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备战中考数学平行四边形(大题培优)附答案

发布时间：2020-09-02   来源：文档文库   
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一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中的两个三角形就是互补三角形．
（1）用尺规将图1中的△ABC分割成两个互补三角形； （2）证明图2中的△ABC分割成两个互补三角形；
（3）如图3，在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI．
①已知三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为、、的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积．
②若△ABC的面积为2，求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积．

【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）①62；②6 【解析】
试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可． （2）根据互补三角形的定义证明即可． （3）①画出图形后，利用割补法求面积即可．
②平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，只要证明S△EFM=3S△ABC即可． 试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线AD，△ABD和△ADC是互补三角形．

（2）如图2中，延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH．


∵四边形ABDE，四边形ACGF是正方形， ∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°， ∴∠EAF+∠BAC=180°，
∴△AEF和△ABC是两个互补三角形． ∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°， ∴∠EAH=∠BAC， ∵AF=AC， ∴AH=AB，
在△AEH和△ABC中，
∴△AEH≌△ABC， ∴S△AEF=S△AEH=S△ABC． （3）①边长为、、的三角形如图4所示．


∵S△ABC=3×4﹣2﹣1.5﹣3=5.5， ∴S六边形=17+13+10+4×5.5=62．
②如图3中，平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，设∠ABC=x，

∵AM∥CH，CH⊥BC， ∴AM⊥BC，
∴∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x， ∵∠DBI=360°﹣90°﹣90°﹣x=180°﹣x， ∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD， ∴△AEM≌△DBI，
∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°， ∴△DBI和△ABC是互补三角形， ∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2，

∴S△EFM=3S△ABC=6．
考点：1、作图﹣应用与设计，2、三角形面积

2．如图，△ABC是等边三角形，AB=6cm，D为边AB中点．动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动．点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动，回到点D停止．以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN．将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ．设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜3）． （1）当点N落在边BC上时，求t的值． （2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值． （3）当点Q沿D→B运动时，求S与t之间的函数表达式．
（4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值．

【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t=1或【解析】
t2；（4）
试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3； （2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ； （3）当0≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN． （4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时＜t＜面积表达式后，即可求出t的值．
试题解析：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形， ∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合． ∴DQ=3 ∴2t=3． ∴t=；
，列出四边形PEMF与四边形PQMN的
（2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上， ∴PD=DQ， 当0＜t＜时， 此时，PD=t，DQ=2t ∴t=2t
∴t=0（不合题意，舍去）， 当≤t＜3时， 此时，PD=t，DQ=6﹣2t ∴t=6﹣2t， 解得t=2；
综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2； （3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t 当点M在BC边上时， ∴MN=BQ
∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t ∴3t=3﹣2t ∴解得t=
如图①，当0≤t≤时， S△PNQ=PQ2=t2；
t2，
∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=如图②，当≤t≤时，
设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F， ∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t， ∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3， ∵△EMF是等边三角形， ∴S△EMF=ME2=（5t﹣3）2
．
；
（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，

此时＜t＜t=1或， ．

考点：几何变换综合题

3．操作：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F．
探究：（1）如图1，当点P在线段BC上时，①若∠BAP=30°，求∠AFE的度数；②若点E恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时∠AFD的度数．
归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；
猜想：（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论．

【答案】（1）①45°；②BC的中点，45°；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析. 【解析】
试题分析：（1）当点P在线段BC上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出∠DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；②由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠1+∠2的度数，即为∠FAG
度数，即可求出∠F度数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数不会发生变化，理由为：作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设∠DAG=∠EAG=α，根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可．
试题解析：（1）①当点P在线段BC上时，∵∠EAP=∠BAP=30°，∴∠DAE=90°﹣30°×2=30°，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣30°）÷2=75°，在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°；②点E为DF的中点时，P也为BC的中点，理由如下：
如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，∵EG∥AD，DE=EF，∴EG=AD=1，∵AB=AE，∴点A在线段BE的垂直平分线上，同理可得点P在线段BE的垂直平分线上，∴AF垂直平分线段BE，∴OB=OE，∵GE∥BP，∴∠OBP=∠OEG，∠OPB=∠OGE，∴△BOP≌△EOG，∴BP=EG=1，即P为BC的中点，∴∠DAF=90°﹣∠BAF，∠ADF=45°+∠BAF，∴∠AFD=180°﹣∠DAF﹣∠ADF=45°；（2）∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，
在△ADE中，AD=AE，AG⊥DE，∵AG平分∠DAE，即∠2=∠DAG，且∠1=∠BAP，∴∠1+∠2=×90°=45°，即∠FAG=45°，则∠AFD=90°﹣45°=45°；（3）如图2所示，∠AFE的大小不会发生变化，∠AFE=45°，
作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设∠DAG=∠EAG=α，∴∠BAE=90°+2α，∴∠FAE=∠BAE=45°+α，∴∠FAG=∠FAE﹣∠EAG=45°，在Rt△AFG中，∠AFE=90°﹣45°=45°．
考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定与性质.


