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2011年高考四川卷理科数学(WORD版)及答案解析精校版

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2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷
数 学(理工类
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11．5，15．5 2 [15．5,19．5 4 [19．5，23．5 9 [23．5,27．5 18 [27．5，31．5 1l [31．5，35．5 12 [35．5．39．5 7 [39．5,43．5 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5的概率约是 (A1112 (B (C （D） 63232．复数i= 1i(A2i （B）1i （C）0 （D）2i
23．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
(Al1l2，l2l3l1∥l3 （B）l1l2，l2∥l3l1l3 (C l1∥l2∥l3 l1，l2，l3共面 （D）l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面 4．如图，正六边形ABCDEF中，BACDEF= (A0 (BBE (CAD (DCF
5．5函数，f(x在点xx0处有定义是f(x在点xx0处连续的 (A充分而不必要的条件 (B必要而不充分的条件 (C充要条件 (D既不充分也不必要的条件
6．在ABC中．sinAsinBsinCsinBsinC．则A的取值范围是 (A(0，222] (B[ ， (C(0，] (D [ ， 663312x7．已知f(x是R上的奇函数，且当x0时，f(x(1，则f(x的反函数的图像大致是


第1页（共16页）

b1012，8．数列an的首项为3，若则b32，则a8（A）0 （B）bn 为等差数列且bnan1an(nN*
．3 （C）8 （D）11
9．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润
（A）4650元 （B）4700元 （C）4900元 （D）5000元
210．在抛物线yxax5(a≠0上取横坐标为x14，x2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条2直线同时与抛物线和圆5x5y36相切，则抛物线顶点的坐标为
（A）(2,9 （B）(0,5 （C）(2,9 （D）(1,6
11．已知定义在0,上的函数f(x满足f(x3f(x2，当x0,2时，f(xx2x．设f(x在2n2,2n222上的最大值为an(nN*，且an的前n项和为Sn，则limSn
n（A）3 （B）53 （C）2 （D）22
12．在集合1,2,3,4,5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量(a,b．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m n4122（A） （B） （C） （D）15353 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
m，则1113．计算(lglg251002= ．
4
x2y2=1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是 ． 14．双曲线6436
15．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 ． 16．函数f(x的定义域为A，若x1,x2A且f(x1f(x2时总有x1x2，则称函数f(x为单函数．例如，函数f(x2x1（xR）是单函数．下列命题：
①函数f(xx（xR）是单函数；
2②若f(x为单函数，x1,x2A且x1x2则f(x1f(x2；
，③若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；
第2页（共16页）

④函数f(x在某区间上具有单调性，则f(x一定是单函数． 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号） 答案：B 解：从31.5到43.5共有22，所以P答案：A 解：iii2i
答案：B 解：A答案还有异面或者相交，C、D不一定 答案D 解：BACDEFBAAFEFBFEFCEEFCF 答案：B 解：连续必定有定义，有定义不一定连续． 答案：C 221． 6631ib2c2a211cosA0A 解：由题意正弦定理abcbcbcabcbc23222222答案：A
解：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域． 当x0,0(1,1y2，故选A 答案：B 解：由已知知bn2n8,an1an2n8,由叠加法12x(a2a1(a3a2答案：C (a8a764202460a8a13
0x80y7xy12x7解：由题意设派甲，乙x,y辆，则利润z450x350y，得约束条件xy12画出可行域在的点2xy19y510x6y722xy19代入目标函数z4900．
答案：A 解：由已知的割线的坐标
(4,114a,(2,2a1,k2a,设直线方程为y(a2xb，则36b251(2a2又
答案：Dyx2ax5b6a4(2,9
y(a2xb1f(x,在[2n2,2n]上，3第3页（共16页）
解：由题意f(x2
11n1,f(x1,n2,f(x,n3,f(x(233答案：D 11(n13limS3 an(n1Snn132132基本事件：由(2,1,(2,3,(2,5,(4,1,(4,5,(4,3,nC63515
其中面积为1的平行四边形的个数(2,3(4,5;(2,1(4,3;(2,1(4,1 其中面积为2的平行四边形的个数为(2,3(2,5;(2,1(2,3 其中面积为3的平行四边形的个数(2,3(4,3;(2,1(4,5
其中面积为4的平行四边形的个数(2,1(2,5;(4,1(4,3;(4,3(4,5 其中面积为5的平行四边形的个数(2,3,(4,1;(2,5(4,5； 其中面积为7的平行四边形的个数(2,5,(4,3其中面积为8的平行四边形的个数(4,1(4,5 其中面积为9的平行四边形的个数(2,5,(4,1 答案：20
111120 解：(lglg251002lg410010
答案：16
解：a8,b6,c10，点P显然在双曲线右支上，点P到左焦点的距离为20，所以答案：2R
220c5d16 da4R22222rRrrrR，S侧2r2Rr4r(RrS侧max时，解：则4R2R2R
22222222222答案：②③ 解 ：①错，


