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四川省成都外国语学校2017-2018学年高考数学模拟试卷(文科)(三) Word版含解析-

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2017-2018学年四川省成都外国语学校高考数学模拟试卷（文科）（三）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若图所示的集合A={1，2，3}，B={x∈Z|x2﹣6x+8≤0}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．{1，2} B．{1，3} C．{1，4} D．{2，3}
2．已知i是复数的虚数单位，若复数z（1+i）=|2i|，则复数z=（ ） A．i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i 3．在等差数列{an}中，若a4+a6+a8=6，则a7﹣a8=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ）

A． B． C． D．
在方向上的5．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量投影为（ ） A． B． C． D．
6．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）



A． B． C．0 D．
，﹣），角速7．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）

A． B． C． D．
8．=1+xlg若函数f（x） 是其定义域上的偶函数，则函数y=f（x）的图象不可能是（
）

A． B． C． D．
9．经过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于M，N两点，若|MN|=A．2或 B．或 C． D．，则该双曲线的离心率是（ ）

10．已知函数f（x）=（3x+1）ex+1+mx（m≥﹣4e），若有且仅有两个整数使得f（x）≤0，则实数m的取值范围是（ ） A．（，2] B．[﹣，﹣C．[﹣，﹣）
） D．[﹣4e，﹣）


二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上 11．计算lg+lg2•log3=______．
12．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为______的学生．
13．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则•的取值范围是______． 14．已知A（0，1），B（﹣，0），C（﹣，2），则△ABC内切圆的圆心到直线y=﹣x+1的距离为______．
15．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上，f″（x）恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”．例如函数f（x）=lnx在任意正实数区间（a，b）上都是凸函数．现给出如下： ①区间（a，b）上的凸函数f（x）在其图象上任意一点（x，f（x））处的切线的斜率随x的增大而减小； ②若函数f（x），g（x）都是区间（a，b）上的凸函数，则函数y=f（x）g（x）也是区间（a，b）上的凸函数；


③若在区间（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则∀x1，x2∈（a，b），x1≠x2，都有f（＞；
）④对满足|m|≤1的任意实数m，若函数f（x）=上均为凸函数，则b﹣a的最大值为2．
x4﹣mx3﹣x2+mx﹣m在区间（a，b）⑤已知函数f（x）=﹣，x∈（1，2），则对任意实数x，x0∈（1，2），f（x）≤f（x0）+f′（x0）（x﹣x0）恒成立； 其中正确的序号是______．（写出所有正确的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤. 16．已知向量=（sinωx+cosωx， cosωx），=（cosωx﹣sinωx，2sinωx）（ω＞0），若函数f（x）=•的相邻两对称轴间的距离等于．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且f（C）=1，c=2，且sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．
17．2016年5月20日，针对部分“二线城市”房价上涨过快，媒体认为国务院常务会议可能再次确定五条措施（简称“国五条”）．为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图（如图），同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表（如表）：
月收入（百赞成人数
元）
8 [15，25）
7 [25，35）
10 [35，45）
6 [45，55）
2 [55，65）
2 [65，75）
（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计这60人的中位数和平均月收入；
（Ⅱ）若从月收入（单位：百元）在[65，75）的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，求被选取的2人都不赞成的概率．



18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，E为AD上一点，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=ED=2AE，F为PC上一点，且CF=2FP． （Ⅰ）求证：PA∥平面BEF；
（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABF与三棱锥F﹣EBC的体积之比．

19．已知各项为正数的数列{an}的前n项和为Sn且满足an2+2an=4Sn． （Ⅰ）数列{an}的通项an； （Ⅱ）令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
20．已知F1、F2是椭圆+=1的左、右焦点，O为坐标原点，点P（﹣1，）在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足+=；
（1）求椭圆的标准方程；
（2）⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B．当=λ且满足≤λ≤时，求△AOB面积S的取值范围．
21．设知函数f（x）=﹣x+alnx（a∈R）（e=2.71828…是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=0，求实数a的值； （Ⅱ）若函数f（x）在定义域上不单调，求a的取值范围；
（Ⅲ）设函数f（x）的两个极值点为x1和x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，是否存在a，使得k≤在，请说明理由．

a﹣2？若存在，求出a的取值集合；若不存


2016年四川省成都外国语学校高考数学模拟试卷（文科）（三）
参考答案与试题解析


一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若图所示的集合A={1，2，3}，B={x∈Z|x2﹣6x+8≤0}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．{1，2} B．{1，3} C．{1，4} D．{2，3} 【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【分析】根据阴影部分对应的集合为∁U（A∩B）∩（A∪B），然后根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：由题意可知阴影部分对应的集合为∁U（A∩B）∩（A∪B）， ∵x2﹣6x+8≤0， ∴（x﹣2）（x﹣4）≤0， 解的2≤x≤4， ∴B={2，3，4}， ∵A={1，2，3}，
∴A∩B={2，3}，A∪B={1，2，3，4}， ∴∁U（A∩B）∩（A∪B）={1，4}， 故选：C

