有理数的乘方及计算

课 题

有理数的乘方运算及其混合运算

教学目的

1. 理解有理数乘方的意义并能准确进行有理数乘方的计算

2.熟练运用加减乘除法则进行有理数的混合运算

(一)、乘方的意义

1.求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在an中，a叫做底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂.

2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.

3.正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.

(二)、有理数混合运算的运算顺序：

1.先乘方，再乘除，最后加减；

2.同极运算，从左到右进行；

3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.

(三)、有理数混合运算需注意的问题

1.有理数的运算，加减法叫做第一级运算；乘除法叫做第二级运算；乘方和开方（以后学）叫做第三级运算.一个式子中如果含有多级运算式，先做第三级运算，再做第二级运算，最后做第一季运算.同一级运算按照从左到右的顺序进行运算；有括号时，按照小括号、中括号、大括号（或大括号、中括号、小括号）的顺序进行运算.

2.灵活的运用运算律，改变运算顺序，可以简化计算.

【例1】

【例2】

【例3】

【例4】

【例5】已知31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，试确定32007的末位数字是几．

【例6】一根木棍原长为m米，如果从第一天起每天折断它的一半．

（1）请写出木棍第一天，第二天，第三天的长度分别是多少？

（2）试推断第n天木棍的长度是多少？

【例7】若52x+1=125，求（x-2）2005+x的值是

．

【例8】用简便方法计算．

（1）（- 14）4005×162003= （2）318×（- 19）8=

（3）（0.5×3 23）199•（-2× 311）200= （4）0.259×220×259×643=

【例9】比较下面算式结果的大小（在横线上填“＞”、“＜”或“=”）：42+32 2×4×3；

（-3）2+12 ×（-3）×1；（-2）2+（-2）2 ；×（-2）×（-2）．通过观察归纳，写出能反映这一规律的一般结论．

【例10】有一张厚度是0.2毫米的纸，如果将它连续对折10次，那么它会有多厚？

一、选择题

1、118表示（ ）

A、11个8连乘 B、11乘以8 C、8个11连乘 D、8个别1相加

2、－32的值是（ ）

A、－9 B、9 C、－6 D、6

3、下列各对数中，数值相等的是（ ）

A、 －32 与 －23 B、－23 与 (－2)3

C、－32 与 (－3)2 D、(－3×2)2与－3×22

4、下列说法中正确的是（ ）

A、23表示2×3的积 B、任何一个有理数的偶次幂是正数

C、－32 与 (－3)2互为相反数 D、一个数的平方是，这个数一定是

5、下列各式运算结果为正数的是（ ）

A、－24×5 B、(1－2)×5 C、(1－24)×5 D、1－(3×5)6

6、如果一个有理数的平方等于(－2)2，那么这个有理数等于（ ）

A、－2 B、2 C、4 D、2或－2

7、一个数的立方是它本身,那么这个数是（ ）

A、 0 B、0或1 C、－1或1 D、0或1或－1

8、如果一个有理数的正偶次幂是非负数,那么这个数是（ ）

A、正数 B、负数 C、 非负数 D、任何有理数

9、－24×(－22)×(－2) 3=（ ）

A、 29 B、－29 C、－224 D、224

10、两个有理数互为相反数，那么它们的次幂的值（ ）

A、相等 B、不相等 C、绝对值相等 D、没有任何关系

11、一个有理数的平方是正数,则这个数的立方是（ ）

A、正数 B、负数 C、正数或负数 D、奇数

12、(－1)2001＋(－1)2002÷＋(－1)2003的值等于（ ）

A、0 B、 1 C、－1 D、2

二、填空题

1、(－2)6中指数为 ，底数为 ；4的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ，结果是 ；

2、根据幂的意义，(－3)4表示 ，－43表示 ；

3、平方等于的数是 ，立方等于的数是 ；

4、一个数的15次幂是负数，那么这个数的2003次幂是 ；

5、平方等于它本身的数是 ，立方等于它本身的数是 ；

6、 ， ， ；

7、，，的大小关系用“＜”号连接可表示为 ；

8、如果，那么是 ；

9、 ；

10、如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是 ；如果一个数的平方是它的倒数，那么这个数是 ；

