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2020年浙江省绍兴市上虞区中考数学一模试卷

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中考数学一模试卷






题号 得分

一 二 三 总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分） 1. 3 的相反数是（ ）


A. -3
2.



B. 3


C. -


D.
据国家外汇管理局 4 月 7 日公布的数据显示，截至 2019 年 3 月末，我国外汇储备 规模为 30988 亿美元将 30988 亿用科学记数法表示为（ ）
B. 3.0988×1012 C. 3.0988×10 11 D. 3.0988×101 3 A. 30988×108 有 4 个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（
）
3.
A.

B.

C.


D.

4.
有 6 张扑克牌（如图），背面朝上，从中任抽一张，则抽到方
块牌的概率是（ ）

A.

B.

C.


D.

5.

下列从左到右的恒等变形中，变形依据与其它三项不同的是（ ）
A. 18×（ - ）=18× -18× C.




B. 2（x-y）=2x-2y




=
D. a（b-1）=ab-a

6.

为了说明各种三角形之间的关系，小敏画了如下的结构图（如图 1）．小聪为了说 明“A．正方形；B．矩形；C．四边形；D．菱形；E．平行四边形”这五个概念 之间的关系，类比小敏的思路，画了如下结构图（如图2），则在用“①、②、③、 ④”所标注的各区域中，正确的填法依次是（ ）（用名称前的字母代号表示）

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A. C、E、B、D
7.
B. E、C、B、D C. E、C、D、B D. E、D、C、B
如图，在边长为 1 的小正方形网格中，点 A，B，C，D 都在这 些小正方形上，AB 与 CD 相交于点 O，则 tan∠AOD 等于（ ）





A.

B. 2 C. 1 D.
8.

将两个底边相等的等腰三角形按照如图所示的方式拼接在一起 （隐藏互相重合的底边）的图形俗称为“筝形”．假如“筝形” 下个定义，那么下面四种说法中，你认为最能够描述“筝形”特 征的是（ ）
A. 有两组邻边相等的四边形称为“筝形”
B. 有两组对角分别相等的四边形称为“筝形” C. 两条对角线互相垂直的四边形称为“筝形”
D. 以一条对角线所在直线为对称轴的四边形称为“筝形”



9.
对于不为零的两个实数 m，n，我们定义：m⊗n=

，那么函数 y=x⊗3
的图象大致是（ ）

A. B.

C. D.

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10. 在△ABC 中，D 是 BC 延长线上一点，且 BC=m•BD，过 D 点作直线 AB，AC 的垂
线，垂足分别为 E、F，若 AB=n•AC．则 =（

）
A.

B. C. D.
二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）
11. 分解因式：4a 2- b 2=______．
12. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问
人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 5 钱，还差 45 钱： 若每人出 7 钱，还差 3 钱．则合伙人数为______人；羊价为______钱． 13. 如图，矩形 ABCD 中，AB=2，点 E 在 AD 边上，以 E 为圆心，
EA 长为半径的⊙E 与 BC 相切，交 CD 于点 F，连接 EF．若

扇形 EAF 的面积为 π，则 BC 的长是______．


14. 已知直线 l 和直线 l 外一点 A，以点 A 为圆心，适当的长度



为半径作弧交直线 l 于点 M，N，再分别以 M，N 为圆心，大于 MN 长为半径作弧，

两弧交于点 P（点 P 与点 A 在直线 l 的两侧），连结 PM，作直线 PA 交 MN 于点 O， 若 PO= ，MN=2，则 cos∠APM=______．
15. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 坐标为（1， ），
以 OP 为斜边作等腰直 角△OAP，直角顶点 A 在反比例函

数 y= 的图象上，则 k 的值是______．


16. 如图，已 △知ABC △，DEF 均为等腰直角三角形，EF=10
，顶点 D，E 分别在边
AB，AC 上滑动．则在滑动过程中，点 A，F 间距离的最大值为______．