2．已知i是复数的虚数单位，若复数z（1+i）=|2i|，则复数z=（ ） A．i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：∵z（1+i）=|2i|=2， ∴故选：D．

3．在等差数列{an}中，若a4+a6+a8=6，则a7﹣a8=（ ） A．1 D．4 【考点】等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a4+a6+a8=6，
B．2 C．3 ．


∴3a1+15d=6．∴a1+5d=2． 则a7﹣a8=a1+6d﹣==1．
故选：A．

4．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ）

A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图和题意知，三棱锥的底面边长和三棱锥的高，由锥体的体积公式求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图和题意知，三棱锥的底面是等腰直角三角形， 底边和底边上的高分别为、，三棱锥的高是2， ∴几何体的体积V==，
故选：D．

5．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量投影为（ ） A． B． C． D．
在方向上的【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】先求向量，的坐标，然后根据投影的计算公式即可求出向量的投影为在方向上，从而进行数量积的坐标运算，以及根据坐标求向量长度即可．
【解答】解：；
∴向量在方向上的投影为： =．
故选D．

6．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）



A． B． C．0 D．
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：当i=1时，执行完循环体后：S=当i=2时，执行完循环体后：S=当i=3时，执行完循环体后：S=当i=4时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=2；
，满足继续循环的条件，故i=3； ，满足继续循环的条件，故i=3； ，满足继续循环的条件，故i=5；
当i=5时，执行完循环体后：S=0，满足继续循环的条件，故i=6； 当i=6时，执行完循环体后：S=0，满足继续循环的条件，故i=7； 当i=7时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=8；
当i=8时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=9； 当i=9时，执行完循环体后：S=，不满足继续循环的条件， 故输出结果为， 故选：A

7．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）
，﹣），角速


A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．
【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当故应选C．


8．=1+xlg若函数f（x） 是其定义域上的偶函数，则函数y=f（x）的图象不可能是（
）时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】先根据偶函数的性质得到a+b=0，在分类讨论即可判断函数的图象． 【解答】解：因为f（x）偶函数， 所以1﹣xlg所以==1+xlg，
，
∴a+b=0，
①当a=b=0时，选项A正确，
②当a=﹣b＞0时，f（x）＜1选项B正确， ③当a=﹣b＜0时，f（x）＞1选项D正确， 故选：C．



9．经过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于M，N两点，若|MN|=A．2或 B．或 C． D．，则该双曲线的离心率是（ ）

【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据直线垂直的等价条件求出直线方程，利用方程组法求出交点坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可．
【解答】解：双曲线的右焦点F（c，0），双曲线的渐近线方程为y=±x， 则过F与y=x垂直的直线的斜率k=﹣， 则对应的方程为y=﹣（x﹣c），
由得，即M（，），
由得，即N（，﹣），
∵|MN|=∴|MN|2=， a2，
）2=a2，
即（﹣）+（+整理得==，
即=或=﹣，
即8c2=10a2或10a2=2c2， 则e2=或e2=5， 则e=或，


故选：B

10．已知函数f（x）=（3x+1）ex+1+mx（m≥﹣4e），若有且仅有两个整数使得f（x）≤0，则实数m的取值范围是（ ） A．（，2] B．[﹣，﹣C．[﹣，﹣）
） D．[﹣4e，﹣）
【考点】函数的图象．
【分析】根据不等式的关系转化为两个函数的大小关系，构造函数g（x）=mx，h（x）=﹣（3x+1）ex+1，利用g（x）≤h（x）的整数解只有2个，建立不等式关系进行求解即可． 【解答】解：由f（x）≤0得（3x+1）ex+1+mx≤0， 即mx≤﹣（3x+1）ex+1，
设g（x）=mx，h（x）=﹣（3x+1）ex+1，
h′（x）=﹣（3ex+1+（3x+1）ex+1）=﹣（3x+4）ex+1， 由h′（x）＞0得﹣（3x+4）＞0，即x＜﹣， 由h′（x）＜0得﹣（3x+4）＜0，即x＞﹣， 即当x=﹣时，函数h（x）取得极大值，
当m≥0时，满足g（x）≤h（x）的整数解超过2个，不满足条件． 当m＜0时，要使g（x）≤h（x）的整数解只有2个，
则满足，即，
即，即﹣≤m＜﹣，
即实数m的取值范围是[﹣故选：B ，﹣），




