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2019-2020年初中数学自主招生考试试题（含解析）

发布时间：2019-06-01 07:29:38 来源：文档文库

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一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．

1．把不等式组：的解集表示在数轴上，正确的是（　　）

A． B． C． D．

2．已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为（　　）

A．0.21×10﹣4 B．2.1×10﹣4 C．2.1×10﹣5 D．21×10﹣6

3．化简÷（1+）的结果是（　　）

A． B． C． D．

4．如图，一根直尺EF压在三角形30°的角∠BAC上，与两边AC、AB交于M、N，那么∠CME+∠BNF是（　　）

A．135° B．150° C．180° D．不能确定

5．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（　　）

A．1 B． C． D．2

6．设一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m（m＞0）的两实根分别为α、β（α＜β），则α、β满足（　　）

A．2＜α＜β＜3 B．2＜α＜3＜β C．α＜2＜β＜3 D．α＜2且β＞3

7．如图，函数y=﹣x与函数y=﹣的图象相交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C、D，则四边形ACBD的面积为（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2

8．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（　　）

A．a2﹣π B．4﹣π C．π D．（4﹣π）a2

9．有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；③菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1＜d＜7．其中正确的命题有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．在平面直角坐标系中，对于平面任一点（a，b），若规定以下三种变换：

①f（a，b）=（﹣a，b），如，f（1，3）=（﹣1，3）；

②g（a，b）=（b，a），如，g（1，3）=（3，1）；

③h（a，b）=（﹣a，﹣b），如，h（1，3）=（﹣1，﹣3）．

按照以下变换有：f（g（2，﹣3））=f（﹣3，2）=（3，2），那么f（h（5，﹣3））等于（　　）

A．（﹣5，﹣3） B．（5，﹣3） C．（5，3） D．（﹣5，3）

11．如图，△OAB中，OA=OB，∠A=30°，⊙O与AB相切，切点为E，并分别交OA，OB于C，D两点，连接CD．若CD等于，则扇形OCED的面积等于（　　）

A．π B．π C．π D．π

12．如图，在菱形ABCD中，AB=BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：

①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF．

其中正确的结论（　　）

A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．

13．分解因式：x3﹣4x2﹣12x=　　．

14．风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，若选出一人担任班长，则组长是男生的概率为　　．

15．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E，连接DE交AC于点P，过P作PF⊥BC，垂足为F，则的值是　　．

16．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于　　（结果保留根号）．

17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于P．已知A（2，3），B（1，1），D（4，3），则点P的坐标为（　　，　　）．

18．如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为　　．

三、解答题：本大题共6个小题，共46分．

19．计算：（）﹣2﹣6sin30°+（﹣2）0+|2﹣|；

（2）先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x=﹣3．

20．童星玩具厂工人的工作时间为：每月22天，每天8小时．工资待遇为：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资500元，按月结算．该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A种产品可得报酬1.50元，每生产一件B种产品可得报酬2.80元．该厂工人可以选择A、B两种产品中的一种或两种进行生产．工人小李生产1件A产品和1件B产品需35分钟；生产3件A产品和2件B产品需85分钟．

（1）小李生产1件A产品需要　　分钟，生产1件B产品需要　　分钟．

（2）求小李每月的工资收入范围．

21．关于三角函数有如下的公式：

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①

cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②

tan（α+β）=③

利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：

tan105°=tan（45°+60°）====﹣（2+）．

根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：

如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．

22．如图1，四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC、AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG．

（1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG；

（2）以线段DE、DG为边作出正方形DEFG，连接KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

23．已知点P在线段AB上，点O在线段AB延长线上，以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点．

（1）如图，如果AP=2PB，PB=BO，求证：△CAO∽△BCO；

（2）如果AP=m（m是常数，且m＞1），BP=1，OP是OA、OB的比例中项，当点C在圆O上运动时，求AC：BC的值（结果用含m的式子表示）．

24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，E为AB上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在OA边上的点D处，点A，D的坐标分别为（5，0）和（3，0）．

（1）求点C的坐标；

（2）求DE所在直线的解析式；

（3）设过点C的抛物线y=2x2+bx+c（b＜0）与直线BC的另一个交点为M，问在该抛物线上是否存在点G，使得△CMG为等边三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．