4．已知Rt△ABD中，边AB=OB=1，∠ABO=90° 问题探究：
（1）以AB为边，在Rt△ABO的右边作正方形ABC，如图（1），则点O与点D的距离为 ．
（2）以AB为边，在Rt△ABO的右边作等边三角形ABC，如图（2），求点O与点C的距离． 问题解决：
（3）若线段DE=1，线段DE的两个端点D，E分别在射线OA、OB上滑动，以DE为边向外作等边三角形DEF，如图（3），则点O与点F的距离有没有最大值，如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．

【答案】(1、5；(2、【解析】 【分析】
62321. ；(3、22试题分析：(1、如图1中，连接OD，在Rt△ODC中，根据OD=OC2CD2计算即可．(2、如图2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，连接OC．在Rt△OCE中，根据OC=OE2CE2计算即可．(3、如图3中，当OF⊥DE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DM．分别求出MH、OM、FH即可解决问题． 【详解】
试题解析：(1、如图1中，连接OD，

∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD=1，∠C=90° 在Rt△ODC中，∵∠C=90°，OC=2，CD=1，
∴OD=OC2CD222125
(2、如图2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，连接OC．


∵∠FBE=∠E=∠CFB=90°， ∴四边形BECF是矩形， ∴BF=CF=213，CF=BE=， 222623122=在Rt△OCE中，OC=OECE1． 222(3、如图3中，当OF⊥DE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DM．

∵FD=FE=DE=1，OF⊥DE， ∴DH=HE，OD=OE，∠DOH=1∠DOE=22.5°， ∵OM=DM，
212， ∴DM=OM=， 22∴∠MOD=∠MDO=22.5°， ∴∠DMH=∠MDH=45°， ∴DH=HM=∵FH=DF2DH2∴OF的最大值为3213321=， ∴OF=OM+MH+FH=． 22222321．
2考点：四边形综合题．

5．△ABC为等边三角形，AFAB．BCDBDCAEC．
(1求证：四边形ABDF是菱形．
(2若BD是ABC的角平分线，连接AD，找出图中所有的等腰三角形．

【答案】(1证明见解析；(2图中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，
△ADE． 【解析】 【分析】
（1）先求证BD∥AF，证明四边形ABDF是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）先利用BD平分∠ABC，得到BD垂直平分线段AC，进而证明△DAC是等腰三角形，根据BD⊥AC,AF⊥AC，找到角度之间的关系,证明△DAE是等腰三角形，进而得到BC＝BD＝BA＝AF＝DF，即可解题,见详解. 【详解】
(1如图1中，∵∠BCD＝∠BDC， ∴BC＝BD，
∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC， ∵AB＝AF， ∴BD＝AF， ∵∠BDC＝∠AEC， ∴BD∥AF，
∴四边形ABDF是平行四边形， ∵AB＝AF，
∴四边形ABDF是菱形．
(2解：如图2中，∵BA＝BC，BD平分∠ABC， ∴BD垂直平分线段AC， ∴DA＝DC，
∴△DAC是等腰三角形， ∵AF∥BD，BD⊥AC ∴AF⊥AC， ∴∠EAC＝90°，
∵∠DAC＝∠DCA，∠DAC+∠DAE＝90°，∠DCA+∠AEC＝90°， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴DA＝DE，
∴△DAE是等腰三角形， ∵BC＝BD＝BA＝AF＝DF，
∴△BCD，△ABD，△ADF都是等腰三角形，
综上所述，图中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．


【点睛】
本题考查菱形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，属于中考常考题型，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

6．（问题发现）
（1）如图（1）四边形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，则线段BD，AC的位置关系为 ； （拓展探究）
（2）如图（2）在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由； （解决问题）
（3）如图（3）在正方形ABCD中，AB=2，以点A为旋转中心将正方形ABCD旋转60°，得到正方形AB'C'D'，请直接写出BD'平方的值．

【答案】（1）AC垂直平分BD；（2）四边形FMAN是矩形，理由见解析；（3）16+8或16﹣8【解析】 【分析】
（1）依据点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出AC垂直平分BD；
（2）根据Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，可得AF=CF=BF，再根据等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，即可得到AD=DB，AE=CE，进而得出∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，即可判定四边形AMFN是矩形；
（3）分两种情况：①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°，②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，分别依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到结

