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2017年上海市八校联考高考数学模拟试卷(3月)含答案解析

发布时间：2019-07-24   来源：文档文库   
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2017年上海市八校联考高考数学模拟试卷（3月份）


一、填空（本大题共54分，1-6每题4分，7-12每题5分） 1．关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为 ．若Dx=5，则实数m=
．2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 石． 3．已知复数z1=1+4．在i，|z2|=3，z1z2是正实数，则复数z2= ．
的二项式展开式中，x3的系数是，则实数a= ．
5．在Rt△ABC中，A=90°，AB=1，AC=2，D是斜边BC上一点，且BD=2DC，则•（+）= ．
}，集合B={x|（x﹣a）（x﹣b）＜0}，若“a=6．已知集合A={x|﹣3”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是 ．
7．已知M是球O半径OP的中点，过M做垂直于OP的平面，截球面得圆O1，则以圆O1为大圆的球与球O的体积比是 ．
8．从集合{，，2，3}中任取一个数记做a，从集合{﹣2，﹣1，1，2}中任取一个数记做b，则函数y=ax+b的图象经过第三象限的概率是 ．
9．已知m＞0，n＞0，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是 ．
10．如图，在地上有同样大小的5块积木，一堆2个，一堆3个，要把积木一块一块的全部放到某个盒子里，每次只能取出其中一堆最上面的一块，则不同的取法有 种（用数字作答）．

11．定义Hn=为数列{an}的均值，已知数列{bn}的均值
，记数列{bn﹣kn}的前n项和是Sn，若Sn≤S3对于任意的正整数n恒成立，则实数k的取值范围是 ．
12．已知函数f（x）=|x﹣a|+m|x+a|（0＜m＜1，m，a∈R），若对于任意的实数x不等式f（x）≥2恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤﹣5或a≥5}，则所有满足条件的m的组成的集合是 ．

二、选择题（本大题满分20分，每题5分）
13．已知两点O（0，0），Q（a，b），点P1是线段OQ的中点，点P2是线段QP1的中点，P3是线段P1P2的中点，┅，Pn+2是线段PnPn+1的中点，则点Pn的极限位置应是（ ） A．（，） B．（） C．（） D．（）
14．已知函数f（x）=sin（ωx﹣若|α﹣β|的最小值为A．[﹣）+（ω＞0），且f（a）=﹣，f（β）=，，则函数的单调递增区间为（ ）
+3kπ，π+3kπ]，k∈Z
+3kπ]，k∈Z
+2kπ，π+2kπ]，k∈Z B．[﹣C．[π+2kπ， +2kπ]，k∈Z D．[π+3kπ，15．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ B．若m⊊α，n⊊β，m∥n，则α∥β
C．若m，n是异面直线，m⊊α，m∥β，n⊊β，n∥α，则α∥β D．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β 16．若点P是△ABC的外心，且A． B．﹣ C．﹣1 D．1

三、解答题（本大题满分76分）
17．如图所示为一名曰“堑堵”的几何体，已知AE⊥底面BCFE，DF∥AE，DF=AE=1，CE=，四边形ABCD是正方形．
++λ =，∠C=120°，则实数λ的值为（
）
（1）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，判断四面体EABC是否为鳖臑，若是，写出其每一个面的直角，并证明；若不是，请说明理由．
（2）求四面体EABC的体积．

