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浙江省绍兴市上虞市2020年中考数学一模试卷(有答案)

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浙江省绍兴市上虞市2020年中考数学一模试卷（解析版）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
15的相反数是（ A.寺 B. 5 C.-厂 D.- 5 ）
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上 乞”号，求解即可. 【解答】解：-5的相反数是5, 故选：B. 【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上
■”号：一个正数
的相反数是负数，一个负数的相反数是正数， 0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的 意义混淆. 2.杭绍台城际铁路的建设，使浙江南北联通更加紧密，迎来
亿元.将350亿用科学记数法表示为（
）
1011高铁时代”该铁路总投资350 A. 3.50× 10 B. 350× 10
28C. 3.50× 10 D. 3.50× 10
n【分析】科学记数法的表示形式为a× 10的形式，其中1≤∣a∣ V10，n为整数.确定n的值 是易错点，由于350亿有11位，所以可以确定n=11-仁10. 【解答】 解：350 亿=35 000 000 000=3.5× 10. 故选：C. 【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a与n值是关键. 103.下列几何体是由 4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（
B.
C. D. 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案. 【解答】解：A、主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，左视图是第一层 一个小正方形，第二层一个小正方形，故 A错误；
B、主视图是第一层两个小正方形，第二层中间一个小正方形，第三层中间一个小正方形，左
视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形，故
B错误；
C主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形, 第二层左边一个小正方形，故 C正确；


D、主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，
第二层左边一个小正方形，故 D错误； 故选：C. 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图， 从左边看得到的图 形是左视图. 4•如图，小聪把一块含有60。角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上， 并测得∠ 1=25。, 600
【分析】先根据两直线平行，内错角相等求出∠ 3 ,再根据直角三角形的性质用∠ 2=60。代入数据进行计算即可得解. 【解答】解：T直尺的两边互相平行，∠ 1=25°, ∙∙∙∠ 3=∠ 仁25°, ∙∙∙∠ 2=60o -∠ 3=60° - 250=350. 【点评】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质是解题的关键. 5.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解. 【解答】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确; B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误； C不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

-/ 3



D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误. 故选：A. 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴， 形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转
图
180度后两部分重合. 6.—个盒子装有除颜色外其它均相同的
是一个红球、一个白球的概率为（
2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的
A.
B. C. 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取到的是一个红球、 一个白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案. 【解答】解：画树状图得: 红臭 黒
红白白白红夕白白红红白臼红红白臼红红白臼
•••共有20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有 12种情况, •••取到的是一个红球、一个白球的概率为: 故选：C. 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.注意此题是不放回实验.用到的知识点为：概 率=所求情况数与总情况数之比. 7.如图，正方形ABCD的边长为10, AG=CH=8 BG=DH=6连接GH,则线段GH的长为（ ）
14 5
【分延长BG交CH于点E,根据正方形的性质证明厶 ABG^△ CDH^△ BCE可得GE=BE -BG=2、HE=CH- CE=2 ∠ HEG=90,由勾股定理可得 GH的长. 【解答】解：如图，延长BG交CH于点E, J A
l
D





∖ ∕⅛




S

C
在厶ABG和厶CDH中，
'AB=CD=IO « AG^H=8 , L βG=BH=6
•••△ ABG^△ CDH (SSS , AG+BG=AB222, ∙∙∙∠ 1 = ∠ 5,∠ 2=∠ 6,∠ AGB=/ CHD=90 , ∙∙∙∠ 1+∠ 2=90°, ∠ 5+∠ 6=90°, 又∙∙∙∠ 2+∠ 3=90°, ∠ 4+∠ 5=90° , .∙.∠ 1 = ∠ 3=∠ 5 , ∠ 2=∠ 4=∠ 6 , 在厶ABG和厶BCE中,
^Z1=Z3 * AB=BC , LZ2=Z4
•••△ ABG^△ BCE (ASA, .BE=AG=8 CE=BG=6 ∠ BEC∠ AGB=90 , .GE=BE- BG=8- 6=2 , 同理可得HE=2, 在 RTAGHE中,GHf H-=; 故选：B. 【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、 勾股定理及其逆定理的综合 运用，通过证三角形全等得出厶 GHE为等腰直角三角形是解题的关键. - =2 ":, 8.法国的 小九九”从一一得一”到五五二十五”和我国的 小九九”是一样的,后面的就改用手 势了
•右面两个图框是用法国 小九九”计算7× 8和8× 9的两个示例•若用法国 小九九”计算 7× 9,左、右手依次伸出手指的个数是(
f 7X3=?