二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上 11．计算lg+lg2•log3=
．
【考点】对数的运算性质．
【分析】根据对数的运算性质计算即可． 【解答】解：lg故答案为：．


12．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为 37 的学生． 【考点】系统抽样方法．
【分析】由题设知第八组的号码数比第三组的号码数大（8﹣3）×5，由此能求出结果．
…，【解答】解：这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，第十组46～50号，
在第三组中抽得号码为12的学生，
则在第八组中抽得号码为12+（8﹣3）×5=37． 故答案为：37．

+lg2•log3=lg5+lg2=lg10=，
13．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则•的取值范围是 [﹣2，0） ． 【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算．
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性便可将已知的不等式组变成①，可求出，并设z=x﹣y，从而y=x﹣z，﹣z便表示直线y=x﹣z在y轴上的截距，

可画出不等式组①所表示的平面区域，这样由线性规划的知识即可求出z的范围，即得出的取值范围．
【解答】解：解2x﹣1≤1得，x≤1，解log2（y﹣1）≤0得，1＜y≤2；
∴点M（x，y）所在平面区域为①；
；
设z=x﹣y，即y=x﹣z，﹣z表示直线y=x﹣z在y轴上的截距，作出不等式组①所表示的平面区域如下图阴影部分所示：
由线性规划的知识得，0＜﹣z≤2； ∴﹣2≤z＜0； ∴的取值范围为[﹣2，0）． 故答案为：[﹣2，0）．



14．已知A（0，1），B（﹣x+1的距离为 1 ．
，0），C（﹣，2），则△ABC内切圆的圆心到直线y=﹣【考点】点到直线的距离公式．
【分析】由三角形的三个顶点坐标求出内切圆的圆心，再由点到直线的距离公式求得答案．【解答】解：∵A（0，1），B（﹣，0），C（﹣，2）， ∴AB的中点坐标为（﹣又kAB==，
， （x+），
，），
∴AB的垂直平分线的斜率为k=﹣则AB的垂直平分线方程为y﹣=﹣又BC的垂直平分线方程为y=1， 代入上式得：△ABC外接圆的圆心，


也是内切圆的圆心I（﹣则C到直线y=﹣，1），
x+1的距离为
d==1．
故答案为：1．



15．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上，f″（x）恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”．例如函数f（x）=lnx在任意正实数区间（a，b）上都是凸函数．现给出如下： ①区间（a，b）上的凸函数f（x）在其图象上任意一点（x，f（x））处的切线的斜率随x的增大而减小； ②若函数f（x），g（x）都是区间（a，b）上的凸函数，则函数y=f（x）g（x）也是区间（a，b）上的凸函数；
③若在区间（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则∀x1，x2∈（a，b），x1≠x2，都有f（＞；
x4﹣mx3﹣x2+mx﹣m在区间（a，b））④对满足|m|≤1的任意实数m，若函数f（x）=上均为凸函数，则b﹣a的最大值为2．
⑤已知函数f（x）=﹣，x∈（1，2），则对任意实数x，x0∈（1，2），f（x）≤f（x0）+f′（x0）（x﹣x0）恒成立；
其中正确的序号是 ①③⑤ ．（写出所有正确的序号） 【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】根据函数的凹凸性的定义，函数的单调性判断①③，举例判断②，根据函数的单调性求出b﹣a的最大值判断④，构造新函数结合函数的单调性求出F（x）的最大值判断⑤．
【解答】解：①有凸函数的图象作切线变知正确，或者因为在区间（a，b）上，f''（x）＜0恒成立，
所以f'（x）在区间（a，b）单调减，所以结论成立，①正确；