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x1x2;④错f(x在某区间上具有单调性，不一定在整个定义域上单调．故②③正确．

三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题共12分） 已知函数f(xsin(x73cos(x,xR 44(Ⅰ求f(x的最小正周期和最小值； （Ⅱ）已知cos(a


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44,cos(,(0，求证：[f(]220 552
18．（本小题共12分）
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有人独立来该租车点则11车骑游．各租一车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,；两小时以上且不超过三小时还车的4211概率分别为,；两人租车时间都不会超过四小时．
24（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望E；


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19．(本小题共l2分
如图，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA． (I求证：CD=C1D；
(II求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值； (Ⅲ求点C到平面B1DP的距离．

第7页（共16页）

20．(本小题共12分 设d为非零实数，an1122(Cnd2Cndnn1n1nn(n1CndnCnd](nN*
(1写出a1,a2,a3并判断{an}是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；
*(II设bnndan(nN，求数列{bn}的前n项和Sn．


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本小题考查等比数列和组合数的基础知识以及基本的运算能力,分析问题、解决问题的能力和化归与转化等数学思想． 21．(本小题共l2分 椭圆有两顶点A(-1，0、B(1，0，过其焦点F(0，1的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直
线BD交于点Q．
(I当|CD | =
322时，求直线l的方程； (II当点P异于A、B两点时，求证：OPOQ 为定值．

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本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基础知识，考查平面解几何的思想方法及推理运算能力． 22．(本小题共l4分
已知函数f(x21x,h(xx 32 (I设函数F(xf(xh(x，求F(x的单调区间与极值； (Ⅱ设aR，解关于x的方程log4[10033f(x1]log2h(axlog2(4x 241 (Ⅲ试比较f(100h(100


h(k与6的大小．
k1第10页（共16页）

本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识及基本运算能力 ，函数与方程、化归与转化等数学思想． 解：(Ⅰ f(xsinxcos7733 cosxsincosxcossinxsin44442sinx2cosx2sin(x
4T2,f(xmax2
（Ⅱ）因为cos(coscossinsin45(1 (2
cos(coscossinsin又45
02cos02coscos0
f(2(f(220

本小题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等到概念及相关计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力．
解：（Ⅰ）所付费用相同即为0,2,4元．设付0元为P1则所付费用相同的概率为PP1P2P3111111111，付2元为P2，付4元为P3 42824844165
16(Ⅱ设甲，乙两个所付的费用之和为，可为0,2,4,6,8
P(0P(P(P(P(1811115244221611111154
4424241611113644241611184416故的分布列为
P
0 2 4
5
166
3
168
1
1615 81655917E
84822本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决第11页（共16页）
等基本知识，并考数学问题的能力．

解：：（I）连接B1A交BA1于O,B1P//面BDA1,B1P面AB1P,面AB1P面BA1DOD,
B1P//OD,又O为B1A的中点，D为AP中点，C1为A1P,ACDPC1DC1DCD,D为CC1的中点．
（II）由题意ABAC,ABAA1AB面AA1C1C,过B 作连接BH，则BHAD,AHB为二面角AA1DB的平面AHAD,角．在AA1D中，AA11,AD55,A1D,则22252535AH2AH,BH,cosAHB5
55BH3535(Ⅲ因为VCB1PDVB1PCD，所以hSB1PD131A1B1SPCD,A1B11
3SPCDSPC1CSPC1D111, 24495535425,sinDBP5， 在B1DP中，B1D,B1P5,PD.cosDB1P4132255252SB1PD135315,h 22543解法二：如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1B1C1A，则A1(0,0,0，B1(1,0,0，C1(0,1,0，B(1,0,1．
（Ⅰ）设C1Dx，AC∥PC1，C1PC1Dx． ACCD1x由此可得D(0,1,x，P(0,1x,0， 1xx,0． 1xA1B(1,0,1，A1D(0,1,x，B1P(1,1设平面BA1D的一个法向量为n1(a,b,c，
n1A1Bac0则 n1A1Dbcx0令c1，则n1(1,x,1．
PB1∥平面BA1D，
第12页（共16页）

