文档文库
手机版
投诉建议
热门搜索： 心得体会 演讲稿 思想汇报
首页 > 解答数学竞赛题的几种常见方法

解答数学竞赛题的几种常见方法

发布时间：2011-12-24   来源：文档文库   
小 中 大
字号：
手机查看
解答数学竞赛题的几种常见方法
黎仕鹏


一、循常规思路出奇制胜
abc例1：若abc1，则=？
aba1bcb1cac1分析：分式的加减运算的基本方法是通分，找出公分母．循这种常规思路，结合对称式的特点和条件，可以把第二、三个分式的分母变成与第一个分式的分母一样，把第二个分式的分子分母同乘以a，第三个分式的分子分母同乘以ab，即可见答案为1．
同类题型练习：已知ab1，m的大小关系. 略解:∵mn11ab， n， 试讨论m、n1a1b1a1b1a1b22ab0， ∴mn. 1a1b(1a(1b例2：已知等腰三角形ABC中，ABAC2，在底边BC上有100个点Pi（i1，2、3…100），连结APi，记miAPiBPiCPi，则m1m2m100

2对于等腰三角形，底边上的高是常见的辅助线，带故作高AD，则AP iADDPi，2222，BPCP(BDDP(CDDPmADCDAC4，可见CDDPiiiiii2222答案为400．
例3：如图，点B、C是线段AD的三等分点，点P是以BC为直径的圆O上一点，则tanAPBtanDPC的值是

分析：在直角三角形中才能求出角的正切值，基于这样的思路，可考虑构筑直角三角形．过点B作PB的垂线交PA于E,则tanAPBP A B C D BE，过点C作PC的PBCFBECF1． 垂线交PD于F,则tanDPC，于是tanAPBtanDPCPCPCPB4
例4：如图，延长圆O的弦AB和直径DE交于圆外一A 点C，若BCOA，则AOD∶C= B 在圆中，半径是最常用是元素，连结OB就可以搭起AOD到C的桥梁，利用三角形的外角性质，容易得出D E O 结果为3∶1．

字母代表数是最简单和最有用的数学方法，要在解题练习过程中领会其要领．
例5：甲、乙两人到商场购买商品，已知两人购买商品的件数相同，每件商品的单价只
1 C
有8元和9元两种，若两人购买商品一共用了172元求其中单价为9元的商品有几件？
解：设每人都购买了n件商品，其中单价为8元的有x件，单价为9元的有y件，则 xy2nx18n17218n1720解得 ∵∴ x0,y08x9y172y17216n17216n0解得 953n10 从而得y172161012， 故单价为9元的有12件. 94例6：一列客车始终作匀速运动, 它通过长为450米的桥时, 从车头上桥到车尾下桥共用33秒; 它穿过长760米隧道时, 整个车身都在隧道里的时间为22秒. 在客车的对面开来一列长度为a米, 速度为每秒v米的货车, 两车交错, 从车头相遇到车尾相离共用t秒. (1 写出用a、v表示t的函数解析式;(2 若货车的速度不低于每秒12米, 且不到15米, 其长度为324米, 求两车交错所用时间的取值范围.
解：（1）设客车的速度为每秒x米，客车的长度为y米，则
450y33xx22a276 解得 所以，t（v＞0，a＞0）
v22760y22xy276600
v22600600300又因为34≤v+22 ≤37 所以，＜≤
v221737600600300故t的取值范围为＜≤．
v221737（2）当a324，12≤v≤15时，由（1）得t此题有多个未知数,引入多个字母表示,其数量关系就容易显示出来． 例7：设x1, x2是关于x的一元二次方程xaxa2的两个实数根， 求（x12x2(x22x1的最大值. 分析：求最大（小）值，按现在我们掌握的方法是根据二次函数式求解，因此，解题的思路是把式子向二次函数形式方向变形．
解：由a4(a2(a24＞0知，a为任意实数，x1x2a，
222x1x2a2， （x12x2(x22x12x12x25x1x22(x1x229x1x2
964963当a时，. （x12x2(x22x1取最大值2a29(a22a，4848222二、在等式变形中，特别注意a2b2，ab和ab三者之间的关系：
aba2b2(ab22ab，a2b2(ab22ab，12(ab2(a2b2
4
2
例1：设m是不小于－1的实数，使得关于x的方程x22(m2xm23m30 有两个不相等的实数根x1、x2. （1）若x1x222mx1mx2（2）求的最大值 6, 求m的值；1x11x222解：4(m224(m23m34(m1＞0， 解得m＜1，又－1≤m＜1， (1x1x2(x1x222x1x22m10m10＝6， 解得m2222517517, 由－1≤m＜1，所以m, 222mx1mx2mx1(1x2x2(1x1mx1x2x1x2(x1x2(2 (1x1(1x2x1x2(x1x211x11x2m(2m210m10(m23m3(2m4 ＝
2(m3m3(2m412m(m1(m23m135 2(m23m1＝2m,
m(m12222222mx1mx2因为－1≤m＜1，所以当m1时，有最大值，最大值为10. 1x11x2三、xx11的神奇功效
1、已知xx1225，则x2x2？
422、已知xx10，求x1的值. 4x11x211,∴x1，两边平方得x447. 由xx10得，xxx2xx27，求43、若2的值. xx1xx2118x2x11， 即x， 解法一（倒数法）：由条件知x0，
x7x749x2x4x2111152, ＝. x1x1422215xx1x49xx
3 2
1149x2解法二：4. xx21x211151549x24、已知11a1，求代数式a值. aa221111解：由1a＞0,知a,,a 全是正数, 所以aa45