1．把不等式组：的解集表示在数轴上，正确的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．

【专题】压轴题．

【分析】分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．

【解答】解：解不等式①，得x＞﹣1，

解不等式②，得x≤1，

所以不等式组的解集是﹣1＜x≤1．

故选：B．

【点评】不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画．＜，≤向左画）．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示．“＜”，“＞”要用空心圆圈表示．

2．已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为（　　）

A．0.21×10﹣4 B．2.1×10﹣4 C．2.1×10﹣5 D．21×10﹣6

【考点】科学记数法—表示较小的数．

【专题】应用题．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

【解答】解：0.000 021=2.1×10﹣5．

故选C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．化简÷（1+）的结果是（　　）

A． B． C． D．

【考点】分式的混合运算．

【分析】首先对括号内的式子通分相加，然后把除法转化成乘法，进行约分即可．

【解答】解：原式=÷

=•

=．

故选A．

【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．

4．如图，一根直尺EF压在三角形30°的角∠BAC上，与两边AC、AB交于M、N，那么∠CME+∠BNF是（　　）

A．135° B．150° C．180° D．不能确定

【考点】三角形内角和定理．

【分析】根据三角形内角和可以求得∠AMN+∠ANM的度数，然后根据对顶角相等，从而可以求得∠CME+∠BNF的度数．

【解答】解：∵∠A+∠AMN+∠ANM=180°，∠A=30°，

∴∠AMN+∠ANM=180°﹣∠A=180°﹣30°=150°，

∵∠AMN=∠CME，∠ANM=∠BNF，

∴∠AMN+∠ANM=150°，

故选B．

【点评】本题考查三角形内角和定理、对顶角的性质，解题的关键是明确三角形内角和，利用数形结合的思想解答．

5．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（　　）

A．1 B． C． D．2

【考点】等腰直角三角形；解直角三角形．

【分析】先作DE⊥AB于E，再根据tan∠DBA=，求得BE=5AE，最后根据AB=AE+BE=AE+5AE=6，求得AE=，并在等腰直角三角形ADE中，由勾股定理求得AD即可．

【解答】解：作DE⊥AB于E，

∵tan∠DBA==，

∴BE=5DE，

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴∠A=45°，

∴AE=DE，

∴BE=5AE，

又∵AC=6，

∴AB=6，

∴AE+BE=AE+5AE=6，

∴AE=，

∴在等腰直角三角形ADE中，由勾股定理得AD=2，

故选（D）

【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质以及直角三角形，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，运用三角函数的定义建立关系式进行求解．

6．设一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m（m＞0）的两实根分别为α、β（α＜β），则α、β满足（　　）

A．2＜α＜β＜3 B．2＜α＜3＜β C．α＜2＜β＜3 D．α＜2且β＞3

【考点】根与系数的关系．

【分析】令m=0，根据已知条件得出函数出y=（x﹣2）（x﹣3）的图象与x轴的交点分别为（2，0），（3，0），再根据m＞0，

得出原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，从而得出答案．

【解答】解：令m=0，则函数出y=（x﹣2）（x﹣3）的图象与x轴的交点分别为（2，0），（3，0），

∵m＞0，

∴原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，

∴α＜2且β＞3；

故选D．

【点评】此题主要考查了利用函数图象解决一元二次方程问题，判断出y=（x﹣2）（x﹣3）的图象与方程之间的关系是解题的关键．

7．如图，函数y=﹣x与函数y=﹣的图象相交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C、D，则四边形ACBD的面积为（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的判定与性质．

【分析】反比例函数y=xk图象中任取一点，向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，据此进行计算即可．

【解答】解：∵过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C、D，

∴△AOC的面积=×|﹣4|=2，

又∵AO=BO，∠AOC=∠BOD，

∴△AOC≌△BOD，

∴CO=DO，

∴四边形ADBC是平行四边形，

∴四边形ACBD的面积=4×△AOC的面积=4×2=8，

故选（A）．

【点评】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义以及平行四边形的判定与性质，在反比例函数的图象上任意一点向一条坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．