②举反例说明：如：函数f（x）=﹣x2，在区间（0，1）都是凸函数，
但是f（x）•g（x）=x在区间（0，1）不是凸函数，②错误；
③若在区间（a，b）上，f''（x）＜0恒成立，所以函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”．有图象知道成立，③正确；
④因为f''（x）=x2﹣mx﹣2的两个零点为a，b（a＜b），
所以（b﹣a）2=（a+b）2﹣4ab=m2+8在m∈[﹣1，1]的最大值为9，即（b﹣a）max=3，④错误；
⑤由已知转化为，数形结合转化割线与切线的问题，
或者构造新函数F（x）=f（x）﹣f（x0）﹣f'（x0）（x﹣x0），注意：F（x0）=0 因为F'（x）=f'（x）﹣f'（x0）而，F''（x）=f''（x）＜0，
所以F'（x）=f'（x）﹣f'（x0）单调减，且F'（x）≤F'（x0）=0， 所以，F（x）max=F（x0）=0，⑤正确； 故答案为：①③⑤．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤. 16．已知向量=（sinωx+cosωx， cosωx），=（cosωx﹣sinωx，2sinωx）（ω＞0），若函数f（x）=•的相邻两对称轴间的距离等于．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且f（C）=1，c=2，且sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算． 【分析】（Ⅰ）由数量积的坐标表示得到f（x），降幂后利用辅助角公式化积，代入周期公式求ω的值；
（Ⅱ）由f（C）=1求得C，由已知得到sinBcosA=3sinAcosA．然后分cosA=0和cosA≠0分类求解求得△ABC的面积． 【解答】解：（Ⅰ）∵=（sinωx+cosωx， cosωx），=（cosωx﹣sinωx，2sinωx）， ∴f（x）=•==，
，则ω=1； ，
，而，得．
，
=∵ω＞0，∴函数f（x）的周期T=（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∵f（C）=1，∴∴由 C=π﹣（A+B），得sinC=sin（B+A）=sinBcosA+cosBsinA，


∵sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，
∴sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA﹣cosBsinA=6sinAcosA， 整理得sinBcosA=3sinAcosA． 若cosA=0，即A=于是b=ctanB=2tan时，△ABC是直角三角形，且B==，∴S△ABC=bc=．
，
若cosA≠0，则sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a．① 由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcos60°② 联立①②，结合c=2，解得a=∴S△ABC=absinC=×综上，△ABC的面积为×或，b=×．
=， ．


17．2016年5月20日，针对部分“二线城市”房价上涨过快，媒体认为国务院常务会议可能再次确定五条措施（简称“国五条”）．为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图（如图），同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表（如表）：
月收入（百赞成人数
元）
8 [15，25）
7 [25，35）
10 [35，45）
6 [45，55）
2 [55，65）
2 [65，75）
（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计这60人的中位数和平均月收入；
（Ⅱ）若从月收入（单位：百元）在[65，75）的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，求被选取的2人都不赞成的概率．

【考点】频率分布直方图． 【分析】（Ⅰ）根据中位数的两边频率相等，列出方程即可求出中位数；
利用频率分布直方图中各小矩形的底边中点坐标×对应的频率，再求和，即得平均数；


（Ⅱ）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值． 【解答】解：（Ⅰ）设中位数为x，由直方图知： 10×0.015+10×0.015+（x﹣35）×0.025=0.5， 解得x=43；
平均数为=（20×0.015+30×0.015+40×0.025+50×0.02+60×0.015+70×0.01）×10=43.5； ∴这60人的平均月收入约为43.5百元；…
（Ⅱ）月收入为（单位：百元）在[65，75）的人数为： 60×10×0.01=6人，…
由表格赞成人数2人，则不赞成的4人为：
记不赞成的人为：a，b，c，d；赞成人数为：A，B 则从这6人中随机地选取2人一共有15种结果如下：
ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB；… 其中被选取的2人都不赞成的结果有6种结果如下： ab，ac，ad，bc，bd，cd；…
记事件A：“被选取的2人都不赞成”， 则：P（A）===；
故被选取的2人都不赞成的概率为．…


18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，E为AD上一点，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=ED=2AE，F为PC上一点，且CF=2FP． （Ⅰ）求证：PA∥平面BEF；
（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABF与三棱锥F﹣EBC的体积之比．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ） 连接AC交BE于点M，运用平行线分线段成比例的逆定理，证得FM∥AP，再由线面平行的判定定理，即可得证；
（Ⅱ）运用棱锥的体积公式和等积法，结合线面垂直的性质和判定，以及平行线分线段成比例的性质，即可求出点到平面的距离，再由体积公式，即可得到． 【解答】（Ⅰ） 证明：连接AC交BE于点M， 连接FM．∵EM∥CD，
∴==，
∴FM∥AP，
∵FM⊂面BEF，PA⊄面BEF， ∴PA∥面BEF；


（Ⅱ）设BC=2a，BE=b，PF=c，PE=d，
则由于CF=2FP，则F到平面BCDE的距离为d， 则三棱锥F﹣EBC的体积为×d××2ab=abd，
三棱锥P﹣ABF的体积即为三棱锥A﹣PBF的体积，
过E作EN⊥PB，垂足为N，由于PE⊥平面ABCD，则PE⊥BC，又BC⊥BE， 则有BC⊥平面PBE，即有BC⊥EN， 则EN⊥平面PBC，且EN=，
由于ED=2AE，则A到平面PBF的距离为EN=，
则三棱锥A﹣PBF的体积为××=abd，
则三棱锥P﹣ABF与三棱锥F﹣EBC的体积之比为9：4．