11、若，则 0

三、计算题

1、 2、

3、 4、

5、 6、

7、 8、

9、 10、

四、解答题：

某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂为16个，则这个过程要经过多长时间？

1、78表示（　　）

A、7个8连乘 B、7乘以8

C、8个7连乘 D、8个7相加

2、计算﹣32的结果是（　　）

A、﹣9 B、9

C、﹣6 D、6

3、下列各组数中，数值相等的是（　　）

A、32和23 B、﹣23和（﹣2）3

C、﹣32和（﹣3）2 D、﹣（3×2）2和﹣3×22

4、下列说法中正确的是（　　）

A、23表示2×3的积 B、任何一个有理数的偶次幂是正数

C、﹣32与（﹣3）2互为相反数 D、一个数的平方是，这个数一定是

5、下列各式运算结果为正数的是（　　）

A、﹣24×5 B、（1﹣2）4×5

C、（1﹣24）×5 D、1﹣（3×5）6

6、下列计算结果为正数的是（　　）

A、7×（﹣24） B、（1﹣5）2×3

C、（1﹣52）×3 D、1﹣（3×5）2

7、﹣|﹣3|﹣23的值是（　　）

A、﹣3 B、﹣11

C、5 D、11

8、计算器上的或键的功能是（　　）

A、开启计算器 B、关闭计算器

C、清除全部内容或刚刚输入内容 D、计算乘方

9、﹣5的绝对值的倒数与绝对值等于5的数的和为（　　）

A、1或-1 B、0或1

C、 D、5

10、下列计算结果正确的是（　　）

A、﹣7﹣2×5=（﹣7﹣2）×5 B、

C、 D、﹣（﹣32）=9

11、（﹣2）6中指数为　_________　，底数为　_________　；4的底数是　_________　，指数是　_________　；的底数是　_________　，指数是　_________　，结果是　_________　．

12、根据幂的意义，（﹣3）4表示　_________　，﹣43表示　_________　．

13、平方等于的数是　_________　，立方等于的数是　_________　．

14、一个数的15次幂是负数，那么这个数的2003次幂是　_________　．

15、平方等于它本身的有理数是　_________　，立方等于它本身的有理数是　_________　．

16、=　_________　，=　_________　，=　_________　．

17、用计算器输入﹣7的办法是先输入　_________　，然后按　_________　．

18、计算：=　_________　．

19、若|a+1|+|b﹣5|+（c﹣2）2=0，则﹣abc=　_________　．

20、当x=，y=﹣2时，（x+y）2=　_________　．

21、有理数依次是2，5，9，14，x，27，…依次你能求出x的值吗？x的值为　_________　．

22、（1）﹣（﹣2）4 （2）

（3）（﹣1）2003 （4）﹣13﹣3×（﹣1）3

5）﹣23+（﹣3）2

23.你吃过“手拉面”吗？如果把一个面团拉开，然后对折，再拉开，再对折，…如此往复下去，对折10次，会拉出多少根面条？

附答案

典型例题

例1：7 例2：-13.34 例3：9 例4： 例5：解：32007的指数为2007且2007÷4=501…3，

所以32007的末位数字是7．

答：32007的末位数字是7． 例6：一根木棍原长为m米，如果从第一天起每天折断它的一半．

（1）请写出木棍第一天，第二天，第三天的长度分别是多少？

（2）试推断第n天木棍的长度是多少？ 例7：解：∵52x+1=53，

∴2x+1=3，

解得x=1．

所以（x-1）2005+x=（-1）2006=1．

故填1． 例8：解：（1）（- 14）4005×162003

=（- 14）4005×（42）2003

=（- 14）4005×44006

=（- 14）4005×44005×4

=[（- 14）×4]4005×4

=（-1）×4

=-4；

（2）318×（- 19）8

=318×[-（ 13）2]8

=318×（ 13）16

=316+2×（ 13）16

=（3× 13）16×32

=9；

（3）（0.5×3 23）199•（-2× 311）200

=（0.5× 113）199•（-2× 311）200

=[0.5× 113×（-2）× 311]199×（-2× 311）

= 611；

（4）0.259×220×259×643

=0.259×643×220×259

=0.259×（43）3×410×259

=（0.25×4）9×（4×25）9×4

=4×1018． 例9：解：∵42+32=25，2×4×3=24，

∴42+32＞2×4×3；

∵（-3）2+12=10，2×（-3）×1=-6，

∴（-3）2+12＞2×（-3）×1；

∵（-2）2+（-2）2=8，2×（-2）×（-2）=8，

∴（-2）2+（-2）2=2×（-2）×（-2）．

∴规律为：两数的平方和大于或等于这两数的积的2倍．

故答案为：＞，＞，=，两数的平方和大于或等于这两数的积的2倍． 例10：

课堂练习

一、选择题

1、C 2、A 3、B 4、C 5、B 6、D 7、D 8、D 9、B 10、C 11、C 12、C

二、填空题

1、6，－2，4，1，，5， ； 2、4个－3相乘，3个4的积的相反数；

3、，； 4、负数； 5、0和1， 0，1和－1； 6、；

7、＜＜； 8、9，0； 9、－1； 10、－1和0，1；

11、＜

三、计算题

1、－16 2、 3、－1 4、2 5、1 6、－1 7、2

8、－59 9、－73 10、－1

四、解答题：2小时

11.6，﹣2，4，1，﹣，5，﹣． 12.4个﹣3相乘和3个4的积的相反数．

13.±，． 14.负数 15.解：02=0，12=1，（﹣1）2=1，所以平方等于它本身的有理数是0,1；

又03=0，13=1，（﹣1）3=﹣1，所以立方等于它本身的有理数是0，±1．

16.解：==；

==；

==．

17.7；+/﹣．

18.解：原式=

=

=

19.﹣10．

20.解：当x=，y=﹣2时，

（x+y）2=（﹣2）2=（﹣）2=．

故答案为：．

21.20．22. 解：（1）﹣（﹣2）4=﹣16；（2）=（）3=；（3）（﹣1）2003=﹣1；

（4）﹣13﹣3×（﹣1）3=﹣1﹣3×（﹣1）=﹣1+3=2；（5）﹣23+（﹣3）2=﹣8+9=1；

23. 根