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备战中考数学 平行四边形 培优练习(含答案)及详细答案

发布时间：2020-08-30   来源：文档文库   
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一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．操作：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F．
探究：（1）如图1，当点P在线段BC上时，①若∠BAP=30°，求∠AFE的度数；②若点E恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时∠AFD的度数．
归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；
猜想：（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论．

【答案】（1）①45°；②BC的中点，45°；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析. 【解析】
试题分析：（1）当点P在线段BC上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出∠DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；②由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠1+∠2的度数，即为∠FAG度数，即可求出∠F度数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数不会发生变化，理由为：作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设∠DAG=∠EAG=α，根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可．
试题解析：（1）①当点P在线段BC上时，∵∠EAP=∠BAP=30°，∴∠DAE=90°﹣30°×2=30°，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣30°）÷2=75°，在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°；②点E为DF的中点时，P也为BC的中点，理由如下：

如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，∵EG∥AD，DE=EF，∴EG=AD=1，∵AB=AE，∴点A在线段BE的垂直平分线上，同理可得点P在线段BE的垂直平分线上，∴AF垂直平分线段BE，∴OB=OE，∵GE∥BP，∴∠OBP=∠OEG，∠OPB=∠OGE，∴△BOP≌△EOG，∴BP=EG=1，即P为BC的中点，∴∠DAF=90°﹣∠BAF，∠ADF=45°+∠BAF，∴∠AFD=180°﹣∠DAF﹣∠ADF=45°；（2）∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，
在△ADE中，AD=AE，AG⊥DE，∵AG平分∠DAE，即∠2=∠DAG，且∠1=∠BAP，∴∠1+∠2=×90°=45°，即∠FAG=45°，则∠AFD=90°﹣45°=45°；（3）如图2所示，∠AFE的大小不会发生变化，∠AFE=45°，
作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设∠DAG=∠EAG=α，∴∠BAE=90°+2α，∴∠FAE=∠BAE=45°+α，∴∠FAG=∠FAE﹣∠EAG=45°，在Rt△AFG中，∠AFE=90°﹣45°=45°．
考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定与性质.

2．阅读下列材料：
我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：


（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形 ． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
（2）命题：“和谐四边形一定是轴对称图形”是 命题（填“真”或“假”）． （3）如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD＝90°．若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB＝BC，请求出∠ABC的度数．
【答案】（1） C ；（2）∠ABC的度数为60°或90°或150°. 【解析】
试题分析：（1）根据菱形的性质和和谐四边形定义，直接得出结论. （2）根据和谐四边形定义，分AD=CD，AD=AC，AC=DC讨论即可.
（1）根据和谐四边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形够．故选C. （2）∵等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°，∴AB=AD. ∵AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC， ∴分三种情况讨论：
若AD=CD，如图1，则凸四边形ABCD是正方形，∠ABC=90°； 若AD=AC，如图 2，则AB=AC=BC，△ABC是等边三角形，∠ABC=60°； 若AC=DC，如图 3，则可求∠ABC=150°.

考点：1.新定义；2．菱形的性质；3．正方形的判定和性质；4．等边三角形的判定和性质；5.分类思想的应用.

3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在Rt△PFE中，∠EPF=90°，点E、F分别在边AD、AB上．
（1）如图1，若点P与点O重合：①求证：AF=DE；②若正方形的边长为23，当∠DOE=15°时，求线段EF的长；
（2）如图2，若Rt△PFE的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，证明：PE=2PF．


【答案】（1）①证明见解析，②22；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）①根据正方形的性质和旋转的性质即可证得：△AOF≌△DOE根据全等三角形的性质证明；
②作OG⊥AB于G，根据余弦的概念求出OF的长，根据勾股定理求值即可；
（2）首先过点P作HP⊥BD交AB于点H，根据相似三角形的判定和性质求出PE与PF的数量关系． 【详解】
（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OD，∠OAF=∠ODE=45°，∠AOD=90°， ∴∠AOE+∠DOE=90°， ∵∠EPF=90°， ∴∠AOF+∠AOE=90°， ∴∠DOE=∠AOF， 在△AOF和△DOE中，
OAF＝ODE， OA＝ODAOF＝DOE∴△AOF≌△DOE， ∴AF=DE；
②解：过点O作OG⊥AB于G，

∵正方形的边长为23， ∴OG=1BC=3，
2
∵∠DOE=15°，△AOF≌△DOE， ∴∠AOF=15°， ∴∠FOG=45°-15°=30°， ∴OF=OG=2，
cosDOG∴EF=OF2OE2=22；
（2）证明：如图2，过点P作HP⊥BD交AB于点H，