18．一栋高楼上安放了一块高约10米的LED广告屏，一测量爱好者在与高楼底部同一水平线上的C处测得广告屏顶端A处的仰角为31.80°．再向大楼前进20米到D处，测得广告屏顶端A处的仰角为37.38°（人的高度忽略不计）． （1）求大楼的高度（从地面到广告屏顶端）（精确到1米）；
（2）若大楼的前方是一片公园空地，空地上可以安放一些长椅，为使坐在其中一个长椅上观看广告屏最清晰（长椅的高度忽略不计），长椅需安置在距大楼底部E处多远？已知视角∠AMB（M为观测者的位置，B为广告屏底部）越大，观看得越清晰．
19．已知双曲线C经过点（2，3），它的渐近线方程为y=±x，椭圆C1与双曲线C有相同的焦点，椭圆C1的短轴长与双曲线C的实轴长相等． （1）求双曲线C和椭圆C1的方程；
B两点，（2）经过椭圆C1左焦点F的直线l与椭圆C1交于A、是否存在定点D，使得无论AB怎样运动，都有∠ADF=∠BDF；若存在，求出D点坐标；若不存在，请说明理由．
20．已知函数F（x）=ex满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数． （1）求函数h（x）的反函数；
（2）已知φ（x）=g（x﹣1），若函数φ（x）在[﹣1，3]上满足φ（2a+1＞φ（﹣），求实数a的取值范围；
（3）若对于任意x∈（0，2]不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，求实数a的
取值范围．
21．若存在常数k（k∈N*，k≥2）、d、t（d，t∈R），使得无穷数列{an}满足an+1=，则称数列{an}为“段差比数列”，其中常数k、d、t分别叫做段长、段差、段比，设数列{bn}为“段差比数列”．
（1）已知{bn}的首项、段长、段差、段比分别为1、2、d、t，若{bn}是等比数列，求d、t的值；
（2）已知{bn}的首项、段长、段差、段比分别为1、3、3、1，其前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在首项为b，段差为d（d≠0）的“段差比数列”{bn}，对任意正整数n都有bn+6=bn．若存在，写出所有满足条件的{bn}的段长k和段比t组成的有序数组（k，t）；若不存在，说明理由．



2017年上海市八校联考高考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析


一、填空（本大题共54分，1-6每题4分，7-12每题5分） 1．y的二元一次方程的增广矩阵为关于x，【考点】矩阵变换的性质． 【分析】由题意，Dx=【解答】解：由题意，Dx=故答案为﹣2．

2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 168 石． 【考点】简单随机抽样．
【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论． 【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1524×故答案为：168．

3．已知复数z1=1+i，|z2|=3，z1z2是正实数，则复数z2= z2= ．
≈168石，
=5，即可求出m的值．
=5，∴m=﹣2，
．若Dx=5，则实数m= ﹣2
．【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】设复数z2=a+bi（a，b∈R），求出z1z2，再根据已知条件列出方程组，求解即可得答案．
【解答】解：设复数z2=a+bi（a，b∈R）， z1z2=∵|z2|=3，z1z2是正实数，
，

∴，解得：．
则复数z2=故答案为：z2= 4．在．
．
的二项式展开式中，x3的系数是，则实数a= 4 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】利用二项式展开式的通项公式即可得出． 【解答】解：在Tr+1=令∴故答案为：4．

5．在Rt△ABC中，A=90°，AB=1，AC=2，D是斜边BC上一点，且BD=2DC，则•（+）= 3 ．
=﹣9=3，解得r=8．
=，解得a=4．
的二项式展开式中，通项公式，
【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由题意画出图形，把【解答】解：如图，
转化为含有的式子求解．

∵BD=2DC，

∴•∴（+=）==．
=
．故答案为：3．

6．已知集合A={x|}，集合B={x|（x﹣a）（x﹣b）＜0}，若“a=﹣3”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是 b＞﹣1 ． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】分别求出关于A、B的不等式，通过A∩B≠∅”，求出b的范围即可． 【解答】解：A={x|}={x|x＞﹣1}，
B={x|（x﹣a）（x﹣b）＜0}=（﹣3，b）或（b，﹣3）， 由“A∩B≠∅”，得b＞﹣1， 故答案为：b＞﹣1．

7．已知M是球O半径OP的中点，过M做垂直于OP的平面，截球面得圆O1，则以圆O1为大圆的球与球O的体积比是 【考点】球的体积和表面积．
【分析】由题意，设出圆M的半径，球的半径，二者与OM构成直角三角形，求出半径关系，然后可求以圆O1为大圆的球与球O的体积比． 【解答】解：由题意，设出圆M的半径r，球的半径R， 由勾股定理得R2=r2+（）2，r=R．
． ．
∴以圆O1为大圆的球与球O的体积比是故答案为：

．
8．从集合{，，2，3}中任取一个数记做a，从集合{﹣2，﹣1，1，2}中任取一个数记做b，则函数y=ax+b的图象经过第三象限的概率是 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
．

b）【分析】先求出基本事件（a，的个数n=4×4=16，再利用列举法求出函数y=ax+b的图象经过第三象限的情况，由此能求出函数y=ax+b的图象经过第三象限的概率．
【解答】解：从集合{，，2，3}中任取一个数记做a，从集合{﹣2，﹣1，1，2}中任取一个数记做b，
基本事件（a，b）的个数n=4×4=16， ∵函数y=ax+b的图象经过第三象限有：
①当a=3、b=﹣1时，②当a=3、b=﹣2时，③当a=4、b=﹣1时，
④当a=4、b=﹣2时，⑤当a=，b=﹣2 时，⑥当a=，b=﹣2 时，共6种情况，∴函数y=ax+b的图象经过第三象限的概率是p=故答案为：．