丁两手忡出的手t≡和为左手 右手
5,
.證粋72
(8x3⅛=lCx(3+4>2y l=72ξ
A. 2, 3 B. 3, 3 C. 2, 4 D. 3、4 【分析】按照题中示例可知：要计算a× b,左手应伸出（a-5）个手指，未伸出的手指数为5 -（a-5） =10-a；右手应伸出（b - 5）个手指，未伸出的手指数为5-（ b-5） =10-b. 【解答】解：要计算7× 9,左手应伸出手指：
7-5=2 （个）；
右手应伸出手指：
9- 5=4 （个）. 故选：C. 【点评】此题考查数字的变化规律.通过阅读规则，得出一般结论.解题关键是对号入座不要 找错对应关系. 9 .如图，。O的半径为1, AD, BC是。O的两条互相垂直的直径，点 P从点O出发（P点与 O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=X sin∠ APB=y那么y与X之间的关系图象大 致是（ ）
A.
B. C. D. 【分析】根据题意分1vx≤ "与.「Vx≤2两种情况，确定出y与X的关系式，即可确定出图 象. 【解答】解：当P在OC上运动时，根据题意得：Sin∠ APB ■/ OA=1, AP=x, sin∠ APB=y
xy=1, 即 y-( 1<x≤ ：, ∠ AOB=45, 当P在上运动时，∠

此时 y=「C -：≤ 2, I ■ Ia
%
图象为: 故选：C. 【点评】此题考查了动点问题的函数图象，列出 y与X的函数关系式是解本题的关键.

10. 如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系XOy中，C是AB边上的动点
（不与端点A, B重合），作CD丄OB于点D,若点C, D都在双曲线 产 上（k>0, x>0）, 则k的值为（A. 25 「；
B. 18 - C. 9 【分析】根据等边三角形的性质表示出 D, C点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特 征得出答案. 【解答】解：过点D作DE⊥X轴于点E,过C作CF⊥X轴于点F,如图所示. 可得：∠ ODE=3C∠ BCD=30, 设 OE=a 贝U OD=2a, DE= ："；a, ∙∙∙ BD=OB- OD=10- 2a, BC=2BD=20- 4a, AC=AB- BC=4a- 10, .∙. AF=-AC=2a- 5, CF= 'AF= -: (2a-5, OF=OA- AF=15- 2a, •••点 D (a, 一「； a,点 C[15- 2a, 「(2a-5]. •••点C、D都在双曲线y=^上(k>0, x>0, •••a? 'a= (15 - 2a× 「； (2a- 5, 解得：a=3或a=5.


当a=5时，Do=OB AC=AB点C D与点B重合，不符合题意, .∙∙ a=5 舍去. ••点 D （3, 3 '；）, ••• k=3× 3 :=9 ";. 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质, 出点D、C的坐标. 解题的关键是找
二、填空题
11.
(y+2( y- 2
【分析】原式提取X,再利用平方差公式分解即可. ( 5.00 分分解因式：xy - 4x= X . 2【解答】解：原式=X (y-4 =X (y+2( y-2, 故答案为：X (y+2(y-2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用， 熟练掌握因式分解的方法是解本题的关 键. 212. ( 5.00分在平面直角坐标系中，把点 A (2, 3向左平移一个单位得到点 A',则点A' 关于原点对称的点 A''的坐标为 (-1 ,- 3. 【分析】直接利用平移的性质得出点 A'的坐标，再利用关于原点对称点的性质得出答案. 【解答】解：T点A (2, 3向左平移一个单位得到点 A', • A (1, 3, •点A'关于原点对称的点A''的坐标为：(-1,- 3. 故答案为：(-1 , - 3. 【点评】此题主要考查了平移变换以及关于原点对称点的性质， 正确记忆关于原点对称点的性 质是解题关键. 13.( 5.00分如图的七边形 ABCDEFGK AB、ED的延长线相交于O点.若图中∠ 1、/ 2、

∠ 3、/ 4的外角的角度和为220°,则∠ BoD的度数为
40

—Λ .