8．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（　　）

A．a2﹣π B．4﹣π C．π D．（4﹣π）a2

【考点】轨迹；正方形的性质．

【分析】这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是就是小正方形的面积与扇形的面积的差的4倍．

【解答】解：小正方形的面积是：1；

当圆运动到正方形的一个角上时，形成扇形BAO，它的面积是．

则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4×（1﹣）=4﹣π．

故选：B．

【点评】本题主要考查了轨迹、正方形和圆的面积的计算公式，正确记忆公式是关键．

9．有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；③菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1＜d＜7．其中正确的命题有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】命题与定理．

【专题】压轴题．

【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．

【解答】解：①两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误；

②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故错误；

③菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；

④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1≤d≤7，故错误．

所以只有一个正确，故选A．

【点评】此题综合考查平行线的性质，全等三角形的判定，菱形的对称性及两圆的位置与半径的关系．

10．在平面直角坐标系中，对于平面任一点（a，b），若规定以下三种变换：

①f（a，b）=（﹣a，b），如，f（1，3）=（﹣1，3）；

②g（a，b）=（b，a），如，g（1，3）=（3，1）；

③h（a，b）=（﹣a，﹣b），如，h（1，3）=（﹣1，﹣3）．

按照以下变换有：f（g（2，﹣3））=f（﹣3，2）=（3，2），那么f（h（5，﹣3））等于（　　）

A．（﹣5，﹣3） B．（5，﹣3） C．（5，3） D．（﹣5，3）

【考点】点的坐标．

【分析】根据f（a，b）=（﹣a，b），h（a，b）=（﹣a，﹣b），可得答案．

【解答】解：f（h（5，﹣3））=f（﹣5，3）=（（5，3），

故选：C．

【点评】本题考查了点的坐标，利用f（a，b）=（﹣a，b），h（a，b）=（﹣a，﹣b）是解题关键．

11．如图，△OAB中，OA=OB，∠A=30°，⊙O与AB相切，切点为E，并分别交OA，OB于C，D两点，连接CD．若CD等于，则扇形OCED的面积等于（　　）

A．π B．π C．π D．π

【考点】扇形面积的计算；切线的性质．

【专题】计算题．

【分析】根据切线的性质得到直角△AOE，由∠A=30°，得到∠AOE=60°，然后在直角△COF中，求出圆的半径，再用扇形面积公式计算出扇形的面积．

【解答】解：如图：

∵AB与⊙O相切，

∴OE⊥AB．

∵OA=OB，∠A=30°，

∴∠AOE=∠BOE=60°，

∴OE垂直平分CD．

设OE交CD于F，在直角△COF中，CF=CD=，

∴CO=2，

∴S扇形OCED==π．

故选B．

【点评】本题考查的是扇形面积的计算，根据切线的性质得到直角三角形，解直角三角形得到圆的半径，然后用扇形的面积公式求出扇形的面积．

12．如图，在菱形ABCD中，AB=BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：

①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF．

其中正确的结论（　　）

A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．

【专题】压轴题．

【分析】①易证△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；

②证明∠BGE=60°=∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC=∠DGC=60°．过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．证明△CBM≌△CDN，所以S四边形BCDG=S四边形CMGN，易求后者的面积．

③过点F作FP∥AE于P点．

根据题意有FP：AE=DF：DA=1：3，则FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF．

【解答】解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD．

∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形．

∴∠A=∠BDF=60°．

又∵AE=DF，AD=BD，

∴△AED≌△DFB；

②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，

即∠BGD+∠BCD=180°，

∴点B、C、D、G四点共圆，

∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．

∴∠BGC=∠DGC=60°．

过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．

∴CM=CN，

∵，

∴△CBM≌△CDN，（HL）

∴S四边形BCDG=S四边形CMGN．

S四边形CMGN=2S△CMG，

∵∠CGM=60°，

∴GM=CG，CM=CG，

∴S四边形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=CG2．

③过点F作FP∥AE于P点．

∵AF=2FD，

∴FP：AE=DF：DA=1：3，

∵AE=DF，AB=AD，

∴BE=2AE，

∴FP：BE=1：6=FG：BG，

即 BG=6GF．

故选D．

【点评】此题综合考查了全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例、不规则图形的面积计算方法等知识点，综合性较强，难度较大．