．
9．已知m＞0，n＞0，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是 [2+2，+∞） ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．
【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，
∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d=整理得：m+n+1=mn≤（）2，
，即x2﹣4x﹣4≥0，
=1，
设m+n=x（x＞0），则有x+1≤解得：x≥2+2，

则m+n的取值范围为[2+2故答案为[2+2

，+∞）．
，+∞）．
10．如图，在地上有同样大小的5块积木，一堆2个，一堆3个，要把积木一块一块的全部放到某个盒子里，每次只能取出其中一堆最上面的一块，则不同的取法有 10 种（用数字作答）．

【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，假设左边的积木从上至下依次为1、2、3，右边的积木从上至下依次为4、5，分析可得必须先取1或4，据此分2种情况讨论，分别列举2种情况下的取法数目，由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，假设左边的积木从上至下依次为1、2、3，右边的积木从上至下依次为4、5， 分2种情况讨论：
若先取1，有12345、12453、12435、14235、14253、14523，共6种取法； 若先取4，有45123、41523、41253、41235，共4种取法； 则一共有6+4=10中不同的取法； 故答案为：10．

11．定义Hn=为数列{an}的均值，已知数列{bn}的均值，记数列{bn﹣kn}的前n项和是Sn，若Sn≤S3对于任意的正整数n恒成立，则实数k的取值范围是 [，【考点】数列的求和．
【分析】由题意，b1+2b2+…+2n﹣1bn=n•2n+1，b1+2b2+…+2n﹣2bn﹣1=（n﹣1）•2n，从而求出bn=2（n+1），可得数列{bn﹣kn}为等差数列，从而将Sn≤S5对任意的n（n∈N*）恒成立化为b5≥0，b6≤0；从而求解．
] ．

【解答】解：由题意， Hn==2n+1，
则b1+2b2+…+2n﹣1bn=n•2n+1， b1+2b2+…+2n﹣2bn﹣1=（n﹣1）•2n， 则2n﹣1bn=n•2n+1﹣（n﹣1）•2n =（n+1）•2n， 则bn=2（n+1）， 对b1也成立， 故bn=2（n+1），
则bn﹣kn=（2﹣k）n+2， 则数列{bn﹣kn}为等差数列，
故Sn≤S5对任意的n（n∈N*）恒成立可化为： b5≥0，b6≤0； 即解得，≤k≤故答案为：[，

12．已知函数f（x）=|x﹣a|+m|x+a|（0＜m＜1，m，a∈R），若对于任意的实数x不等式f（x）≥2恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤﹣5或a≥5}，则所有满足条件的m的组成的集合是 {} ． 【考点】绝对值三角不等式．
【分析】根据绝对值的性质得到2m|a|≥2，解出a，得到关于m的方程，解出即可．
f=|x﹣a|+m|x+a|=m【解答】解：（x）（|x﹣a|+|x+a|）+（1﹣m）|x﹣a|≥2m|a|+（1﹣m）|x﹣a|≥2m|a|≥2， 解得：a≤﹣或a≥，
∵数a的取值范围是{a|a≤﹣5或a≥5}，
， ， ]．

故=5，解得：m=， ∴实数m的集合是{}． 故答案为{}．

二、选择题（本大题满分20分，每题5分）
13．已知两点O（0，0），Q（a，b），点P1是线段OQ的中点，点P2是线段QP1的中点，P3是线段P1P2的中点，┅，Pn+2是线段PnPn+1的中点，则点Pn的极限位置应是（ ） A．（，） B．（） C．（） D．（）
【考点】中点坐标公式；极限及其运算．
【分析】由中点坐标公式求得部分中点的坐标，再寻求规律，求极限得之． 【解答】解：∵点Pn的位置应是（∴点Pn的极限位置应是（故答案选C．