M.

0/
∖D υE



【分析】由外角和内角的关系可求得∠ 1、/ 2∖∠ 3、/ 4的和，由五边形内角和可求得五边
形OAGFE的内角和，则可求得∠ BOD. 【解答】解：
∙∙∙∠ 1、/ 2、/ 3、/ 4的外角的角度和为 220°, ∙∙∙∠ 1+/2+/ 3+/ 4+220=4× 180°, o•••/ 1+/2+/ 3+/ 4=500°, •••五边形 OAGFE内角和=(5-2× 180=540, oo∙∙∙/ 1+/2+/ 3+/ 4+/ BOD=540, ∙∙∙/ BOD=540 - 500=40, oo故答案为：40°. 【点评】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得/ 和是解题的关键. 1、/ 2、/ 3、/ 4的
14.( 5.00 分如图，直线 y=mx+n 与抛物线 y=af+bx+c交于 A (- 1 , P , B (4, q两点, 则关于X的不等式 mx+n> ax+bx+c的解集是 xv — 1或x>4 . 2【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论. 【解答】解：观察函数图象可知：当XV- 1或x> 4时，直线y=mx+ n在抛物线y=ax+bx+c的 上方，
•••不等式 mx+n>ax+bx+c的解集为XV- 1或x>4. 22故答案为：XV- 1或x>4. 【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是 解题的关键.

15.（5.00分）圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题： 今有圆材, 埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 ”此问题的实质就是解决下 面的问题：如图，CD为。O的直径，弦AB⊥CD于点E, CE=1, AB=10,求CD的长”根据题
26
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解. 【解答】解：连接OA, AB⊥ CD, 由垂径定理知，点 E是AB的中点，AE=-AB=5, OE=OC- CE=OA- CE 设半径为r,由勾股定理得，OA=A底+OE=AW+ （OA- CE ,即卩r=5+ （r- 1） 解得：r=13, 所以 CD=2r=26 即圆的直径为26. 222222
【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解. 16. （5.00分）如图，平面直角坐标系中O是原点，?OABC的顶点A, C的坐标分别是（8, 0）, （3, 4）,点D, E把线段OB三等分，延长CD, CE分别交OA, OB于点F, G,连结FG,则
4√ξ
下列结论：①F是OA的中点；②△。/。与厶BEG相似；③四边形DEGF的面积是20；④OD= 一：； 其中正确的结论是①（填写所有正确结论的序号）

【分析】①证明△ CDB^△ FDO,列比例式得：爺 喘,再由D、E为OB的三等分点，贝惴彳=2, 可得结论正确；
② 如图2,延长BC交y轴于H证明OA≠AB,则∠ AOB≠∠ EBG,所以△ OFAA BEG不成立; ③ 如图3 ,利用面积差求得：S∖CFG=S?OABC- S∖OFC- SACBG- S∖AFG=12,根据相似三角形面积的比相似比的平方进行计算并作出判断；
④ 根据勾股定理进行计算 OB的长，根据三等分线段 OB可得结论. 【解答】解：①•••四边形OABC是平行四边形，
∙∙∙ BC// OA, BC=OA •••△ CDB^A FDO,
.EC=BD
…呼=OD ,
V D、E为OB的三等分点, .0D = ZL=2, .OF=2,
.BC=2OF .OA=2OF .F是OA的中点； 所以①结论正确；
②如图2,延长BC交y轴于H , 由 C (3 , 4知：OH=4, CH=3, .OC=5, .AB=OC=5 V A (8 , 0, 等于
.OA=8, .OA≠ AB ,
∙∙∙∠ AOB≠∠ EBG
•••△ OFD^△ BEG 不成立， 所以②结论错误；
③ 由①知：F为OA的中点, 同理得；G是AB的中点，
∙∙∙ FG是厶OAB的中位线， ∙∙∙ FG=[-OB, FG// OB, V OB=3DE ∙∙∙ FG=-DE,
过C作CC⊥AB于Q, S?OABC=OA?OH=AB?CQ • • 4 × 8=5CQ CQ-
5
OF?OH寺 × 4× 4=8,
& CG^-BG?C(^- × = ×=8, SxAFGF=X 4 × 2=4,
• SXCFG=SPOABC- SXOFC- SXCBG- SxAFG=8×V DE// FG, • △ CDE^X CFG
⅛TE= QDE 2 4
•融T苛巧,
$四边电5
IJEGF 6
ΞΛCFG
5