三、解答题（本大题共 8 小题，共 80.0 分）

17. （1）计算：2tan60°-
（2）解不等式：


0+ （ ） -1 -（ -2）


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18. “腹有诗书气自华，阅读路伴我成长”，我区某校学生会以“每天阅读 1 小时”为
问卷主题，对学生最喜爱的书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出 以下两幅末完成的统计图，请根据图 1 和图 2 提供的信息，解答下列问题： （1）把折线统计图（图 1）补充完整；
（2）该校共有学生 1200 名，请估算最喜爱科普类书籍的学生人数．

19. 如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座 BC=0.6 米，底座 BC 与支架 AC
所成的角∠ACB=75°，支架 AF 的长为 2.5 米，篮板顶端 F 点到篮框 D 的距离 FD=1.4 米，篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角∠FHE=60°，求篮框 D 到地面的 距离．（精确到 0.1 米．参考数据：cos75°≈0.3，sin75°≈0.9，．tan75°≈3.7， ≈1.7，
≈1.4）

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20. 小敏学习之余设计了一个求函数表达式的程序，具体如图所示，则当输入下列点的
坐标时，请按程序指令解答．

（1）P （1，0），P （-3，0）． 1 2
（2）P （2，-1），P （4，-3）
1
2

21. 如图，公路上有 A、B、C 三个汽车站，一辆汽车 8：00 从离 A 站 10km 的 P 地出发，
向 C 站匀速行驶，15min 后离 A 站 30km．
（1）设出发 x h 后，汽车离 A 站 y km，写出 y 与 x 之间的函数表达式；
（2）当汽车行驶到离 A 站 250km 的 B 站时，接到通知要在 12：00 前赶到离 B 站 60km 的 C 站．汽车按原速行驶，能否准时到达？如果能，那么汽车何时到达 C 站？


22. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=4 ，BC=8，∠B=60°，将平行四边形 ABCD 沿
EF 折叠，点 D 恰好落在边 AB 的中点 D′处，折叠后点 C 的对应点为 C′，D′C′ 交 BC 于点 G，∠BGD′=32°．
（1）求∠D′EF 的度数； （2）求线段 AE 的长．

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23. 在正方形 ABCD 中，点M 是射线 BC 上一点，点 N 是 CD 延长线上一点，且 BM=DN，
直线 BD 与 MN 交于点 E．
（1）如图 1．当点 M 在 BC 上时，为证明“BD-2DE= BM”这一结论，小敏添加 了辅助线：过点 M 作 CD 的平行线交 BD 于点 P．请根据这一思路，帮助小敏完成 接下去的证明过程．
（2）如图 2，当点 M 在 BC 的延长线上时，则 BD，DE，BM 之间满足的数量关系 是______．
（3）在（2）的条件下，连接 BN 交 AD 于点 F，连接 MF 交 BD 于点 G，如图 3， 若
，CM=2，则线段 DG=______．

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24. 在平面直角坐标系 xOy 中，A（t，0），B（t+



，0），对于线段 AB 和点 P 给出
如下定义：当∠APB=90°时，称点 P 为线段 AB 的“直角视点”．
（1）若 t=- ，在点 C（0， ），D（-1， ），E（ ， ）中，能够成为线段 AB“直角视点”的是______．
（2）直线 MN 分别交 x 轴、y 轴于点 M、N，点 M 的坐标是（4 ，0），∠OMN=30°． ①线段 AB 的“直角视点”P 在直线 MN 上，且∠ABP=60°，求点 P 的坐标． ②在①的条件下，记 Q 为直线 MN 上的动点，在点 Q 的运动过程中 ，△QAB 的周长 存在最小值，试 求△QAB 周长的最小值______． ③若线段 AB 的所有“直角视点”都 △在MON 内部，则 t 第 7 页，共 20 页
的取值范围是______．




答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：根据相反数的含义，可得 3 的相反数是：-3． 故选：A．
根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，据 此解答即可．
此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反 数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加 “-”．
2.【答案】C



【解析】解：30988 亿=3.0988×10 11 ，
故选：C．
科学记数法的表示形式为 a×10 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要
n 看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10 的形式，其中 1≤|a|
＜n 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
3.【答案】D

