初二上数学培优题答案

初二数学培优题（一）

1．如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE，

（1）求证：△ABC≌△ADE；

（2）若AE∥BC，且∠E=∠CAD，求∠C的度数．

【分析】（1）由∠1=∠2=∠3，可得∠1+∠DAC=∠DAC+∠2，即∠BAC=∠DAE，又∠1+∠B=∠ADE+∠3，则可得∠B=∠ADE，已知AC=AE，即可证得：△ABC≌△ADE；

（2）由题意可得，∠ADB=∠ABD=4x，在△ABD中，可得x+4x+4x=180°，解答处即可；

【解答】解：（1）∵∠1=∠2=∠3，

∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）

即∠BAC=∠DAE，

又∵∠1+∠B=∠ADE+∠3，则可得∠B=∠ADE，

在△ABC和△ADE中，

∴△ABC≌△ADE（AAS）；

（2）∵AE∥BC，

∴∠E=∠3，∠DAE=∠ADB，∠2=∠C，

又∵∠3=∠2=∠1，令∠E=x，

则有：∠DAE=3x+x=4x=∠ADB，

又∵由（1）得AD=AB，∠E=∠C，

∴∠ABD=4x，

∴在△ABD中有：x+4x+4x=180°，

∴x=20°，

∴∠E=∠C=20°．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是证明线段或角相等的重要方式，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

2．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC．

（1）证明：BC=DE；

（2）若AC=12，CE经过点D，求四边形ABCD的面积．

【分析】（1）求出∠BAC=∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE，利用全等三角形的性质证明即可；

（2）由△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积，即可得出答案；

【解答】（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，

∴∠BAC=∠EAD．

在△ABC和△ADE中，

∴△ABC≌△ADE（SAS）．

∴BC=DE

（2）∵△ABC≌△ADE，

∴S△ABC=S△ADE，

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ADE+S△ACD=S△ACE=×122=72．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，并利用割补法求四边形ABCD的面积是解此题的关键，难度适中．

3．如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=8，BC=6，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒2个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．

（1）用含t的代数式表示线段PC的长；

（2）若点P、Q的运动速度相等，t=1时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．

（3）若点P、Q的运动速度不相等，△BPD与△CQP全等时，求a的值．

【分析】（1）用BC的长度减去BP的长度即可；

（2）求出PB，CQ的长即可判断；

（3）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论．

【解答】解：（1）PC=BC﹣BP=6﹣2t；

（2）∵t=1时，PB=2，CQ=2，

∴PC=BC﹣PB=6﹣2=4，

∵BD=AD=4，

∴PC=BD，

∵∠C=∠B，CQ=BP，

∴△QCP≌△PBD．

（3）∵点P、Q的运动速度不相等，

∴BP≠CQ，

又∵△BPD与△CPQ全等，∠B=∠C，

∴BP=PC，BD=CQ，

∴2t=6﹣2t，at=4，

解得：t=，a=．

【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

4．如图1所示，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2．

（1）求证：BC=DE．

（2）如图2，若M、N分别为BC、DE的中点，试确定AM与AN的关系，并说明理由．

【分析】（1）根据题意证明∠BAC=∠DAE，利用SAS判断△ABC≌△ADE，根据全等三角形的性质证明；

（2）根据全等三角形的性质得到BM=DN，证明△ABM≌△ADN即可．

【解答】（1）证明：∵∠1=∠2，

∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC．即∠BAC=∠DAE．

在△ABC与△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE．

∴BC=DE．

（2）AM=AN；理由如下：

由（1）△ABC≌△ADE，

∴∠B=∠D，

∵BC=DE，M、N分别为BC、DE的中点，

∴BM=DN，

在△ABM和△ADN中，

，

∴△ABM≌△ADN，

∴AM=AN．

【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

5．如图，△ABC中，D为AB的中点，AD=5厘米，∠B=∠C，BC=8厘米．

（1）若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动，

①若点Q的速度与点P的速度相等，经1秒钟后，请说明△BPD≌△CQP；

②点Q的速度与点P的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ；

（2）若点P以3厘米/秒的速度从点B向点C运动，同时点Q以5厘米/秒的速度从点C向点A运动，它们都依次沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P？

【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，再加上BP=CQ=3，PC=BD=5，则可判断△BPD与△CQP全等；

②设点Q的运动速度为xcm/s，则BP=3t，CQ=xt，CP=8﹣3t，当△BPD≌△CQP，则BP=CQ，CP=BD；然后分别建立关于t和v的方程，再解方程即可；

（2）设经过x秒后，点Q第一次追上点P，由题意得5x﹣3x=2×10，解方程得到点P运动的路程为3×10=30，得到此时点P在BC边上，于是得到结果．

【解答】解：（1）①∵BP=3×1=3，CQ=3×1=3，

∴BP=CQ，

∵D为AB的中点，

∴BD=AD=5，

∵CP=BC﹣BP=5，

∴BD=CP，

在△BPD与△CQP中，

，

∴△BPD≌△CQP；

②设点Q运动时间为t秒，运动速度为vcm/s，

∵△BPD≌CPQ，

∴BP=CP=4，CQ=5，

∴t=，

∴v===；

（2）设经过x秒后，点Q第一次追上点P，由题意得5x﹣3x=2×10，

解得：x=10，

∴点P运动的路程为3×10=30，

∵30=28+2，

∴此时点P在BC边上，

∴经过10秒，点Q第一次在BC边上追上点P．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，找准对应边是解题的关键．

6．如图，已知l1∥l2，射线MN分别和直线l1，l2交于A、B，射线ME分别和直线l1，l2交于C、D，点P在A、B间运动（P与A、B两点不重合），设∠PDB=α，∠PCA=β，∠CPD=γ．

（1）试探索α，β，γ之间有何数量关系？说明理由．

（2）如果BD=3，AB=9，AC=6，并且AC垂直于MN，那么点P运动到什么位置时，△ACP≌△BPD说明理由．

（3）在（2）的条件下，当△ACP≌△BPD时，PC与PD之间有何位置关系，说明理由．

【分析】（1）过点P作PF∥l1，根据l1∥l2，可知PF∥l2，故可得出∠α=∠DPF，∠β=∠CPF，由此即可得出结论；

（2）根据平行线的性质得到BD⊥MN，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（3）根据全等三角形的性质得到∠ACP=∠DPB，根据垂直的定义即可得到结论．

【解答】解：（1）∠γ=α+∠β，

理由：过点P作PF∥l1（如图1），

∵l1∥l2，

∴PF∥l2，

∴∠α=∠DPF，∠β=∠CPF，

∴∠γ=∠DPF+∠CPF=α+∠β；

（2）当AP=BD=3，△ACP≌△BPD，

∵l1∥l2，AC垂直于MN，

∴BD⊥MN，

∴∠CAP=∠PBD=90°，

∵AB=9，

∴PB=6，

∴AC=PB，

在△CAP与△PBD中，，

∴△ACP≌△BPD，

∴当AP=3时，△ACP≌△BPD；

（3）CP⊥PD，

理由：∵△ACP≌△BPD，

∴∠ACP=∠DPB，

∵∠ACP+∠APC=90°，

∴∠APC+∠DPB=90°，

∴∠CPD=90°，

∴CP⊥PD．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/dc90fc8cbaf67c1cfad6195f312b3169a451eab1.html