S 四边
9，
•
∙ S20 四边形DEG r 所以③结论错误;7

- 8 - 8 - 4=12, 4

④ 在RtAOHB中，由勾股定理得：OEP=B并+0H, 2∙∙∙0B= j ∙∙∙0D=', 3
所以④结论错误；
= !；一，
故本题结论正确的有：①； 故答案为：①• k H


C

0


F k
Λ
图3
X
H

C A
0



F A \
图2
R
O

F

A
X

图1
【点评】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质、图形与坐标特点、勾股定理、三 角形的中位线定理、三角形相似的性质和判定、平行四边形和三角形面积的计算等知识， 适中，熟练掌握平行四边形和相似三角形的性质是关键. 难度
三、解答题（本大题共8小题，共80分）
II
117.（ 8.00分）（1）计算：I —引+ （ ∏- 2017） ° — 2sin30 + （二）「；
「2 迂》-9 r
（2）解不等式组：
,、,
【分析】（1）根据零指数幕的意义、特殊角锐角三角函数、负整数指数幕的意义即可求出答 案. （2）根据不等式组的解法即可求出答案.


【解答】解：(1原式=3+1 - 2 ×寺+3=6 (2由 2x≥- 9 - X 得：x≥- 3, 由 5x- 1 > 3 (x+1得：x>2 •••该不等式组的解集为：x> 2 【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型•
18. (8.00分中华文化，源远流长，在文学方面， 《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、
《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为 四大古典名著”，某中学为了了解学生 对四大古典名著的阅读情况，就四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样 调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：
3部
部，中位数是 2部，扇形统计图中“1 部”所在扇形的
圆心角为 126度. (2 请将条形统计图补充完整；
(3 没有读过四大古典名著的两名学生准备从四大古典名著中各自随机选择一部来阅读，则 他们选中同一名著的概率为 [. 【分析】(1先根据调查的总人数，求得1部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众 数以及中位数，根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比X 360。，即可得到“1部”所在扇形 的圆心角；
(2 根据1部对应的人数为40 - 2- 10-8-6=14,即可将条形统计图补充完整； (3 根据树状图所得的结果，判断他们选中同一名著的概率. 【解答】解：(1调查的总人数为：10÷25%=40, ••• 1部对应的人数为40- 2- 10- 8-6=14，
•••本次调查所得数据的众数是1部，
∙∙∙ 2+14+10=26>21，2+14v20，
•••中位数为2部，


扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为： 亠× 360°126°
40
故答案为：1 , 2, 126; (2条形统计图如图所示，

(3将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作 A，B，C，D，

共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有 4种，
4 1
故P (两人选中同一名著=亠尸. 故答案为：〒
【点评】本题主要考查了扇形统计图以及条形统计图的运用，解题时注意： 将一组数据按照从 小到大(或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数 据的中位数.如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数• 组数据中出现次数最多的数据叫做众数. 一
19.( 8.00分如图，AB为。O的直径，C D为。O上的两点，∠ BACN DAC,过点C作直 线EF⊥ AD，交AD的延长线于点E,连接BC. (1 求证：EF是。O的切线； (2 若DE=1, BC=2求劣弧「的长I.