14．已知函数f（x）=sin（ωx﹣若|α﹣β|的最小值为A．[﹣）+（ω＞0），且f（a）=﹣，f（β）=，）．

，则函数的单调递增区间为（ ）
+3kπ，π+3kπ]，k∈Z
+3kπ]，k∈Z
+2kπ，π+2kπ]，k∈Z B．[﹣C．[π+2kπ， +2kπ]，k∈Z D．[π+3kπ，【考点】正弦函数的图象．
【分析】根据f（a）=﹣，f（β）=求出α、β的值，再根据|α﹣β|的最小值求出ω的值，
写出f（x）的解析式，从而求出f（x）的单调增区间． 【解答】解：函数f（x）=sin（ωx﹣=，
）+（ω＞0），且f（a）=﹣，f（β）
∴f（α）=sin（ωα﹣解得：α=f（β）=sin（ωβ﹣解得：β=）+=﹣，可得ωα﹣，k1∈Z；
）+=，可得ωβ﹣=2k1π﹣，k1∈Z，
=k2π，k2∈Z，
，k2∈Z；
，
|=|2k1﹣k2﹣|≥，k1∈Z，k2∈Z，
∵|α﹣β|的最小值为∴|α﹣β|=|可解得：ω≤|2k1﹣k2﹣|，k1∈Z，k2∈Z， 取k1=1．k2=2，可得ω=； ∴f（x）=sin（x﹣由2kπ﹣解得3kπ﹣≤x﹣）+， ≤2kπ+，k∈Z，
≤x≤3kπ+π，k∈Z；
，3kπ+π]，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间为：[3kπ﹣故选：B．

15．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ B．若m⊊α，n⊊β，m∥n，则α∥β
C．若m，n是异面直线，m⊊α，m∥β，n⊊β，n∥α，则α∥β D．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】在A中，α与γ相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面平行的判定定理得α∥β；在D中，α与β相交或平行．

【解答】解：由m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，知： 在A中，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ相交或平行，故A错误； 在B中，若m⊊α，n⊊β，m∥n，则α与β相交或平行，故B错误；
在C中，若m，n是异面直线，m⊊α，m∥β，n⊊β，n∥α，则由面面平行的判定定理得α∥β，故C正确；
在D中，平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故D错误． 故选：C．

16．若点P是△ABC的外心，且A． B．﹣ C．﹣1 D．1
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【分析】如图所示，利用点P是△ABC的外心，∠C=120°，可得||=||=||=R，∠APB=120°．由于+）2=λ22++λ =，∠C=120°，则实数λ的值为（
）++λ=，可得+=﹣λ．两边做数量积可得（，展开相比较即可得出λ．
【解答】解：如图所示，

∵∴∴（++++λ=﹣λ=， ．，
2）2=λ2，展开为2+2+2||||=||cos∠APB=λ2||=||2．
∵点P是△ABC的外心，∠C=120°，∴|∴2R2﹣R2=λ2R2，化为λ2=1． ∵++λ=，∴λ=﹣1．
|=R，∠APB=120°．
故选：C．

三、解答题（本大题满分76分）

17．如图所示为一名曰“堑堵”的几何体，已知AE⊥底面BCFE，DF∥AE，DF=AE=1，CE=，四边形ABCD是正方形．
（1）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，判断四面体EABC是否为鳖臑，若是，写出其每一个面的直角，并证明；若不是，请说明理由．
（2）求四面体EABC的体积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．
【分析】（1）推导出AE⊥EC，AE⊥EB，AE⊥BC，从而BC⊥AB，再上BC⊥面ABE，知BC⊥BE，从而得到四面体EABC是鳖臑．
（2）AE是三棱锥A﹣BCE的高，求出正方形ABCD的边长，由此能求出四面体EABC的体积．
【解答】解：（1）∵AE⊥底面BCFE，EC，EB，BC都在底面BCFE上， ∴AE⊥EC，AE⊥EB，AE⊥BC，
∵四边形ABCD是正方形有，∴BC⊥AB， ∴BC⊥面ABE，又BE⊂面ABE，∴BC⊥BE， ∴四面体EABC是鳖臑．
（2）由（1）得AE是三棱锥A﹣BCE的高， 设正方形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，BE=在Rt△BEC中，EC2=BE2+BC2， 即（∴∴四面体EABC的体积）2=x2+x2﹣1，解得x=2，
，
=．
=，EC=，