【解析】解：如图所示：它的主视图是：

．
故选：D．
主视图有 2 列，每列小正方形数目分别为 2，1
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键． 4.【答案】A

【解析】解：观察图形知：6 张扑克中有 2 张方块，

所以从中任抽一张，则抽到方块的概率= = ．

故选：A．
直接利用概率公式求解．
本题考查了概率公式：随机事件 A 的概率 P（A）=事件 A 可能出现的结果数除以所有可 能出现的结果数．
5.【答案】C


【解析】解：A、18×（ - ）=18× -18× ，单项式乘多项式；

B、2（x-y）=2x-2y，单项式乘多项式；



C、

=
，根据分式的性质；
D、a（b-1）=ab-a，单项式乘多项式； 则变形依据与其它三项不同的是 C，

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故选：C．
根据单项式乘多项式的法则、分式的性质解答．
本题考查的是单项式乘多项式、分式的性质，掌握单项式乘多项式的法则、分式的性质 是解题的关键．

6.【答案】A

【解析】解：①表示四边形，②表示平行四边形，③或④表示菱形或矩形， 故选：A．
根据矩形、菱形、正方形、平行四边形以及四边形联系进而得出即可．
此题主要考查了四边形有关的概念，正确区分它们是解题关键，本题属于基础题． 7.【答案】B

【解析】解：如图，连接 BE，与 CD 交于点 F，

∵四边形 BCEH 是正方形，

∴HF=CF= CH，BF=EF= BE，CH=BE，BE⊥CH， ∴BF=CF，
∵AC∥BH， ∴△ACO ∽△BHO，
∴HO：CO=BH：AC=1：3， ∵CO=HF，
∴HO：HF=1：2，

∴HO=OF=

，

在 △RtOBF 中，tan∠BOF= =2

∵∠AOD=∠BOF， ∴tan∠AOD=2．
故选：B．
首先连接 BE，由题意易得 BF=CF ，△ACO △∽BHO，然后由相似三角形的对应边成比例， 易得 HO：CO=1：3，即可得 OF：CF=OF：BF=1：2，在 △RtOBF 中，即可求得 tan∠BOF 的值，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关内容． 8.【答案】D

【解析】解：由题意：“筝形”的一条对角线是另一条对角线的垂直平分线， 所以：“筝形”是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线． 故选：D．
根据等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题；
本题考查轴对称的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解 决问题，所以中考常考题型．
9.【答案】B

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【解析】解：当 x≥3 时，y=x-3，图象是一次函数的一段，


当 x＜3 时，y=- ，图象是反比例函数的一部分；

结合解析式，可知 B． 故选：B．

当 x≥3 时，y=x-3，当 x＜3 时，y=- ，结合范围确定图象；

本题考查一次函数和反比例函数的图象和性质；能够根据定义，分别求出两段函数的表 达式是解题的关键．
10.【答案】C

【解析】解：连接 AD，

∵BC=m•BD， ∴CD=（1-m）BD ∴S

=（1-m）S △ABD，△ACD

△ABD

又∵S

=

，S
△ACD
=
，

，
∴

=（1-m）
∵AB=n•AC，
∴AC•DF=（1-m）n•AC•DE ∴DF=（1-m）n•DE ∴
故选：C．




SABD分别用 DE、DF 表示 △=


△ACD
，S =

，通过线段比可知两三角形面
，从而得到 DE 和 DF 关系即可解答．

积关系，进而得到

=（1-m）
本题考查了三角形的面积，利用同一个三角形的面积的两种表示等到等式是解题的关 键．
11.【答案】（2a+b）（ 2a-b ）

【解析】解：4a 2─ b =2 （2a） -2b =2 （2a+b）（ 2a-b ），
故答案为：（2a+b）（ 2a-b ）． 首先把 4a 2写成（2a） 2， 再直接利用平方差公式进行分解即可．
本题主要考查利用平方差公式进行因式分解，关键是掌握能够运用平方差公式分解因式 的多项式的特点：①必须是二项式；②两项都能写成平方的形式；③符号相反．