【分析】（1）连接OC,根据等腰三角形的性质得到∠ OAC=∠ DAC,求得∠ DAC=∠ OCA推出
AD// OC,得到∠ OCF=/ AEC=90 ,于是得到结论；
（2）连接OD , DC,根据角平分线的定义得到∠ DAC=∠ OAC,根据三角函数的定义得到∠ 得到 ∠ OCD=60 ,得到 ∠ BOC=∠ COD=60 , OC=2 于是得到结论. 【解答】（1）证明：连接OC, V
OA=OC ∙∙∙∠ OAC=Z DAC, ∙∙∙∠ DAC=∠ OCA ∙∙∙ AD/ OC, V∠ AEC=90 , ∙∙∙∠ OCFZ AEC=90 , ∙∙∙ EF是。O的切线；
（2）连接 OD , DC, V∠ DAe壬 Z DOC ∠ OAC丄 Z BOC 2 2
∙∙∙∠ DAC=Z OAe ∙∙∙∠ DOC=Z BOe ∙∙∙ CD=CB=2 V ED=I , DE 1
.∙∙ sιn∠ ECD託=y , ∙∙∙∠ ECD=30 , ∙∙∙∠ OCD=6O , V
OC=OD •••△ DOC是等边三角形,
∙∙∙∠ BOC=Z COD=6, , OC=2 .,X2 2
∙∙l= ISO 亏π


ECD=30,

【点评】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作 出辅助线是解题的关键. 20.
1, 2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座
（ 8.00分）如图BC=0.60米，底座
BC与支架AC所成的角∠ ACB=75,支架AF的长为2.50米,篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35 米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠ FHE=60,求篮框D到地面的距离（精确到0.01米） （参考数据：cos75≈0.2588，Sin75 ≈0.9659，tan75 ≈3.732^3≈ 1.732, √5≈ 1.414）
【分析】延长FE交CB的延长线于M ,过A作AG⊥FM于G,解直角三角形即可得到结论. 【解答】解：延长FE交CB的延长线于M ,过A作AG⊥FM于G, AB
在 RtA ABC中，tan ∠ ACB=I,
∙∙∙ AB=BC?ta n75 =0.6× 3.732=2.2392, ∙∙∙ GM=AB=2.2392, FG
在 RtA AGF中，τ∠ FAG=Z FHE=60, Sin∠ FAG〒-, .∙.
∙∙∙ FG=2.17 ∙∙∙ DM=FG+GM- DF≈ 3.05 米. 答：篮框D到地面的距离是3.05米.

【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形, 记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型•
21. （10.00分）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用 20天时间，采用每天降低水
位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售•九（
1）班数学建模兴趣小组
根据调查，整理出第X天（1≤x≤ 20且X为整数）的捕捞与销售的相关信息如表： 鲜鱼销售单价（元∕kg）
单位捕捞成本（元∕kg）
捕捞量（kg）
20 5—昱
B
5950 - 10x （1） 在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天末的捕捞量相比是如何变化的？ （2） 假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第 （元）与X （天）之间的函数关系式？（当天收入 =日销售额-日捕捞成本）
（3） 试说明（2）中的函数y随X的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少？ 【分析】（1）由图表中的数据可知该养殖场每天的捕捞量比前一天减少 （2） 根据收入=捕捞量×单价-捕捞成本，列出函数表达式； （3） 将实际转化为求函数最值问题，从而求得最大值. 【解答】解：（1）根据捕捞量与天数X的关系：950-10X可知：该养殖场每天的捕捞量与前 一天减少10kg；
X天的收入
y 10kg；
（2）由题意，得 y=20×( 950- 10X-( 5-p×( 950- 10X =-2X+40X+14250; 2(3 V- 2V 0，y=- 2X2+40X+14250=- 2 (X- 10 2+14450, 又∙∙∙ 1 ≤ x≤ 20且X为整数，
•••当1≤ x≤ 10时，y随X的增大而增大； 当10≤ x≤ 20时，y随X的增大而减小；
当x=10时即在第10天，y取得最大值，最大值为14450.

【点评】此题考查二次函数的性质及其应用，要运用图表中的信息， 将实际问题转化为求函数 最值问题，从而来解决实际问题，比较简单. 22.（ 12.00分）如图1,在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们
把这样的四边形称为等角线四边形•