18．一栋高楼上安放了一块高约10米的LED广告屏，一测量爱好者在与高楼底部同一水平线上的C处测得广告屏顶端A处的仰角为31.80°．再向大楼前进20米到D处，测得广告屏顶端A处的仰角为37.38°（人的高度忽略不计）． （1）求大楼的高度（从地面到广告屏顶端）（精确到1米）；
（2）若大楼的前方是一片公园空地，空地上可以安放一些长椅，为使坐在其中一个长椅上观看广告屏最清晰（长椅的高度忽略不计），长椅需安置在距大楼底部E处多远？已知视角∠AMB（M为观测者的位置，B为广告屏底部）越大，观看得越清晰．
【考点】解三角形的实际应用． 【分析】（1）由正弦定理可得AD=（2）tanα=tan（∠AME﹣∠BME）=论．
【解答】解：（1）由题意，∠ACD=31.80°，∠ADE=37.78°， ∠CAD=5.98°，CD=20， 由正弦定理可得AD=∴AE=ADsin∠ADE≈62m； （2）设∠AMB=α，tan∠AME=，tan∠AME=，
=≤
≈101.2，即可求大楼的高度；
=≤，即可得出结≈101.2，
，EM=x，x＞0，
tanα=tan（∠AME﹣∠BME）=当且仅当x=≈57m时，tanα取得最大值，此时α也最大．




19．已知双曲线C经过点（2，3），它的渐近线方程为y=±x，椭圆C1与双曲线C有相同的焦点，椭圆C1的短轴长与双曲线C的实轴长相等． （1）求双曲线C和椭圆C1的方程；
B两点，（2）经过椭圆C1左焦点F的直线l与椭圆C1交于A、是否存在定点D，使得无论AB怎样运动，都有∠ADF=∠BDF；若存在，求出D点坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．
【分析】（1）双曲线C和椭圆C1的方程为：3x2﹣y2=λ，则λ=3×22﹣32=3． 设椭圆C1的方程；
椭圆C1的短轴长与双曲线C的实轴长相等，椭圆C1与双曲线C有相同的焦点（±2，0） 即即可得b、c、a
（2）直线l垂直x轴时，A、B两点关于x轴对称，要使∠ADF=∠BDF，则点D必在x轴上，
设D（a，0），直线l不垂直x轴时，l的方程设为：y=k（x+2）， 设A（x1，y1），B（x2，y2），联立 得（1+5k2）x2+20k2x+20k2﹣5=0．要使∠ADF=∠BDF，即直线AD、BD的斜率互为相反数，即，求得a
【解答】解：（1）双曲线C和椭圆C1的方程为：3x2﹣y2=λ，则λ=3×22﹣32=3．
∴双曲线C的方程为．
设椭圆C1的方程；
椭圆C1的短轴长与双曲线C的实轴长相等，
∴椭圆C1的短轴长为2b=2，椭圆C1与双曲线C有相同的焦点（±2，0）， 即c=2，∴a=，椭圆C1的方程为：；
（2）直线l垂直x轴时，A、B两点关于x轴对称，
∵F（﹣2，0），∴要使∠ADF=∠BDF，则点D必在x轴上， 设D（a，0），直线l不垂直x轴时，l的方程设为：y=k（x+2）， 设A（x1，y1），B（x2，y2），联立 得（1+5k2）x2+20k2x+20k2﹣5=0．∴．
∵∠ADF=∠BDF，∴直线AD、BD的斜率互为相反数， 即k=0时恒成立． k≠0时，a=；
，
∴存在定点D（﹣，0），使得无论AB怎样运动，都有∠ADF=∠BDF．

