新的售价调整为56元/盒时，可获得最大利润为22000元．
【点评】本题考查了分式方程的应用及二次函数的应用的知识，找准等量关系，正确列出分式方程和二次函数的解析式是解题的关键．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（5，0），以原点O为圆心、3为半径作圆．P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t（s）．连结AP，将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．求△APQ有一边所在直线与⊙O相切时t的值．

【考点】MC：切线的性质；P6：坐标与图形变化﹣对称；PB：翻折变换（折叠问题）．
【分析】分三种情况，先求得OQ，进而根据三角形面积公式求得AP，然后根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：当AQ与⊙O相切时，如图1，
设AQ切⊙O于点D，连接OQ，交AP于M，连接OD， ∵AD切⊙O于点D， ∴OD⊥AQ，OD＝3， ∵OA＝5， ∴AD＝4， ∵A（5，0）， OA＝AQ＝5， ∴QD＝1，
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∴OQ＝＝，
∵将△OAP沿AP翻折，得到△APQ． ∴OQ⊥AP，OM＝MQ＝∵OP＝t，OA＝5，
∴AP•OM＝OA•OP，即AP•∴AP＝t，
＝•5•t，
，
在Rt△AOP中，AP2＝OP2+OA2，解10t2＝t2+25， 解得t＝；
当AP与⊙O相切时，如图2， 设AP切⊙O于点E，连接OQ， ∵将△OAP沿AP翻折，得到△APQ． ∴OQ⊥AP， ∴OQ经过点E， ∴OE⊥AP，
∵AP•OE＝OA•OP，即3AP＝5t， ∴AP＝t，
在Rt△AOP中，AP2＝OP2+OA2，解（t）2＝t2+25， 解得t＝，
当PQ与⊙O相切时，如图3， 设PQ切⊙O于点E，连接OE， ∴OE⊥PQ， ∵AQ⊥PQ， ∴OE∥AQ， ∴△ODE∽△ADQ， ∴＝，
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，即＝，
∴OD＝

∴AD＝∴DQ＝，
＝， ﹣t，
∴PD＝DQ﹣PQ＝∵OD•OP＝PD•OE， ∴t＝（
或．
﹣t）×3，
解得t＝综上，△APQ有一边所在直线与⊙O相切时t的值为或

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【点评】本题考查了切线的性质，轴对称的性质，三角形的面积以及勾股定理的应用等，熟练掌握切线的性质和轴对称的性质是解本题的关键．
28．（10分）在平面直角坐标系中，已知A（1，4）、B（4，1）、C（m，0）、D（0，n）． （1）四边形ABCD的周长的最小值为 8 ，此时四边形ABCD的形状为 矩形 ；
（2）在（1）的情况下，P为AB的中点，E为AD上一动点，连结PE，作PF⊥PE交四边形的边于点F，在点E从D运动到A的过程中： ①求tan∠PEF的值；
②若EF的中点为Q，在整个运动过程中，请直接写出点Q所经过的路线长．

【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）若四边形的周长最短，由于AB的值固定，则只要其余三边最短即可，根据对称性作出A关于x轴的对称点A′、B关于y轴的对称点B′，求出A′B′的解析式，利用解析式即可求出C'、D'坐标即为C、D的坐标；由勾股定理得出AD'＝BC'＝＝C'D'＝3，得出四边形ABC'D'的周长即可；由AB＝C'D'，AD'＝BC'，
，AB得出四边形ABC'D'是平行四边形，再证出∠BC'D'＝90°，得出四边形ABC'D'是矩形即可；
（2）①作FG⊥AB于G，则FG＝AD＝，证明△PFG∽△EPA，得出＝＝第28页（共31页）



＝，再由三角函数定义即可得出结果；
②点Q所经过的路线是一条线段，当点E在D点位置时，EF的中点为Q，当点E在A点位置时，EF的中点为Q'，此时，Q'为PD的中点，得出QQ'为△PDF的中位线，QQ'＝PF，QQ'的长即为点Q所经过的路线长，作FG⊥AB于G，则FG＝AD＝△PFG∽△DPA，得出＝，即＝，得出PG＝，证明，由勾股定理求出PF＝＝，即可得出答案．
【解答】解：（1）过点A作A关于y轴的对称点A′、过点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，直线A′B′与坐标轴交点分别为D'、C'，如图1所示： 此时四边形ABC'D'的周长最小，即为四边形ABCD的周长的最小值． 设过A′与B′两点的直线的函数解析式为y＝kx+b． ∵A（1，4），B（4，1）， ∴A′（﹣1，4），B′（4，﹣1）， 依题意得：解得：，
，
∴过A′与B′两点的直线的函数解析式为y＝﹣x+3， 当y＝0时，x＝3；当x＝0时，y＝3，； ∴C'（3，0），D'（0，3）； ∴AD'＝＝3∴四边形ABC'D'的周长为∵AB＝C'D'，AD'＝BC'， ∴四边形ABC'D'是平行四边形， ∵BM＝1，OM＝4，OC'＝3， ∴C'M＝1＝BM，
∴△BC'M是等腰直角三角形， ∴∠BC'M＝45°，
第29页（共31页）

＝，BC'＝＝3+3＝8， ；
＝，AD'＝BC'，AB＝，C'D'＝++3

同理：∠OC'D'＝45°，
∴∠BC'D'＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴四边形ABC'D'是矩形； 故答案为：8，矩形；
（2）①∵P为AB的中点， ∴AP＝AB＝，
作FG⊥AB于G，如图2所示： 则FG＝AD＝，∠FGP＝90°＝∠A，∠FPG+∠PFG＝90°，
∵∠EPF＝90°， ∴∠FPG+∠APE＝90°， ∴∠PFG＝∠APE， ∴△PFG∽△EPA， ∴＝＝＝，
∴tan∠PEF＝＝；
②若EF的中点为Q，在整个运动过程中，点Q所经过的路线是一条线段． 当点E在D点位置时，EF的中点为Q，
当点E在A点位置时，EF的中点为Q'，此时，Q'为PD的中点， ∴QQ'为△PDF的中位线，
∴QQ'＝PF，QQ'的长即为点Q所经过的路线长， 作FG⊥AB于G，如图3所示： 则FG＝AD＝，∠FGP＝90°＝∠A，∠FPG+∠PFG＝90°，
∵∠EPF＝90°， ∴∠FPG+∠APD＝90°， ∴∠PFG＝∠APD， ∴△PFG∽△DPA， ∴＝，即＝，
第30页（共31页）



解得：PG＝∴PF＝∴QQ'＝，
，
＝＝，
即点Q所经过的路线长为．



【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解题的关键．


第31页（共31页）


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d097ccb4fb0f76c66137ee06eff9aef8941e48d8.html

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