C
A
Si
B A

圉2 -
（1） ①在 平行四边形、矩形、菱形”中， 矩形 一定是等角线四边形（填写图形名称）； ②若M、N、P、Q分别是等角线四边形 ABCD四边AB BC CD DA的中点，当对角线 AC BD还要满足
AC⊥BD 时，四边形MNPQ是正方形. （2） 如图 2,已知△ ABC中，∠ ABC=90，AB=4, BC=3, D 为平面内一点. ① 若四边形ABCD是等角线四边形，且 AD=BD则四边形ABCD的面积是
3+2 - ; ② 设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形 ABED是等角线四边形，写出四边
形ABED面积的最大值，并说明理由. 【分析】（1）①只有矩形的对角线相等，所以矩形是等角线四边形；
②当AC丄BD时，四边形MNPQ是正方形，首先证明四边形 MNPQ是菱形，再证明有一个角 是直角即可；
（2）①如图2中，作DE⊥AB于E.根据S四边形ABCD=SADE+S梯形DEBC计算，求出相关线段即可； ②如图3中，设AE与BD相交于点Q,连接CE只要证明当AC丄BD且A、C、E共线时，四 边形ABED的面积最大即可. 【解答】解：（1）①在 平行四边形、矩形、菱形”中， •••矩形的对角线相等， •矩形一定是等角线四边形， 故答案为矩形. ②当AC⊥BD时，四边形 MNPQ是正方形.

A
V M、N、P Q分别是等角线四边形 ABCD四边AB、BC ∙∙∙ CD DA的中点, 理由：如图1中, D
PQ=MN=-AC, PN=QM丄BD, PQ// AC, MQ// VAC=BD .∙. MN=NP=PQ=QM •••四边形MNPQ是菱形，
V∠ 1 = ∠ 2,∠ 2=∠ 3,∠ 仁90°, .∠ 3=90°, .四边形NMPQ是正方形. 故答案为AC⊥ BD. (2①如图2中，作DE⊥AB于E. 在 RtA ABC中，V∠ ABC=90, AB=4, BC=3 .AC=寸八-J=5, V AD=BD, DE丄
AB, .AE=BE=2 V四边形ABCD是等角线四边形,
BD=AC=AD=5 在 RtABDE中,DE=□l"f=:,• ∙ S 四边形 ABCL=S∖ADE+ S 梯形 DEBC

BD,
二丄?AE?DE^-? (DE+BC ?BE W+丄(.-+3× 2 Z tL
=3+2 -. 故答案为3+2 "I . Q,连接CE
作 DH⊥ AE于 H, BG丄 AE于 G.贝U DH≤ DQ, BG≤ BQ, •••四边形ABED是等角线四边形, ∙∙∙ AE=BD • S 四边形 ABEE=S△ ABE+S∆AD ?AE?DH^~?AE?BG=?AE? (GB+DH≤寺?AE?( BQ+QD, 即S四边形 ABED≤ --AE?BD
2
•••当G、H重合时，即BD丄AE时，等号成立, VAE=BD ∙°. S 四边形 ABED≤ ^"AE2
即线段AE最大时，四边形ABED的面积最大, V AE≤ AC+Cξ
∙ AE≤ 5+1, ∙ AE≤ 6, ∙ AE的最大值为6, ∙当A、C E共线时，取等号，
∙四边形ABED的面积的最大值为*× 6=18. 2【点评】本题考查四边形综合题、中点四边形、三角形中位线定理、正方形的判定和性质、圆 等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，会求圆上一点到圆 外一定点的距离的最大值或最小值，属于中考压轴题.

23.（ 12.00分）如图，矩形ABCD中，AB=6, AD=8, P, E分别是线段AC BC上的点，且四 边形PEFD为矩形. （I ）若厶PCD是等腰三角形时，求AP的长；
【分析】（I ）先求出AC,再分三种情况讨论计算即可得出结论；
（U）方法1、先判断出OC= 二ED, OC丄PF,进而得出OC=OP=OF即可得出∠ OCF=/ OFC, ∠ OCP=/ OPC最后判断出△ ADP^△ CDF,得出比例式即可得出结论. 方法2、先判断出∠ CEF∠ FDC得出点E, C, F, D四点共圆，再判断出点 P也在此圆上，即得出∠ DAP=∠ DCF此后同方法1即可得出结论. DP 4
方法3、先判断出厶PMEs^ DNP即可得出；•，进而用两边对应成比例夹角相等判断出△
ADP^△ CDF,得出比例式即可得出结论. 【解答】解：（I）在矩形ABCD中,AB=6, AD=8, ∠ ADC=90 , ∙∙∙ DC=AB=6 ∙∙∙ AC=" ..."=10 , 要使APCD是等腰三角形,
① 当 CP=CD时,AP=AC- CP=10- 6=4 , ② 当 PD=PC时,∠ PDC=/ PCD ∙∙∙∠ PCD∏∠ PAD=Z PD（+∠ PDA=90 , ∙∙∙∠ PAD=Z PDA, ∙∙∙ PD=PA ∙∙∙ PA=PC AP=; AC=5, ③当DP=DC时,如图1,过点D作DQ⊥AC于Q ,贝U PQ=CQ V SMDC=-AD?DC= -AC?DQ
可
∙∙∙=亠 . 24