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12.【答案】21；150


【解析】解：设合伙人数为 x 人，羊价为 y 钱，


依题意，得：

，
．
解得：

故答案为：21；150．
设合伙人数为 x 人，羊价为 y 钱，根据“每人出 5 钱，还差 45 钱：每人出 7 钱，还差 3 钱”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的 关键．
13.【答案】3

【解析】解：设∠AEF=n°，


由题意

= π，解得 n=120，
∴∠AEF=120°， ∴∠FED=60°，
∵四边形 ABCD 是矩形， ∴BC=AD，∠D=90°， ∴∠EFD=30°， ∴DE= EF=1， ∴BC=AD=2+1=3， 故答案为 3．




设∠AEF=n°，由题意

= π，解得 n=120，推出∠AEF=120°，在 △RtEFD 中，求出 DE
即可解决问题．
本题考查切线的性质、矩形的性质、扇形的面积公式、直角三角形30 度角性质等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

14.【答案】

【解析】解：如图，

有作法得 AP 垂直平分 MN，则 OM=ON= MN=1，∠POM=90°， 在 △RtPOM 中，PM=

=2，
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cos∠OPM= = ，


即 cos∠APM= ．

故答案为 ．

利用基本作图，根据几何语言画出对应几何图形，利用作法得到 AP 垂直平分 MN，则 OM=ON=1，根据勾股定理计算出 PM=2，然后根据余弦定义求解．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握 5 种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一 个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线 的垂线）．

15.【答案】- 或


【解析】解：
①如图 1，当 A 点在 OP 的左边时，过 A 作 AD⊥x 轴于 D，过 P 作 PE⊥AD 于 E，则∠ADO=∠PEA=90°， ∵△APO 是等腰直角三角形， ∴AO=PA，∠PAO=90°，
∴∠OAD+∠PAE=∠OAD+∠AOD=90°， ∴∠AOD=∠PAE，
∴△AOC≌△BAD（AAS）， ∴AD=PE，OD=AE，
∵点 P 坐标为（1， ）， ∴DE= ，
设 A 的横坐标为 m，则 AD= -m，PE=1-m， ∴ +m=1-m，

∴m= ∴A（

，


， ），

∵顶点 A 在反比例函数 y= 的图象上，



∴k=

× =- ；
②如图 2 当 A 点在 OP 的右边时，过 A 作 AD⊥x 轴于 D，过 P 作 PE⊥AD 于 E，则 ∠ADO=∠PEA=90°， 同理 ：△AOC≌△BAD， AD=PE，OD=AE，
设 A 的纵坐标为 n，则 OD=1+n，AE= -n， ∴1+n= -n，


解得 n=


， ，
），
∴A（

∴k= ，

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综上，k 的值是- 或 ，



故答案为：- 或 ．

分两种情况：当 A 点在 OP 的左边时，过 A 作 AD⊥x 轴于 D，过 P 作 PE⊥AD 于 E，则 ∠ADO=∠PEA=90°， 即可证 △得AOC≌△BAD，证得 AD=PE，OD=AE，设 A 的横坐标为 m，则 AD= -m， PE=1-m，由 +m=1-m，



求得 A 的坐标（


，

），代入解析式即可求得 k 的值；当 A 点在 OP 的右边时， ），根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得．
同理证得 A（

，
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质的运用，解答本题的关 键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】10

【解析】【分析】
当 ADFE 时平行四边形时，AF 最大，过点 F 作 FG⊥AB，结合等腰直角三角形，分别求 出 AG 和 GF 的长，进而求 AF 即可；
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为 c，那 么
2 a +b2 =c2 ．【解答】
解：当 ADFE 时平行四边形时，AF 最大， 过点 F 作 FG⊥AB，
∵△DEF 均等腰直角三角形，EF=10 ， ∴ED=DF=10， ∴AD=10 ， ∵∠ADE=45°，∠EDF=90°， ∴△DFG 是等腰直角三角形， ∴GF=DG=5 ，
在直角三角形 AGF 中，AG=15 ， ∴AF=10 ；
故答案 10 .
17.【答案】解：（1）原式=2 -2 -1+3=2；