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．

13．分解因式：x3﹣4x2﹣12x=　x（x+2）（x﹣6）　．

【考点】因式分解﹣十字相乘法等；因式分解﹣提公因式法．

【分析】首先提取公因式x，然后利用十字相乘法求解即可求得答案，注意分解要彻底．

【解答】解：x3﹣4x2﹣12x

=x（x2﹣4x﹣12）

=x（x+2）（x﹣6）．

故答案为：x（x+2）（x﹣6）．

【点评】此题考查了提公因式法、十字相乘法分解因式的知识．此题比较简单，注意因式分解的步骤：先提公因式，再利用其它方法分解，注意分解要彻底．

14．风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，若选出一人担任班长，则组长是男生的概率为　　．

【考点】概率公式．

【分析】由风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，直接利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：∵风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，

∴选出一人担任班长，则组长是男生的为： =．

故答案为：．

【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

15．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E，连接DE交AC于点P，过P作PF⊥BC，垂足为F，则的值是　　．

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．

【专题】综合题；压轴题．

【分析】根据题意易证△OBE∽△DBC和△EPF∽△EDC，利用相似三角形的相似比求解．

【解答】解：∵OB=OD=BD，OE⊥BC，CD⊥BC，

∴△OBE∽△DBC，

∴OE：CD=1：2，

∵OE∥CD，

∴△OEP∽△CDP，

∴，

∵PF∥DC，

∴△EPF∽△EDC，

∴，

∵CE=BC，

∴=．

故答案为．

【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形对应边的比相等．

16．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于　　（结果保留根号）．

【考点】相似三角形的性质；等边三角形的性质．

【专题】计算题．

【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，再根据求出其边长，可根据三角函数得出三角形面积．

【解答】解：∵△ABC∽△ADE，AB=2AD，

∴=，

∵AB=2AD，S△ABC=，

∴S△ADE=，

如图，在△EAF中，过点F作FH⊥AE交AE于H，

∵∠EAF=∠BAD=45°，∠AEF=60°，

∴∠AFH=45°，∠EFH=30°，

∴AH=HF，

设AH=HF=x，则EH=xtan30°=x．

又∵S△ADE=，

作CM⊥AB交AB于M，

∵△ABC是面积为的等边三角形，

∴×AB×CM=，

∠BCM=30°，

设AB=2k，BM=k，CM=k，

∴k=1，AB=2，

∴AE=AB=1，

∴x+x=1，

解得x==．

∴S△AEF=×1×=．

故答案为：．

【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质等知识点，解得此题的关键是根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，然后问题可解．

17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于P．已知A（2，3），B（1，1），D（4，3），则点P的坐标为（　3　，　　）．

【考点】等腰梯形的性质；两条直线相交或平行问题．

【分析】过A作AM⊥x轴与M，交BC于N，过P作PE⊥x轴与E，交BC于F，根据点的坐标求出各个线段的长，根据△APD∽△CPB和△CPF∽△CAN得出比例式，即可求出答案．

【解答】

解：过A作AM⊥x轴与M，交BC于N，过P作PE⊥x轴与E，交BC于F，

∵AD∥BC，A（2，3），B（1，1），D（4，3），

∴AD∥BC∥x轴，AM=3，MN=EF=1，AN=3﹣1=2，AD=4﹣2=2，BN=2﹣1=1，

∴C的坐标是（5，1），BC=5﹣1=4，CN=4﹣1=3，

∵AD∥BC，

∴△APD∽△CPB，

∴===，

∴=

∵AM⊥x轴，PE⊥x轴，

∴AM∥PE，

∴△CPF∽△CAN，

∴===，

∵AN=2，CN=3，

∴PF=，PE=+1=，CF=2，BF=2，

∴P的坐标是（3，），

故答案为：3，．

【点评】本题考查了坐标与图形性质，梯形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要是考查学生综合运用知识进行计算的能力．