AC 5 DQ ∙
CQ=［罷「〔
∙
PC=2CQ-, ∙ AP=AC- PC=10-举占
5 5
所以，若△ PCD是等腰三角形时，AP=4或5或丄; (U方法1、如图2,连接PF, DE,记PF与DE的交点为0,连接0C, V形，
∙∠ ADC=∠ PDF=90, ∙∠ ADP+∠ PDC=Z PDG∠ CDF ∙∠ ADP=∠ CDF, V∠ BCD=90 , OE=OD ∙ OC=-ED , 在矩形PEFD中,PF=DE ∙ OC=-PF, V OP=OF=-PF , ∙
OC=OP=OF ∙∠ OCF=/ OFC, ∠ OCP=/ OPC, V∠ OPG∠ OFO∠ PCF=180 , ∙ 2 ∠ OCF+2 ∠ OCF=180, ∙∠ PCF=90 , ∙∠ PCD∏∠ FCD=90 , 在 RtA ADC中,∠ PCD∏∠ PAD=90 , ∙∠ PAD=∠ FCD, • △ ADP^A CDF
CF CD 3
∙∣ I -,

四边形ABCD和是矩 PEFD
T AP= ■-：, ∙. CF== 方法2、如图, 日 E
•••四边形ABCD和DPEF是矩形, ∙∙∙∠ ADC=∠ PDF=90, ∙∙∙∠ ADP=∠ CDF, v∠ DGF+∠ CDF=90, ∙∙∙∠ EGG∠ CDF=90, v∠ CEF∙∠ CGE=90, ∙∙∙∠ CDF=Z FEC •••点E, C, F , D四点共圆， •••四边形DPEF是矩形, •••点P也在此圆上，
V PE=DF , ∙∙∙∠ ACB=Z DCF V
AD// BC, ∙∠ ACB=Z DAP, ∙∠ DAP=∠ DCF, V∠ ADP=∠ CDF, • △ ADP^△ CDF,
•丄-匚_二亠 ,…卜_ _ V AP= ■■:,





方法


3、如图3, 过点P作PM⊥BC于M交AD于N, ∙∙∙∠ PND=90, V PN // CD, ∙∙∙
同理：PM- （10—.-：）

AN世 AD^AC AN,√2
r __
…g 一[0， ∙∙∙ AN=-：
V∠ PND=90 , ∙∙∙∠ DPN+∠ PDN=90, V四边形PEFD是矩形， ∙∙∙∠ DPE=90, ∙∙∙∠ DPN+∠ EPM=90, ∙∙∙∠ PDN=∠ EPM,
V∠ PND=∠ EMP=90, •••△ PND∞^ EMP,
PD ND]
-PE^PM
4

3
VPD=EF DF=PE EF 4
. 二 ----------
…！
AD 4
. 二
,
• !
,

V∠ ADP=∠ CDF

AP AD =
CFfCD

:T AP= ■':,


图I
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似 三角形的判定和性质，解（I）的关键是分三种情况讨论计算，解（U）的关键是判断出厶ADP CDF是一道中考常考题. 24.（ 14.00分）已知：如图所示，在平面直角坐标系 Xoy中，四边形OABC是矩形，OA=4, 0C=3,动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点 Q从 点0出发，沿X轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动.设点 P、点Q的运动时间为t (S