（2）3（1+x）-6≤2x， 3+3x-6≤2x， 3x-2x≤6-3， x≤3

【解析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得； （2）依据解一元一次不等式的基本步骤依次计算可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤 其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
18.【答案】解：（1）一共调查了 45÷30%=150（名），
艺术的人数：150×20%=30（名）， 其它的人数：150×10%=15（名）； 补全折线图如图：

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（2）最喜爱科普类书籍的学生人数为：

×1200=320（人），
答：估算最喜爱科普类书籍的学生有 320 人．

【解析】（1）用文学的人数除以所占的百分比计算即可得总人数，根据所占的百分比 求出艺术和其它的人数，然后补全折线图即可；
（2）用总人数乘以科普所占的百分比，计算即可得解．
本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用，折线统计图表示的是事物的变化情 况，扇形统计图中每部分占总部分的百分比，根据题意从统计图中读取有用信息是解题 关键．也考查了用样本估计总体．
19.【答案】解：延长 FE 交 CB 的延长线于 M，过 A 作 AG⊥FM
于 G，

在 △RtABC 中，tan∠ACB= ，

∴AB=BC•tan75°=0.60×3.732=2.22， ∴GM=AB=2.22，
在 △RtAGF 中，∵∠FAG=∠FHE=60°，sin∠FAG= ，


∴sin60°= = ，

∴FG=2.125，
∴DM=FG+GM-DF≈2.9 米．
答：篮框 D 到地面的距离是 2.9 米．

【解析】延长 FE 交 CB 的延长线于 M，过 A 作 AG⊥FM 于 G，解直角三角形即可得到 结论．
本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形， 记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
20.【答案】解：（1）∵P （1，0），P （-3，0），1＞-3，
1 2
2
∴x x =-3＜0，
1 2
设过 P （1，0），P （-3，0），P（-2，4）三点的抛物线的函数表达式为：y=a（x-1） 1 （x+3），

将 P（-2，4）代入解得 a=- ，

2 x+4； ∴y=- （x-1）（x+3）=- x -
第 14 页，共 20 页


（2）∵P 1（（ 2，-1），P 2 4，-3），2＜4， ∴y y =3＞0，
1 2
设直线 P P 的函数表达式为：y=kx+b，
1 2

∴

，
，

∴

∴y=-x+1．
【解析】（1）根据 x 1和 x 2的大小关系得出 x x =-3＜0，进而问题转化为待定系数法求
1 2
二次函数的解析式，设出交点式，将点 P 坐标代入即可；
（2）根据 x 和 x 的大小关系得出 y y =3＞0，进而问题转化为待定系数法求一次函数 1
2
1 2

的解析式，分别将点 P 1、P 2坐标代入即可．


本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，解题的关键是根据题意判断出
需要求解的函数解析式．
21.【答案】解：（1）由题意，得
汽车速度为：（30-10）÷15×60=80km/h， y 与 x 之间函数表达式为：y=10+80x．
答：y 与 x 之间的函数表达式为 y=10+80x； （2）由题意，得 AB=250，BC=60， ∴AC=310． 当 y=310 时， 310=10+80x，

解得：x= ．

∵8+ =11 ，即 11 点 45 分＜12 点．

∴汽车按原速行驶，可以准时到达．
【解析】（1）由路程=速度×时间+原来的路程就可以得出结论；
（2）先求出 AC 之间的距离，再将 AC 的值代入解析式求出其值即可．
本题考查了行程问题的数量关系路程=速度×时间的运用，一次函数的解析式的运用，解 答时求出函数的解析式是关键．

22.【答案】解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴∠B=∠D=60°，AD∥BC ∴∠DEF=∠EFB
∵将平行四边形 ABCD 沿 EF 折叠，点 D 恰好落在边 AB 的中点 D′处 ∴∠D=∠ED'G=60°，∠DEF=∠D'EF， ∴∠D'EF=∠EFB， ∵∠BGD′=32° ∴∠D'GF=148°
∵∠D'GF+∠EFB+∠D'EF+∠ED'G=360° ∴∠D'EF=76° （2）过点 E 作 EH⊥AB 于点 H，