则△HPB为等腰直角三角形，∠HPD=90°， ∴HP=BP， ∵BD=3BP， ∴PD=2BP， ∴PD=2HP，
又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°， ∴∠HPF=∠DPE， 又∵∠BHP=∠EDP=45°， ∴△PHF∽△PDE，
PFPH1， PEPD2∴PE=2PF． 【点睛】
∴此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

4．在ABC中，ABC90，BD为AC边上的中线，过点C作CEBD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FGBD，连接BG，DF．
1求证：BDDF；
2求证：四边形BDFG为菱形；
3若AG5，CF7，求四边形BDFG的周长．


【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）8 【解析】 【分析】
1利用平行线的性质得到CFA90，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证，
2利用平行四边形的判定定理判定四边形BDFG为平行四边形，再利用1得结论即可得证，
3设GFx，则AF5x，利用菱形的性质和勾股定理得到CF、AF和AC之间的关系，解出x即可． 【详解】
1证明：AG//BD，CFBD，
CFAG，
又D为AC的中点，
1DFAC，
21又BDAC，
2BDDF，
2证明：又BD//GF，BDFG，
四边形BDFG为平行四边形，
BDDF，
四边形BDFG为菱形，
3解：设GFx，则AF5x，AC2x，
在RtAFC中，(2x2(72(5x2， 解得：x12，x216(舍去，
3GF2，
菱形BDFG的周长为8．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，正确掌握这些定义性质及判定并结合图形作答是解决本题的关键．


5．（1）问题发现：
如图①，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为 ； （2）深入探究：
如图②，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸：
如图③，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN=2，试求EF的长．

【答案】（1）NC∥AB；理由见解析；（2）∠ABC=∠ACN；理由见解析；（3）241； 【解析】
分析：（1）根据△ABC，△AMN为等边三角形，得到AB=AC，AM=AN且∠BAC=∠MAN=60°从而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM，即∠BAM=∠CAN，证明△BAM≌△CAN，即可得到BM=CN．
（2）根据△ABC，△AMN为等腰三角形，得到AB：BC=1：1且∠ABC=∠AMN，根据相似ABAC＝，利用等腰三角形的性质得到∠BAC=∠MAN，根据相似三AMAN角形的性质即可得到结论；
三角形的性质得到（3）如图3，连接AB，AN，根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，根据BMAB＝，得到BM=2，CM=8，再根据勾股定理即可得到答案． CNAC详解：（1）NC∥AB，理由如下： ∵△ABC与△MN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠BAM=∠CAN， 在△ABM与△ACN中，
相似三角形的性质得出ABACBAMCAN ， AMAN∴△ABM≌△ACN（SAS），

∴∠B=∠ACN=60°，
∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°，
∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°， ∴CN∥AB；

（2）∠ABC=∠ACN，理由如下：
ABAM=1且∠ABC=∠AMN， BCMN∴△ABC～△AMN
∵ABAC＝， AMAN∵AB=BC，
∴1（180°﹣∠ABC），
2∵AM=MN
1∴∠MAN=（180°﹣∠AMN），
2∵∠ABC=∠AMN， ∴∠BAC=∠MAN， ∴∠BAM=∠CAN， ∴△ABM～△ACN， ∴∠ABC=∠ACN；
（3）如图3，连接AB，AN，
∴∠BAC=∵四边形ADBC，AMEF为正方形， ∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°， ∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC 即∠BAM=∠CAN， ∵∴ABAM2， BCANABAC＝， AMAN∴△ABM～△ACN
∴∴∴BMAB＝， CNACCNAC2=cos45°=， BMAB222，
BM2∴BM=2， ∴CM=BC﹣BM=8，

在Rt△AMC， AM=AC2MC210282241，
∴EF=AM=241．

点睛：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．

6．如图1，矩形ABCD中，AB=8，AD=6；点E是对角线BD上一动点，连接CE，作EF⊥CE交AB边于点F，以CE和EF为邻边作矩形CEFG，作其对角线相交于点H． （1）①如图2，当点F与点B重合时，CE= ，CG= ； ②如图3，当点E是BD中点时，CE= ，CG= ；
（2）在图1，连接BG，当矩形CEFG随着点E的运动而变化时，猜想△EBG的形状？并加以证明； （3）在图1，CG的值是否会发生改变？若不变，求出它的值；若改变，说明理由；
CE （4）在图1，设DE的长为x，矩形CEFG的面积为S，试求S关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．

【答案】（1）241815， ，5， ；（2）△EBG是直角三角形，理由详见解析；（3）455334832 ；（4）S=x2﹣x+48（0≤x≤）．
5544【解析】 【分析】
（1）①利用面积法求出CE，再利用勾股定理求出EF即可；②利用直角三角形斜边中线定理求出CE，再利用相似三角形的性质求出EF即可；
（2）根据直角三角形的判定方法：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形即可判断；

