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2011年四川高考数学试卷(理科)及答案详解

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2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷
数 学(理工类
本试卷分第一部分(选择题和第二部分(非选择题。第一部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B =P(A+P(B s4R2 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A·B=P(A·P(B 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么

4 vR2

3在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
第一部分（选择题 共60分）
注意事项：
1.选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。 2.本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5，15.5 2 [15.5,19.5 4 [19.5，23．5 9 [23.5,27.5 18 [27.5，31.5 1l [31.5，35.5 12 [35.5．39.5 7 [39.5,43.5 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5的概率约是
(A1112 (B (C （D） 6323221。 663答案：B 解析：从31.5到43.5共有22，所以P
2、复数i= 1i(A2i （B）答案：A 1i （C）0 （D）2i
2解析：iii2i
3、l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 (Al1l2，l2l3l1l3 （B）l1l2，l2l3l1l3 (Cl2l3l3 l1，l2，l3共面 （D）l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面 答案：B 解析：A答案还有异面或者相交，C、D不一定 4、如图，正六边形ABCDEF中，BACDEF= (A0 (BBE (CAD (DCF 答案D 解析：BACDEFBAAFEFBFEFCEEFCF 5、5函数，f(x在点xx0处有定义是f(x在点xx0处连续的 (A充分而不必要的条件 (B必要而不充分的条件 (C充要条件 (D既不充分也不必要的条件 答案：B 解析：连续必定有定义，有定义不一定连续。
6.在ABC中．sinsinBsinCsinBsinC.则A的取值范围是 (A(0，答案：C 解2221i] (B[ ， (c(0，] (D [ ， 6633析：由题意正弦定理
b2c2a21abcbcbcabc1cosA0A
bc232222227．已知f(x是R上的奇函数，且当x0时，f(x(1，则f(x的反函数的图像大致是 答案：A 解析：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域。 当x0,0(1,1y2，故选A 8.数列an的首项为3，bn 为等差数列且bnan1an(nN* .若则b32，b1012，则a8 （A）0 （B）3 （C）8 （D）11 B 解析：由已知知12x12xbn2n8,an1an2n8,由叠加法(a2a1(a3a2(a8a764202460a8a13
9.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润
（A）4650元 （B）4700元 （C）4900元 （D）5000元 答案：C 0x80y7解析：由题意设派甲，乙x,y辆，则利润z450x350y，得约束条件xy12画出可行域在10x6y722xy19xy12x7的点代入目标函数z4900 2xy19y510.在抛物线yxax5(a≠0上取横坐标为x14，x2的两点，过这两点引一条割线，有平行22于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x5y36相切，则抛物线顶点的坐标为 （A）(2,9 （B）(0,5 （C）(2,9 （D）(1,6 答案：A 解析：由已知的割线的坐标
22
36b2又(4,114a,(2,2a1,K2a,设直线方程为y(a2xb，则251(2ayx2ax5b6a4(2,9
y(a2xb11.已知定义在0,上的函数f(x满足f(x3f(x2，当x0,2时，f(xx2x.设f(x2在2n2,2n上的最大值为an(nN*，且an的前n项和为Sn，则limSn
n（A）3 （B） （C）2 （D）22

答案：D解析：由题意53f(x21f(x3,在[2n2,2n]上，11n1,f(x1,n2,f(x,n3,f(x(23311(n13limS3 an(n1Snn1321312.在集合1,2,3,4,5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量(a,b.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m，则（A）m
n4122 （B） （C） （D）15353
答案：D 2基本事件：由(2,1,(2,3,(2,5,(4,1,(4,5,(4,3,nC63515其中面积为1的平行四边形的个数(2,3(4,5;(2,1(4,3;(2,1(4,1其中面积为2的平行四边形的个数为(2,3(2,5;(2,1(2,3其中面积为3的平行四边形的个数(2,3(4,3;(2,1(4,5其中面积为4的平行四边形的个数(2,1(2,5;(4,1(4,3;(4,3(4,5其中面积为5的平行四边形的个数(2,3,(4,1;(2,5(4,5；其中面积为7的平行四边形的个数(2,5,(4,3其中面积为8的平行四边形的个数(4,1(4,5其中面积为9的平行四边形的个数(2,5,(4,1