第 15 页，共 20 页



设 AE=x， ∵AD∥BC
∴∠HAD=∠B=60°，且 EH⊥AB


∴AH= ，HE= x， ∵点 D'是 AB 中点 ∴AD'= AB=2
2+ D'H 2= D'E 2， ∵HE
2 （8-x） 2 ∴ x +（2 + ） 2=，
∴x=

∴AE=

【解析】（1）由平行四边形的性质可得∠B=∠D=60°，AD∥BC，可得∠DEF=∠EFB，由 折叠的性质可得∠D=∠ED'G=60°，∠DEF=∠D'EF，由四边形内角和定理可求∠D′EF 的 度数；

（2）过点 E 作 EH⊥AB 于点 H，设 AE=x，可得 AH= ，HE= x，由勾股定理可求 x 的 值，即可求线段 AE 的长．
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关 键．
23.【答案】（1）如图 1，过点 M 作 MP∥CD，交 BD 于点 P，
∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠C=90°，∠CBD=∠CDB=45°， ∵PM∥CD，
∴∠NDE=∠MPE，∠BPM=∠CDB=45°， ∴△BPM 是等腰直角三角形， ∴PM=BM，PB= BM， ∵BM=DN， ∴PM=DN，

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在△EPM △和EDN 中，
，
∴△EPM≌△EDN（AAS）， ∴EP=ED，
∴PB=BD-PD=BD-2DE，
根据勾股定理得：BP= BM， 即 BD-2DE= BM；
（2）BD+2DE= BM （3）
【解析】解：（1）见答案
（2）如图 2，过点 M 作 MP∥CD 交 BD 的延长线于点 P，∴∠PMB=∠BCD=90°， ∵∠CBD=45°，
∴△BMP 是等腰直角三角形， ∴BM=PM=DN，
与（1）证法类似 △：EPM≌△EDN（AAS）， ∴EP=ED，
∴PB=BD+PD=BD+2DE， 根据勾股定理得：BP= BM， 即 BD+2DE=BP= BM，
故答案为：BD+2DE= BM；
（3）如图 3，∵AB∥CD， ∴AB∥DN， ∴△ABF ∽△DNF，
∴AF：FD=AB：ND， ∵AF：FD=1：2， ∴AB：ND=1：2， 设 AB=x，则 DN=2x， ∵BM=DN，
∴x+2=2x，x=2，
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∴AB=AD=2，DF= ， ∴BD=2 ， ∵DF∥BM，


∴ ∴DG=
= = ，


= ．

故答案为： ．

【分析】
（1）如图 1，过点 M 作 MP∥CD 于点 P，推出 PM=DN，根据 AAS 证△EPM △和EDN 全 等，推出 DE=EP，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；
（2）如图 2，过点 M 作 MP∥CD 交 BD 的延长线于点 P，推出 PM=DN，根据 AAS △证EPM 和△EDN 全等，推出 DE=EP，根据正方形的性质和勾股定理求出即可； （3）如图 3， 证△ABF △∽DNF，得出比例式，代入后求出正方形的边长，求出DG 长即 可．
本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等 知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题 的能力．并运用了类比推理的思想解决问题．
24.【答案】（1）C、D、E （2）①分两种情况：当 MN 与 x 轴的夹角∠OMN 在 x 轴

上方时，

∵点 P 是线段 AB 的“直角视点”， ∴∠APB=90°，
∴点 P 在以 AB 为直径的圆上， ∵∠ABP=60°， ∴∠PAB=30°，




∴PB= AB= ，PA= PB= ， 如图 1 所示：作 PG⊥AB 于 G， 则 PG= PA= ，


∵点 M 的坐标是（4



，0），∠OMN=30°，

∴OM=4 ，GM= PG= ，



∴OG=OM-GM=4 - ，

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∴P（4 -

， ）；



当 MN 与 x 轴的夹角∠OMN 在 x 轴下方时，同理得：P（4
- ，- ）；


综上所述，点 P 的坐标为（4 - ②2 +

， ）或（4 - ，- ）；
③-2 ＜t＜4


【解析】解：（1）若 t=- 则 AB=2 ，
2 ∴AB =8，

，则 A（- ，0），B（ ，0），
∵点 C（0，

），D（-1， ），E（ ， ），

2
2
2
2

2 2
） +（ ） =4，
由勾股定理得：AC =（ ） +（ ） =4，BC
=2AC +2 =2 ， （ ∴BCAB∴∠ACB=90°，
∴点 C 是线段 AB 的“直角视点”；