18．如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为　y=x2﹣x+　．

【考点】二次函数图象与几何变换．

【专题】压轴题．

【分析】先求出点A的坐标，再根据中位线定理可得顶点C的纵坐标，然后利用顶点坐标公式列式求出b的值，再求出点D的坐标，根据平移的性质设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，把点A、D的坐标代入进行计算即可得解．

【解答】解：∵令x=0，则y=，

∴点A（0，），

根据题意，点A、B关于对称轴对称，

∴顶点C的纵坐标为×=，

即=，

解得b1=3，b2=﹣3，

由图可知，﹣＞0，

∴b＜0，

∴b=﹣3，

∴对称轴为直线x=﹣=，

∴点D的坐标为（，0），

设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，

则，

解得，

所以，y=x2﹣x+．

故答案为：y=x2﹣x+．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象的对称性确定出顶点C的纵坐标是解题的关键，根据平移变换不改变图形的形状与大小确定二次项系数不变也很重要．

三、解答题：本大题共6个小题，共46分．

19．（1）计算：（）﹣2﹣6sin30°+（﹣2）0+|2﹣|；

（2）先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x=﹣3．

【考点】分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】（1）根据负整数指数幂、锐角三角函数、零指数幂和绝对值可以解答本题；

（2）先化简式子，再将x的值代入即可解答本题．

【解答】解：（1）（）﹣2﹣6sin30°+（﹣2）0+|2﹣|

=4﹣6×+1+|2﹣|

=4﹣3+1+﹣2

=2；

（2）÷（x+2﹣）

=

=，

当x=﹣3时，原式=．

【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式化简求值的方法．

20．童星玩具厂工人的工作时间为：每月22天，每天8小时．工资待遇为：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资500元，按月结算．该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A种产品可得报酬1.50元，每生产一件B种产品可得报酬2.80元．该厂工人可以选择A、B两种产品中的一种或两种进行生产．工人小李生产1件A产品和1件B产品需35分钟；生产3件A产品和2件B产品需85分钟．

（1）小李生产1件A产品需要　15　分钟，生产1件B产品需要　20　分钟．

（2）求小李每月的工资收入范围．

【考点】二元一次方程组的应用．

【专题】应用题．

【分析】（1）生产1件A产品需要的时间+生产1件B产品需要的时间=35分钟，生产3件A产品需要的时间+生产2件B产品需要的时间=85分钟，可根据这两个等量关系来列方程组求解；

（2）可根据（1）中计算的生产1件A，B产品需要的时间，根据“每生产一件A种产品，可得报酬1.50元，每生产一件B种产品，可得报酬2.80元”来计算出生产A，B产品每分钟的获利情况，然后根据他的工作时间，求出这两个获利额，那么他的工资范围就应该在这两个获利额之间．

【解答】解：（1）设小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品分别需要x分钟和y分钟，根据题意，得

，

解得．

答：小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品分别需要15分钟和20分钟；

（2）w=500+1.5x+2.8（22×8×60﹣15x）÷20，整理得w=﹣0.6x+1978.4，

则w随x的增大而减小，

由（1）知小李生产A种产品每分钟可获利1.50÷15=0.1元，

生产B种产品每分钟可获利2.80÷20=0.14元，

若小李全部生产A种产品，每月的工资数目为0.1×22×8×60+500=1556元，

若小李全部生产B种产品，每月的工资数目为0.14×22×8×60+500=1978.4元．

故小李每月的工资数目不低于1556元而不高于1978.4元．

【点评】考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：“1件A，1件B用时35分钟”和“3件A，2件B用时85分钟”，列出方程组，再求解．

21．关于三角函数有如下的公式：

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①

cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②

tan（α+β）=③

利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：

tan105°=tan（45°+60°）====﹣（2+）．

根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：

如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】压轴题；阅读型．

【分析】先由俯角β的正切值及BC求得AB，再由俯角α的正切值及BC求得A、D两点垂直距离．CD的长由二者相减即可求得．

【解答】解：由于α=60°，β=75°，BC=42，

则AB=BC•tanβ=42tan75°=42•=42•=42（），

A、D垂直距离为BC•tanα=42，

∴CD=AB﹣42=84（米）．

答：建筑物CD的高为84米．

【点评】本题考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．

22．如图1，四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC、AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG．