（3）只要证明△DCE∽△BCG，即可解决问题； （4）利用相似多边形的性质构建函数关系式即可； 【详解】
（1）①如图2中，

在Rt△BAD中，BD=∵S△BCD=∴CE=AD2AB2=10，
11•CD•BC=•BD•CE， 22242418．CG=BE=62(2=． 555②如图3中，过点E作MN⊥AM交AB于N，交CD于M．

∵DE=BE， ∴CE=1BD=5，
2∵△CME∽△ENF，
∴CMEN， CEEF15，
4∴CG=EF=（2）结论：△EBG是直角三角形． 理由：如图1中，连接BH．

在Rt△BCF中，∵FH=CH，

∴BH=FH=CH， ∵四边形EFGC是矩形， ∴EH=HG=HF=HC， ∴BH=EH=HG， ∴△EBG是直角三角形．
（3）F如图1中，∵HE=HC=HG=HB=HF， ∴C、E、F、B、G五点共圆， ∵EF=CG， ∴∠CBG=∠EBF， ∵CD∥AB， ∴∠EBF=∠CDE， ∴∠CBG=∠CDE， ∵∠DCB=∠ECG=90°， ∴∠DCE=∠BCG， ∴△DCE∽△BCG，
CGBC63． CEDC84（4）由（3）可知：
∴CGCD3， CECB4∴矩形CEFG∽矩形ABCD，
S矩形CEFGCE2CE2（）∴，
S矩形ABCDCD64∵CE2=（24232-x）2+），S矩形ABCD=48， 55∴S矩形CEFG=324232 [（-x）2+（）].
554∴矩形CEFG的面积S=【点睛】
324832x-x+48（0≤x≤）．
554本题考查相似三角形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质、相似多边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形或直角三角形解决问题，属于中考压轴题．

7．已知边长为1的正方形ABCD中， P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PE⊥PB ，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F． （1）当点E落在线段CD上时（如图）， ①求证：PB=PE；

②在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；
（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；
（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由．

【答案】（1）①证明见解析；②点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为画图见解析，成立 ；（3）能，1. 【解析】
2；（2）2分析：（1）①过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．要证PB=PE，只需证到△PGB≌△PHE即可；②连接BD，如图2．易证△BOP≌△PFE，则有BO=PF，只需求出BO的长即可．
（2）根据条件即可画出符合要求的图形，同理可得（1）中的结论仍然成立． （3）可分点E在线段DC上和点E在线段DC的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的AP的长．
详解：（1）①证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．

∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC， ∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°． ∴PG=PH，∠GPH=∠PGB=∠PHE=90°． ∵PE⊥PB即∠BPE=90°， ∴∠BPG=90°﹣∠GPE=∠EPH． 在△PGB和△PHE中，
PGB＝PHE， PG＝PHBPG＝EPH
∴△PGB≌△PHE（ASA）， ∴PB=PE．
②连接BD，如图2．

∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOP=90°． ∵PE⊥PB即∠BPE=90°， ∴∠PBO=90°﹣∠BPO=∠EPF． ∵EF⊥PC即∠PFE=90°， ∴∠BOP=∠PFE． 在△BOP和△PFE中，
PBO＝EPFBOP＝PFE PB＝PE∴△BOP≌△PFE（AAS）， ∴BO=PF．
∵四边形ABCD是正方形， ∴OB=OC，∠BOC=90°， ∴BC=2OB． ∵BC=1，∴OB=∴PF=2，
22．
22．
2∴点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为（2）当点E落在线段DC的延长线上时，符合要求的图形如图3所示．


同理可得：PB=PE，PF=2．
2（3）①若点E在线段DC上，如图1．

∵∠BPE=∠BCE=90°，∴∠PBC+∠PEC=180°． ∵∠PBC＜90°，∴∠PEC＞90°． 若△PEC为等腰三角形，则EP=EC． ∴∠EPC=∠ECP=45°，
∴∠PEC=90°，与∠PEC＞90°矛盾，
∴当点E在线段DC上时，△PEC不可能是等腰三角形． ②若点E在线段DC的延长线上，如图4．

若△PEC是等腰三角形， ∵∠PCE=135°， ∴CP=CE，
∴∠CPE=∠CEP=22.5°．
∴∠APB=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°． ∵∠PRC=90°+∠PBR=90°+∠CER， ∴∠PBR=∠CER=22.5°， ∴∠ABP=67.5°， ∴∠ABP=∠APB． ∴AP=AB=1． ∴AP的长为1．
点睛：本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知识，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键．