论． 【详解】
（1）∵AB=AD，CB=CD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上， ∴AC垂直平分BD， 故答案为：AC垂直平分BD； （2）四边形FMAN是矩形．理由： 如图2，连接AF，

∵Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点， ∴AF=CF=BF，
又∵等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE， ∴AD=DB，AE=CE，
∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC， 又∵∠BAC=90°，
∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°， ∴四边形AMFN是矩形； （3）BD′的平方为16+8分两种情况：
①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°， 如图所示：过D'作D'E⊥AB，交BA的延长线于E，
或16﹣8．

由旋转可得，∠DAD'=60°， ∴∠EAD'=30°， ∵AB=2=AD'，
，AE=，
∴D'E=AD'=
∴BE=2+，
）2+（2+）2=16+8∴Rt△BD'E中，BD'2=D'E2+BE2=（如图所示：过B作BF⊥AD'于F，

②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，

旋转可得，∠DAD'=60°， ∴∠BAD'=30°， ∵AB=2=AD'，
，AF=，
）2+（2或16﹣8-）2=16﹣8．
，
∴BF=AB=∴D'F=2﹣∴Rt△BD'F中，BD'2=BF2+D'F2=（综上所述，BD′平方的长度为16+8【点睛】

本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理进行计算求解．解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．

7．（1）问题发现：
如图①，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为 ； （2）深入探究：
如图②，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸：
如图③，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN=2，试求EF的长．


【答案】（1）NC∥AB；理由见解析；（2）∠ABC=∠ACN；理由见解析；（3）241； 【解析】
分析：（1）根据△ABC，△AMN为等边三角形，得到AB=AC，AM=AN且∠BAC=∠MAN=60°从而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM，即∠BAM=∠CAN，证明△BAM≌△CAN，即可得到BM=CN．
（2）根据△ABC，△AMN为等腰三角形，得到AB：BC=1：1且∠ABC=∠AMN，根据相似ABAC＝，利用等腰三角形的性质得到∠BAC=∠MAN，根据相似三AMAN角形的性质即可得到结论；
三角形的性质得到（3）如图3，连接AB，AN，根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，根据BMAB＝，得到BM=2，CM=8，再根据勾股定理即可得到答案． CNAC详解：（1）NC∥AB，理由如下： ∵△ABC与△MN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠BAM=∠CAN， 在△ABM与△ACN中，
相似三角形的性质得出ABACBAMCAN ， AMAN∴△ABM≌△ACN（SAS）， ∴∠B=∠ACN=60°，
∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°，
∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°， ∴CN∥AB；

（2）∠ABC=∠ACN，理由如下：
ABAM=1且∠ABC=∠AMN， BCMN∴△ABC～△AMN
∵ABAC＝， AMAN∵AB=BC，
∴1（180°﹣∠ABC），
2∵AM=MN
1∴∠MAN=（180°﹣∠AMN），
2∵∠ABC=∠AMN， ∴∠BAC=∠MAN，
∴∠BAC=
∴∠BAM=∠CAN， ∴△ABM～△ACN， ∴∠ABC=∠ACN；
（3）如图3，连接AB，AN， ∵四边形ADBC，AMEF为正方形， ∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°， ∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC 即∠BAM=∠CAN， ∵∴ABAM2， BCANABAC＝， AMAN∴△ABM～△ACN
∴∴∴BMAB＝， CNACCNAC2=cos45°=， BMAB222， BM2∴BM=2， ∴CM=BC﹣BM=8， 在Rt△AMC， AM=AC2MC210282241，
∴EF=AM=241．

点睛：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．

8．如图1，矩形ABCD中，AB=8，AD=6；点E是对角线BD上一动点，连接CE，作EF⊥CE交AB边于点F，以CE和EF为邻边作矩形CEFG，作其对角线相交于点H． （1）①如图2，当点F与点B重合时，CE= ，CG= ； ②如图3，当点E是BD中点时，CE= ，CG= ；
（2）在图1，连接BG，当矩形CEFG随着点E的运动而变化时，猜想△EBG的形状？并
加以证明； （3）在图1，CG的值是否会发生改变？若不变，求出它的值；若改变，说明理由； CE （4）在图1，设DE的长为x，矩形CEFG的面积为S，试求S关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．