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
1113.计算(lglg251002= .
4答案：20
111120 解析：(lglg251002lg410010x2y2=1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是 . 14.双曲线6436答案：16
解析：a8,b6,c10，点P显然在双曲线右支上，点P到左焦点的距离为20，所以20c5d16 da415.如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 . 答案：2R
2R22rR，则解析：S侧2r2Rr4r(RrS侧max时，rRrr222222222224R22R22R2
=f（x2）16.函数f（x）的定义域为A，若x1，x2A且f（x1）时总有
x1=x2，则称f（x）为单函数.例如，函数f（x）=2x+1（xR）是单函数.下列命题：
① 函数f（x）=x（xR）是单函数；
2f（x2）；② 若f（x）为单函数，x1，x2A且x1x2，则f（x1）
③ 若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；
④ 函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数. 其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号） 答案：②③④ 解析 ：①错，三、解答题 17、

x1x2，②③④正确。

已知函数f(xsin(x73cos(x,xR 44(1求f(x的最小正周期和最小值； （2）已知cos(a44,cos(,(0，求证：[f(]220 5527733cosxsincosxcossinxsin4444解析：2sinx2cosx
f(xsinxcos2sin(x4cos(coscossinsin（2）4545(1(2
cos(coscossinsincoscos002cos0218、本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率1111分别为,；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为,；两人租车时间都不会超过4224四小时。
（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望E；
解析：
（1）所付费用相同即为0,2,4元。设付0元为P1111111，付2元为P2，付4元为428248111P3
4416则所付费用相同的概率为PP1P2P35
16(2设甲，乙两个所付的费用之和为，可为0,2,4,6,8 分布列













19．(本小题共l2分
如图，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一 P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA． (I求证：CD=C1D：
(II求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值； (Ⅲ求点C到平面B1DP的距离． 解析：（1）连接B1A交BA1于O,B1P//面BDA1,B1P面AB1P,面AB1P面BA1DOD,
B1P//OD,又O为B1A的中点，C1为A1P,ACDPC1DC1DCD,D为CC1D为AP中点，的中点。
（2）由题意ABAC,ABAA1AB面AA1C1C,过B 作AHAD,连接BH，则BHAD,AHB为二面角AA1DB的平面角。在AA1D中，AA11,AD252535AH2AH,BH,cosAHB5
55BH3535(3因为VCB1PDVB1PCD，所以hSB1PD55,A1D,则22SPCDSPC1CSPC1D13111, 2441A1B1SPCD,A1B11
395535425,sinDBP5， 在B1DP中，B1D,B1P5,PD.cosDB1P413225525220．(本小题共12分 设d为非零实数，an1122(Cnd2Cndnn1n1nn(n1CndnCnd](nN*
(1写出a1,a2,a3并判断{an}是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；
*(II设bnndan(nN，求数列{bn}的前n项和Sn．
解析：（1）
因为d为常数，所以{an}是以d为首项，d1为公比的等比数列。

bnnd2(1dn1（2）Snd(1d2d(1d3d(1d202122nd2(1dn1
d2[(1d02(1d13(1d22n(1dn1](11(1(1dnd2n(1dnd(d2nd(1dn （2）（1）dSnd[1(1d21．(本小题共l2分
椭圆有两顶点A(-1，0、B(1，0，过其焦点F(0，1的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q． (I当|CD | =
32时，求直线l的方程；
2 (II当点P异于A、B两点时，求证：OPOQ 为定值。
y2x21，设l的方程为y1k(x0,k为l的斜率。 解析：由已知可得椭圆方程为22kykx1xx1222k222(2kx2kx10则y2x1xx12122k24yy212k2 22k2yy122k2l的方程为y2x1
22．(本小题共l4分
已知函数f(x21x,h(xx 32 (I设函数F(xf(xh(x，求F(x的单调区间与极值； (Ⅱ设aR，解关于x的方程log4[10033f(x1]log2h(axlog2(4x 24 (Ⅲ试比较f(100h(10022、解析： （1）F(x1h(k与的大小. 6k121xx， 32
F'(x0x'9;169 16令F(x00xF'(x0x所以x916911是其极小值点，极小值为。x0是其极大值点，极大值为 168233（2）f(x1x1；
24由log4[33axf(x1]log2h(axlog2(4xlog2(x1log 2424x10364(a40a5时方程无解 20364(a40a5时x3
30364(a40a5方程的根为x135a,x235a
2015100(3F(100h(100，h(k1233k1100

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/66a380ff70fe910ef12d2af90242a8956aecaa18.html

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