20．已知函数F（x）=ex满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数． （1）求函数h（x）的反函数；
（2）已知φ（x）=g（x﹣1），若函数φ（x）在[﹣1，3]上满足φ（2a+1＞φ（﹣），求实数a的取值范围；
（3）若对于任意x∈（0，2]不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，求实数a的
取值范围．
【考点】反函数；指数函数的图象与性质．
【分析】（1）由题意可得：ex=g（x）+h（x），e﹣x=g（﹣x）+h（﹣x）=g（x）﹣h（x），联立解得：g（x），h（x）．由y=ex＞0，解得ex=y+．可得h﹣1（x）．
，化为：（ex）2﹣2yex﹣1=0，（2）φ（x）=g（x﹣1），函数φ（x）在[﹣1，3]上满足φ（2a+1＞φ（﹣），转化为：函数g（x）在[﹣2，2]上满足：g（2a）＞g（﹣﹣1），由于函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，且函数g（x）为偶函数，可得|2a|＞|﹣﹣1|，﹣2≤2a≤2，﹣2≤﹣﹣1≤2，解得a范围． （3）不等式g（2x）﹣ah（x）≥0，即﹣x﹣≥0，令t=ex﹣e，由x∈（0，2]，可得t∈（0，e2﹣e﹣2]，不等式转化为：t2+2﹣at≥0，a≤t+，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：（1）由题意可得：ex=g（x）+h（x），e﹣x=g（﹣x）+h（﹣x）=g（x）﹣h（x），
联立解得：g（x）=由y=，h（x）=．
．
，化为：（ex）2﹣2yex﹣1=0，ex＞0，解得ex=y+（x∈R）．
∴h﹣1（x）=ln（2）φ（x）=g（x﹣1），函数φ（x）在[﹣1，3]上满足φ（2a+1＞φ（﹣）， 转化为：函数g（x）在[﹣2，2]上满足：g（2a）＞g（﹣﹣1）， 由于函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，且函数g（x）为偶函数， ∴|2a|＞|﹣﹣1|，﹣2≤2a≤2，﹣2≤﹣﹣1≤2，解得a∈．
（3）不等式g（2x）﹣ah（x）≥0，即﹣≥0，
∪令t=ex﹣e﹣x，由x∈（0，2]，可得t∈（0，e2﹣e﹣2]，

不等式转化为：t2+2﹣at≥0，∴a≤t+，∵t+≥2∴a≤2

．
，当且仅当t=
时取等号．21．若存在常数k（k∈N*，k≥2）、d、t（d，t∈R），使得无穷数列{an}满足an+1=，则称数列{an}为“段差比数列”，其中常数k、d、t分别叫做段长、段差、段比，设数列{bn}为“段差比数列”．
（1）已知{bn}的首项、段长、段差、段比分别为1、2、d、t，若{bn}是等比数列，求d、t的值；
（2）已知{bn}的首项、段长、段差、段比分别为1、3、3、1，其前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在首项为b，段差为d（d≠0）的“段差比数列”{bn}，对任意正整数n都有bn+6=bn．若存在，写出所有满足条件的{bn}的段长k和段比t组成的有序数组（k，t）；若不存在，说明理由． 【考点】数列的应用．
【分析】（1）{bn}的前4项依次为1，1+d，t（1+d），t（1+d）+d，先求出t，再代入验证，可得结论；
（2）由{bn}的首项、段长、段比、段差，⇒b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，⇒{b3n﹣1}是等差数列，又b3n﹣2+b3n﹣1+b3n= （b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，即可求S3n，从而求实数λ的取值范围；（3）k取2，3，4时存在，有序数组可以是（2，（6，）．
），（3，），（3，﹣1），【解答】解：（1）{bn}的前4项依次为1，1+d，t（1+d），t（1+d）+d， 由前三项成等比数列得（1+d）2=t（1+d）， ∵1+≠0，∴t=1+d，
那么第2，3，4项依次为t，t2，t2+t﹣1，∴t4=t（t2+t﹣1），∴t=±1． t=1时，d=0，bn=1，满足题意；

t=﹣1时，d=﹣2，bn=（﹣1）n﹣1，满足题意；
（2）∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，
∴b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，∴{b3n﹣1}是以b2=4为首项、6为公差的等差数列，
又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，
∴S3n=（b1+b2+b3）+（b4+b5+b6）+…+（b3n﹣2+b3n﹣1+b3n）=3（b2+b5+…+b3n﹣1）=3[4n+∵]=9n2+3n，… ，∴，
设cn=，则λ≥（cn）max，
又cn+1﹣cn=，
当n=1时，3n2﹣2n﹣2＜0，c1＜c2；当n≥2时，3n2﹣2n﹣2＞0，cn+1＜cn， ∴c1＜c2＞c3＞…，∴（cn）max=c2=14，… ∴λ≥14，得λ∈[14，+∞）．…
（3）k取2，3，4时存在，有序数组可以是（2，（6，

）．
），（3，），（3，﹣1），

2017年3月15日



本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e1311c94814d2b160b4e767f5acfa1c7aa0082b4.html

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