（1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG；

（2）以线段DE、DG为边作出正方形DEFG，连接KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）①根据正方形性质求出AD=DC，∠GAD=∠DCE=90°，根据全等三角形判定推出即可；②根据全等得出∠GDA=∠CDE，求出∠GDE=∠GDA+∠ADE=∠ADC=90°即可；

（2）四边形CEFK是平行四边形，推出EF=CK，EF∥CK，根据平行四边形的判定推出即可．

【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠GAD=∠DCE=90°，

在△GAD和△ECD中

∴△GAD≌△ECD（SAS），

∴DE=DG；

②∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，

∵△GAD≌△ECD，

∴∠GDA=∠CDE，

∴∠GDE=∠GDA+∠ADE=∠CDE+∠ADE=∠ADC=90°，

∴DE⊥DG；

（2）四边形CEFK是平行四边形，理由如下：

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠ECD=90°，BC=CD，

在△KBC和△ECD中

，

∴△KBC≌△ECD（SAS），

∴DE=CK，∠DEC=∠BKC，

∵∠B=90°，

∴∠KCB+∠BKC=90°，

∴∠KCB+∠DEC=90°，

∴∠EOC=180°﹣90°=90°，

∵四边形DGFE是正方形，

∴DE=EF=CK，∠FED=90°=∠EOC，

∴CK∥EF，

∴四边形CEFK是平行四边形．

【点评】此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂．

23．已知点P在线段AB上，点O在线段AB延长线上，以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点．

（1）如图，如果AP=2PB，PB=BO，求证：△CAO∽△BCO；

（2）如果AP=m（m是常数，且m＞1），BP=1，OP是OA、OB的比例中项，当点C在圆O上运动时，求AC：BC的值（结果用含m的式子表示）．

【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．

【分析】（1）根据夹角相等，对应边成比例可证；

（2）OP是OA，OB的比例中项，OC=OP，△CAO∽△BCO可得．

【解答】（1）证明：∵AP=2PB=PB+BO=PO，

∴AO=2PO．

∴==2，

∵PO=CO，

∴．

∵∠COA=∠BOC，

∴△CAO∽△BCO；

（2）解：设OP=x，则OB=x﹣1，OA=x+m，

∵OP是OA，OB的比例中项，

∴x2=（x﹣1）（x+m），

∴x=．

即OP=，

∴OB=，

∵OP是OA，OB的比例中项，即=，

∵OP=OC，

∴．

设⊙O与线段AB的延长线相交于点Q，当点C与点P，点Q不重合时，

∵∠AOC=∠COB，

∴△CAO∽△BCO，

∴=，

∴===m．

当点C与点P或点Q重合时，可得=m，

∴当点C在圆O上运动时，AC：BC=m．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，比例的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，E为AB上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在OA边上的点D处，点A，D的坐标分别为（5，0）和（3，0）．

（1）求点C的坐标；

（2）求DE所在直线的解析式；

（3）设过点C的抛物线y=2x2+bx+c（b＜0）与直线BC的另一个交点为M，问在该抛物线上是否存在点G，使得△CMG为等边三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【专题】综合题；压轴题．

【分析】（1）根据折叠的性质可得出BC=CD=AO=5，可在直角三角形OCD中，根据CD和OD的长用勾股定理求出OC的值．即可得出C点的坐标．

（2）本题的关键是求出E点的坐标，可设AE=x，那么BE=DE=4﹣x，在直角三角形DEA中，用勾股定理即可求出AE的长，也就求得了E点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DE的解析式．

（3）根据C点的坐标即可得出抛物线的待定系数中c=4，根据抛物线的和等边三角形的对称性，如果△CMG是等边三角形，G必为抛物线顶点，可据此表示出G点的坐标．设抛物线的对称轴与直线BC的交点为F，那么可根据G点的坐标和C点的坐标求出CF和FG的长，然后根据△CMG是等边三角形FG=FC，据此可求出b的值，即可确定抛物线的解析式，然后根据抛物线的解析式即可求出G点的坐标．