【答案】（1）241815， ，5， ；（2）△EBG是直角三角形，理由详见解析；（3）455334832 ；（4）S=x2﹣x+48（0≤x≤）．
5544【解析】 【分析】
（1）①利用面积法求出CE，再利用勾股定理求出EF即可；②利用直角三角形斜边中线定理求出CE，再利用相似三角形的性质求出EF即可；
（2）根据直角三角形的判定方法：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形即可判断；
（3）只要证明△DCE∽△BCG，即可解决问题； （4）利用相似多边形的性质构建函数关系式即可； 【详解】
（1）①如图2中，

在Rt△BAD中，BD=∵S△BCD=∴CE=AD2AB2=10，
11•CD•BC=•BD•CE， 22242418．CG=BE=62(2=． 555②如图3中，过点E作MN⊥AM交AB于N，交CD于M．


∵DE=BE， ∴CE=1BD=5，
2∵△CME∽△ENF，
∴CMEN， CEEF15，
4∴CG=EF=（2）结论：△EBG是直角三角形． 理由：如图1中，连接BH．

在Rt△BCF中，∵FH=CH， ∴BH=FH=CH， ∵四边形EFGC是矩形， ∴EH=HG=HF=HC， ∴BH=EH=HG， ∴△EBG是直角三角形．
（3）F如图1中，∵HE=HC=HG=HB=HF， ∴C、E、F、B、G五点共圆， ∵EF=CG， ∴∠CBG=∠EBF， ∵CD∥AB， ∴∠EBF=∠CDE， ∴∠CBG=∠CDE， ∵∠DCB=∠ECG=90°， ∴∠DCE=∠BCG， ∴△DCE∽△BCG，
∴CGBC63． CEDC84
（4）由（3）可知：
CGCD3， CECB4∴矩形CEFG∽矩形ABCD，
S矩形CEFGCE2CE2（）∴，
S矩形ABCDCD64∵CE2=（24232-x）2+），S矩形ABCD=48， 55324232 [（-x）2+（）].
55434832∴矩形CEFG的面积S=x2-x+48（0≤x≤）．
554【点睛】
∴S矩形CEFG=本题考查相似三角形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质、相似多边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形或直角三角形解决问题，属于中考压轴题．

9．已知：在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE＝2．

（1）如图①，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；
（2）如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF＝a时，求△GFC的面积（用a表示）； （3）在（2）的条件下，△GFC的面积能否等于2？请说明理由． 【答案】（1）10；（2）12－a；（3）不能 【解析】
解：（1）过点G作GM⊥BC于M．在正方形EFGH中， ∠HEF＝90°，EH＝EF， ∴∠AEH＋∠BEF＝90°． ∵∠AEH＋∠AHE＝90°， ∴∠AHE＝∠BEF． 又∵∠A＝∠B＝90°， ∴△AHE≌△BEF． 同理可证△MFG≌△BEF．
∴GM＝BF＝AE＝2．∴FC＝BC－BF＝10．

∴∵AD∥BC，∴∠AHF＝∠MFH． ∵EH∥FG，∴∠EHF＝∠GFH． ∴∠AHE＝∠MFG．
又∵∠A＝∠GMF＝90°，EH＝GF， ∴△AHE≌△MFG．∴GM＝AE＝2． ∴（3）△GFC的面积不能等于2．
．
（2）过点G作GM⊥BC交BC的延长线于M，连接HF．
．
说明一：∵若S△GFC＝2，则12－a＝2，∴a＝10． 此时，在△BEF中，
．
在△AHE中，
，
∴AH＞AD，即点H已经不在边AD上，故不可能有S△GFC＝2． 说明二：△GFC的面积不能等于2．∵点H在AD上， ∴菱形边EH的最大值为∴S△GFC的最小值为又∵，∴BF的最大值为．
．
又∵函数S△GFC＝12－a的值随着a的增大而减小，
，∴△GFC的面积不能等于2．

10．如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，连结CE，过顶点C作CF⊥CE，交AD延长线于F．求证：BE=DF.

【答案】证明见解析. 【解析】
分析：根据正方形的性质，证出BC=CD，∠B=∠CDF，∠BCD=90°，再由垂直的性质得到∠BCE=∠DCF，然后根据“ASA”证明△BCE≌△BCE即可得到BE=DF 详解：证明：∵CF⊥CE， ∴∠ECF=90°， 又∵∠BCG=90°，
∴∠BCE+∠ECD =∠DCF+∠ECD

∴∠BCE=∠DCF， 在△BCE与△DCF中，
∵∠BCE=∠DCF，BC=CD，∠CDF=∠EBC， ∴△BCE≌△BCE（ASA）， ∴BE=DF.
点睛：本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．


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