19．已知各项为正数的数列{an}的前n项和为Sn且满足an2+2an=4Sn． （Ⅰ）数列{an}的通项an； （Ⅱ）令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（Ⅰ）运用n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，结合等差数列的通项公式，即可得到所求； （Ⅱ）求得bn===（﹣）= [﹣]，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．
【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，an2+2an=4Sn．
即为，
解得a1=2或者a1=0（舍去）


又当n≥2时，①﹣②得：①
②
，
分解因式得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0； 又an＞0，可得an﹣an﹣1=2（n≥2），
则数列{an}是以首项为2，公差为2的等差数列， 则an=2n； （Ⅱ）bn===（﹣）
= [﹣]，
+﹣．
+…+﹣]
则Tn=b1+b2+…+bn= [﹣= [﹣

20．已知F1、F2是椭圆+]=﹣=1的左、右焦点，O为坐标原点，点P（﹣1，）在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足+=；
（1）求椭圆的标准方程；
（2）⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B．当=λ且满足≤λ≤时，求△AOB面积S的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）由圆O与直线l相切，和m2=k2+1，由x2+4kmx+2m2﹣2=0，，得（1+2k2）由此能求出△AOB面积S的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）∵+=，∴点M是线段PF2的中点，
∴OM是△PF1F2的中位线， 又OM⊥F1F2∴PF1⊥F1F2


∴，解得a2=2，b2=1，c2=1，
∴椭圆的标准方程为=1．
（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，∴，即m2=k2+1，
由，消去y：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，
∵直线l与椭圆交于两个不同点，
∴△＞0，∴k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1+x2=﹣，，
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）
=
=，
=x1x2+y1y2==λ，
∴，∴，解得：，
S=S△AOB==

=设μ=k4+k2，则S=，，
， ，


∵S关于μ在[S（）=∴

]上单调递增，
，S（2）=． ．
21．设知函数f（x）=﹣x+alnx（a∈R）（e=2.71828…是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=0，求实数a的值； （Ⅱ）若函数f（x）在定义域上不单调，求a的取值范围；
（Ⅲ）设函数f（x）的两个极值点为x1和x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，是否存在a，使得k≤a﹣2？若存在，求出a的取值集合；若不存在，请说明理由．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=0，可得f'（1）=0，即可求实数a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在定义域上不单调，分类讨论，结合二次函数的性质求a的取值范围；（Ⅲ）若，则，由（Ⅰ）知，不妨设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）且有x1•x2=1，则得x1﹣x2≤（lnx1﹣lnx2），即﹣x2+lnx2≤0，x2∈（1，+∞），构造函数，即可求出a的取值集合． fx）【解答】解：（Ⅰ）（的定义域为（0，+∞），并求导∴f'（1）=0，得a=2；
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），并求导令g（x）=x2﹣ax+1，其判别式△=a2﹣4，由已知必有△＞0，即a＜﹣2或a＞2； ①当a＜﹣2时，g（x）的对称轴且g（0）=1＞0，则当x∈（0，+∞）时，g（x），

，＞0，
即f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意； ②当a＞2时，g（x）的对称轴且g（0）=1＞0，则方程g（x）=0有两个不等x1和x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），x1•x2=1， 当x∈（0，x1），x∈（x2，+∞）时，f′（x）＜0；当x∈（x1，x2）时，f′（x）＞0， 即f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递减；在（x1，x2）上单调递增；


综上可知，a的取值范围为（2，+∞）；
（Ⅲ）假设存在满足条件的a，由（1）知a＞2．
因为，
所以，
若，则，
由（1）知，不妨设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）且有x1•x2=1， 则得x1﹣x2≤（lnx1﹣lnx2），即﹣x2+lnx2≤0，x2∈（1，+∞） …（*）
设F（x）=﹣x+lnx（x＞1），
并记x1′= [﹣]，x2′= [+]，
则由（1）②知，F（x）在，
上单调递增，在上单调递减，且又F（1）=F（e）=0，所以当x∈（1，e）时，F（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，F（x）＜0，
由方程（*）知，F（x2）≤0，故有x2≥e， 又由（1）知递增），
又a＞2，因此a的取值集合是

．
，知（∵在[e+∞）上单调


2016年9月18日


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/ddea1e7742323968011ca300a6c30c225901f032.html

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