n1B1P1(1x(1由此可得xx(100 1x1，故CDC1D．
212（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA1D的一个法向量为n1(1,,1， 又n2(1,0,0为平面AA1D的一个法向量．
cosn1,n2n1n212．
|n1||n2|1332故二面角AA1DB的平面角的余弦值为（Ⅲ）2．
31PB1(1,2,0，PD(0,1,
2设平面B1DP的一个法向量为n3(a1,b1,c1，
n3PB1a12b10则 c1n3PDb102令c11，可得n3(1,又DC(0,0,，
1,1． 212C到平面B1DP的距离d|DCn3|1． 3|n3|2解：（Ⅰ）由已知可得a1d,a2d(d1,a3d(d1．
nnnkkkkkk1kkkn1k1当n≥2，k≥1时，因为CnCn1，所以anCndCn1ddCn1dd(d1
nk1nk1k0由此可见，当d1时，{an}是以d为首项，d1为公比的等比数列； 当d1，a11，an0（n≥2），此时{an}不是等比数列．
n12n1（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，and(d1，从而bnnd(1d
Snd2(1d02d2(1d13d2(1d2nd2(1dn1
d2[(1d02(1d13(1d22当d1时，Snd1．
n(1dn1] ①
当d1时，①式两边同乘以1d得
(1dSnd2[(1d12(1d23(1d3n(1dn] ②
第13页（共16页）

1(1(1dnd2n(1dnd(d2nd(1dn 由②①得：dSnd[1(1d2n化得即得：Sn1(dn1(1d
n综上，Sn1(dn1(1d．

y2x21，设l的方程为y1k(x0,k为l的斜率．则解：由已知可得椭圆方程为22kykx1xx1222k222(2kx2kx10y2x1xx12122k2224yy212k2 2yy2k2122k28k288k48k292(x1x2(y1y2k2k2 2222(2k(2k2l的方程为y2x1或y2x1为所求．
（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时与题意不符．
1,0．
k2k1设C(x1,y1，D(x2,y2，由（Ⅰ）知x1x2，， xx12222k2k设直线l的方程为ykx1，(k0且k1，所以P点坐标为(直线AC的方程为yy1y(x1，直线BD的方程为y1(x1 x11x21x1y2(x11． x1y1(x21将两直线方程联立，消去y得因为1x1,x21，所以x1y2与异号． x1y122(x11222x2(x112(1x1(1x2x12y2 (2222x1y1(x2122x1(x21(1x1(1x22k122k2k2(k12．
2k1k1122k2k212(1k(1k2(1k2k12又y1y2kx1x2k(x1x21．
k22k2k12k1x1k1与y1y2异号，与同号， k1x1k1x1k1，解得xk x1k1第14页（共16页）

因此Q点坐标为(k,y0，
1OPOQ(,0(k,y01
k故OPOQ为定值．
本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、分类与整合、特殊与一般等数学思想方法以及推理运算、分析问题、解决问题的能力． 解：（Ⅰ）由F(xf(xg(x21（x≥0）知， xx，32F(x当0x219，令F(x0，得x 32x1699时，F(x0；当x时，F(x0；
16169故当x[0,时，F(x单调递减；
169当x(,时，F(x单调递增；
16
991是其极小值点，且极小值为F(． 1616833（Ⅱ）因为f(x1x1,故原方程可化为log4(x1log2h(4xlog2h(ax；
241即log2(x1log24xlog2ax
2x101x44x0xa等价于:

ax0a(x325(x1(4xax所以x故画出函数图象后,由方程与函数的思想,讨论得: (1当1a4时,原方程有一解x35a; (2当4a5时,原方程有两解x1,235a; (3当a5时,原方程有一解x3; (4当a1或a5时,原方程无解．

(Ⅲ
由已知得h(kk1k1100100k．
设数列{an}的前n项和为Sn，且Snf(ng(n从而有a1S11，
当2k100时，akSkSk11*，(nN．
64k34k1kk1， 66第15页（共16页）

又akk1[(4k3k(4k1k1]
6
1(4k32k(4k12(k16(4k3k(4k1k11106(4k3k(4k1k1
则对任意的2k100，有akk． 又因为a111，所以

akkk1k1100100故f(100h(100，h(kk110016．
第16页（共16页）

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/10b74774dbef5ef7ba0d4a7302768e9950e76e7a.html

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