同理：AD 2=（

2

-1） +（ ） 2= -2

2 2

，BD =（ +1） +（ ） 2= +2


，
2 2

∴AD +BD =8=AB 2， ∴∠ADB=90°，
∴点 D 是线段 AB 的“直角视点”； 2
同理：AE =（

2 2
+ ） +（ ） 2=6，EE =（

2 2
+（ ） =2， - ）



2+ BE 2=8=

∴AE AB 2，∴∠AEB=90°，
∴点 E 是线段 AB 的“直角视点”；
故答案为：C、D、E； （2）①见答案
②∵AB=2 ， △若QAB 的周长最小，则 AQ+BQ 的值最小，
作 A 关于 MN 的对称点 A'，连接 BA'交 MN 于 Q'，延长 AP 交 AB 于 H，H 与 G 重合， 连接 AA'，
则 AA'⊥MN，AQ'+BQ'=A'B 最小， ∵∠OMN=30°， ∴∠MAA'=60°，

∵AG= PG= ，



∴BG=AB-AG= ，A'G=

AG=
，
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由勾股定理得：A'B=


=

，
∴△QAB 最小值为 2 +
；
故答案为：2 + ． ③如图 3 所示：
当 B 点与 O 重合，则 t+2 =0， ∴t=-2 ；
当 A 与 M 重合时，t=4 ，
∴若线段 AB 的所有“直角视点”都 △在MON 内部，t 的取值范围是-2
＜t＜4 ；
故答案为：-2 ＜t＜4 ．
2 2 ， （1）若 t=- ，则 AB=2 ，得出 AB 2 =8，由勾股定理得：AC2 =BC2 =4，得出 AC2 +BC =AB2 =8=AB2 ，∠ADB=90°得出∠ACB=90°，得出点 C 是线段 AB 的“直角视点”；同理 AD2 +BD，
2 BE 2 ∠AEB=90°得出点 D 是线段 AB 的“直角视点”；同理 AE +=8=AB 2，，得出点 E 是
线段 AB 的“直角视点”；
（2）①分两种情况：当 MN 与 x 轴的夹角∠OMN 在 x 轴上方时，由题意得出点 P 在以



AB 为直径的圆上，得出∠PAB=30°，得出 PB= AB=



，PA= PB= ，作 PG⊥AB 于 G，


则 PG= PA= ，求出 OM=4


，GM= PG= ，得出 OG=OM-GM=4
- ，即可得出



P（4 -

， ）；当 MN 与 x 轴的夹角∠OMN 在 x 轴下方时，同理得：P（4 - ，- ）；
②由 AB=2 ， 若△QAB 的周长最小，则 AQ+BQ 的值最小，作 A 关于 MN 的对称点 A'， 连接 BA'交 MN 于 Q'，延长 AP 交 AB 于 H，H 与 G 重合，则 AA'⊥MN，AQ'+BQ'=A'B 最





小，求出由直角三角形的性质得出 AG=


PG=
，得出 BG=AB-AG= ，A'G=
AG=
，
再由勾股定理求出 A'B=

= ，即可得出结果；
③分别求出 B 与 O 重合，A 与 M 重合时 t 的值，即可得出结果．
本题是三角形综合题目，考查了新定义的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理、 含 30°角的直角三角形的性质、坐标与图形性质、最小值问题等知识；本题综合性强， 有一定难度．

第 20 页，共 20 页

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/acaf717fd5d8d15abe23482fb4daa58da1111cfd.html

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