C P

■
C


C
B


/
O Q



"0


j
A


≡∙用> 备用E ¢2
!
图（
（1） 当t=1s时，求经过点0, P，A三点的抛物线的解析式; i

（2） 当 t=2s 时，求 tan ∠ QPA的值；



(3 当线段PQ与线段AB相交于点M ,且BM=2AM时，求t (S的值；
(4 连接CQ,当点P, Q在运动过程中，记△ CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S,求S 与t的函数关系式. 【分析】(1可求得P点坐标，由0、P、A的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； (2 当t=2s时，可知P与点B重合，在RtA ABQ中可求得tan ∠ QPA的值；
(3 用t可表示出BP和AQ的长，由△ PBMsA QAM可得到关于t的方程，可求得t的值； (4 当点Q在线段OA上时，S=SCPQ;当点Q在线段OA上，且点P在线段CB的延长线上时， 由相似三角形的性质可用t表示出AM的长，由S=S四边形BCQM=S矩形OABC- SCoQ- SAMQ ,可求得 S与t的关系式；当点Q在OA的延长线上时，设CQ交AB于点M ,利用△ AQMsA BCM可 用t表示出AM ,从而可表示出BM , S=SCBM,可求得答案. 【解答】解：
(1 当 t=1s 时，则
CP=2 ∙∙∙OC=3,四边形OABC是矩形， ∙∙∙ P (2, 3,且 A (4, 0, •••抛物线过原点O, •••可设抛物线解析式为y=ax+bx, 2pa÷Ξb=3 tl6a+4b=0

解得
L•过O、P、A三点的抛物线的解析式为y=-二X+3X; 2b=3
(2当t=2s时，则CP=2X 2=4=BC即点P与点B重合，OQ=2,如图1,
C

J (P
L√
O

I ------ --- -

O
丿 图I
• AQ=OA- OQ=4- 2=2,且 AP=OC=3 • tan ∠ QPA工—-；
(3 当线段PQ与线段AB相交于点M,贝U可知点Q在线段OA上，点P在线段CB的延长线



上，如图2,
C B
P
/
O
Q 丿
图2
J A
则 CP=2, OQ=t, ∙∙∙ BP=PC- CB=2t- 4, AQ=OA- 0Q=4- t, V PC// OA, •••△ PBMsA QAM,
...聖=旦L 且 BM=2AM ,且
2+-4
.「=2,解得 t=3 , .当线段PQ与线段AB相交于点M ,且BM=2AM时，t为3s；
(4当0≤ t≤2时,如图3 , 由题意可知
CP=2, .S=SPCQ=- × 2t × 3=3t ；
当2vt≤4时,设PQ交AB于点M ,如图4 ,
由题意可知 PC=2, OQ=t ,贝U BP=2t- 4 , AQ=4- t ,

同（3）可得
BP =Blf2t-4 Afi 4-t

∙∙∙•••
BM?AM, 亠
? ,解得 AM=Jl
12-8t
3 - AMAM-H S=S四边形 BCQM=S矩形 OABC- S^COQ — S^AMQ=3× 4 —…× t × 3 - ×( 4— t×
当t >4时，设CQ与AB交于点M ,如图5, =24 — ；
-3t V AB// 0C, .AJUAQ m M-±≤ 解得AM= 3t-12 …CIC W,即3「厂，


∙∙∙ St-I2. .12

t ' "t
×
1Ξ 2Q
t "t
7 r3tt0 24—-3t(2
4综上可知S= t
I t
【点评】本题为二次函数与四边形的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、相似三角形的 判定和性质、三角函数的定义、方程思想及分类讨论思想等知识•在（
1）中求得P点坐标是
解题的关键，在（2）中确定P、B重合是解题的关键，在（3）中由相似三角形的性质得到关 于t的方程是解题的关键，在（4）中确定出P、Q的位置，从而确定出S为哪一部分图形的面 积是解题的关键•本题为 运动型”问题，用t和速度表示出相应线段的长度，化 动”为 静”是 解这类问题的一般思路•本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，情况较多，难 度较大• 、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40 分）


15的相反数是（ ）
A.丄 B. 5 C.—亍 D.—
5 5| 5|
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上 乞”号，求解即可. 【解答】解：-5的相反数是5, 故选：B. 【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上
■”号：一个正数
的相反数是负数，一个负数的相反数是正数， O的相反数是O.不要把相反数的意义与倒数的 意义混淆. 2.杭绍台城际铁路的建设，使浙江南北联通更加紧密，迎来
亿元.将350亿用科学记数法表示为（
）.50×10
11高铁时代”该铁路总投资350

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