8．正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点E是AB边上的一个动点（点E不与点A、B重合），CE与BD相交于点F，设线段BE的长度为x．

（1）如图1，当AD=2OF时，求出x的值；
（2）如图2，把线段CE绕点E顺时针旋转90°，使点C落在点P处，连接AP，设△APE的面积为S，试求S与x的函数关系式并求出S的最大值． 【答案】（1）x=﹣1；
（2）S=﹣（x﹣）2+（0＜x＜1）， 当x=时，S的值最大，最大值为，． 【解析】
试题分析：（1）过O作OM∥AB交CE于点M，如图1，由平行线等分线段定理得到CM=ME，根据三角形的中位线定理得到AE=2OM=2OF，得到OM=OF，于是得到BF=BE=x，求得OF=OM=解方程，即可得到结果；
（2）过P作PG⊥AB交AB的延长线于G，如图2，根据已知条件得到∠ECB=∠PEG，根据全等三角形的性质得到EB=PG=x，由三角形的面积公式得到S=（1﹣x）•x，根据二次函数的性质即可得到结论．
试题解析：（1）过O作OM∥AB交CE于点M，如图1， ∵OA=OC， ∴CM=ME， ∴AE=2OM=2OF， ∴OM=OF， ∴，
∴BF=BE=x， ∴OF=OM=，

∵AB=1， ∴OB=∴∴x=﹣1； ，
，

（2）过P作PG⊥AB交AB的延长线于G，如图2， ∵∠CEP=∠EBC=90°， ∴∠ECB=∠PEG，
∵PE=EC，∠EGP=∠CBE=90°， 在△EPG与△CEB中，
，
∴△EPG≌△CEB， ∴EB=PG=x， ∴AE=1﹣x，
∴S=（1﹣x）•x=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，（0＜x＜1）， ∵﹣＜0，
∴当x=时，S的值最大，最大值为，．

考点：四边形综合题


9．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．

（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，求证：△PDH的周长是定值； （3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长．
【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）2． 【解析】
试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；
（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；
（3）过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB，证明△EFM≌△BPA，设AP=x，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF，结合二次函数的性质求出最值． 试题解析：（1）解：如图1，

∵PE=BE， ∴∠EBP=∠EPB． 又∵∠EPH=∠EBC=90°， ∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP． 即∠PBC=∠BPH． 又∵AD∥BC， ∴∠APB=∠PBC． ∴∠APB=∠BPH．
（2）证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．


由（1）知∠APB=∠BPH， 又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP， 在△ABP和△QBP中，
，
∴△ABP≌△QBP（AAS）， ∴AP=QP，AB=BQ， 又∵AB=BC， ∴BC=BQ．
又∠C=∠BQH=90°，BH=BH， 在△BCH和△BQH中，
，
∴△BCH≌△BQH（SAS）， ∴CH=QH．
∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8． ∴△PDH的周长是定值．
（3）解：如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．

又∵EF为折痕， ∴EF⊥BP．
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°， ∴∠EFM=∠ABP． 又∵∠A=∠EMF=90°， 在△EFM和△BPA中，

，
∴△EFM≌△BPA（AAS）． ∴EM=AP． 设AP=x
在Rt△APE中，（4-BE）2+x2=BE2． 解得BE=2+， ∴CF=BE-EM=2+-x， ∴BE+CF=-x+4=（x-2）2+3． 当x=2时，BE+CF取最小值， ∴AP=2．
考点：几何变换综合题．

10．已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N．

（1）求证：△ABM≌△CDN；
（2）矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形 AMCN是菱形，证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形．证明见解析； 【解析】
试题分析：（1）由已知条件可得四边形AMCN是平行四边形，从而可得AM=CN，再由AB=CD，∠B=∠D=90°，利用HL即可证明；
（2）若四边形AMCN为菱形，则有AM=AN，从已知可得∠BAM=∠FAN，又∠B=∠F=90°，所以有△ABM≌△AFN，从而得AB=AF，因此当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形． 试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD∥BC． ∵四边形AECF是矩形，∴AE∥CF．∴四边形AMCN是平行四边形．∴AM＝CN．在Rt△ABM和Rt△CDN中，AB＝CD，AM＝CN，∴Rt△ABM≌Rt△CDN． （2）当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形．
∵四边形ABCD、AECF是矩形，∴∠B＝∠BAD＝∠EAF＝∠F＝90°．∴∠BAD－∠NAM＝
∠EAF－∠NAM，即∠BAM＝∠FAN．又∵AB＝AF，∴△ABM≌△AFN．∴AM＝AN．由（1）知四边形AMCN是平行四边形，∴平行四边形AMCN是菱形． 考点：1．矩形的性质；2．三角形全等的判定与性质；3．菱形的判定．


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