aaaa故

1a5. a四、巧妙利用数学概念会出现意想不到的效果
例1：满足a-bab1的非负整数对(a,b的个数有____对. 解：∵ab1ab0，ab1，而a、b都为非负整数，故a、b取值为0和1，经检验知，(0，1(1，0，（1，1）共3对满足条件. 绝对值是最简单的数学概念，一个数的绝对值是非负数，利用这一概念得到ab1是答题的突破口．
例2：若p,q为质数，且5p7q29，求p2q2的值. 解：若p,q都为奇质数，则5p7q是偶数，若p,q都为偶质数2，则5p7q≠29，所以p,q中必有一个为偶质数2，另一个为奇质数，若p2，则q不是整数，故只有q2，22此时p3，pq＝13. 2222例3：实数a,b,x,y满足abxy2,axby5, 求abxyabxy的值
解：abxy2, (ab(xyaxbyaybx4
axby5, aybx1，a2b2xyabx2y2(aybx(axby5
条件abxy2是三个等式，这里巧妙地用其两个等量得出(ab(xy4，从而使题目的条件进一步扩大，
例4、已知实数ab, 且满足a133a1,3b13b1,
22则bba值为( (A 23 (B -23 (C -2 (D –13 aab22 解：a,b是关于x的方程(x13(x130，即x5x10，

4
ab5,ab1，故a,b均为负数，
babaa2b2abab baabababab(ab22abab23．
22例5、设实数s、t分别满足19s99s10, t99t190，并且st1,
求st4s1的值. t1112解：第一个等式可化为 99190, 又t99t190，t,
sss2∴12和t是一元二次方程x99x190的两个不相同的实数根，于是有， s11st4s199s4st99，t19即st199s, t19s,∴5 sst19s
五、消元法是竞赛题常用的方法
例1、放有小球的1993个盒子从左到右排成一行，如果最左面的盒子有7个小球，且每四个相邻的盒子里共有30个小球，求最右面的盒子里有多少个小球？
解：设从左到右小盒里的球数为7，a2，a3，a4，… a1993 ∵7a2a3a430，a2a3a4a530，∴a57 同理得a9a13a17…＝a4k1＝…＝a1993＝7 x1x2x3xxx234例2：实数x1，x2，x3，x4，x5满足方程组x3x4x5xxx514x5x1x2a1a2a3其中a1，a2，a3，a4a5 a4，a5是实常数，且a1a2a3a4a5，试确定x1，x2，x3，x4，x5的大小顺序．思路：对于方程组怎样消元，可根据题目条件的特点找出方向．
解：在给定的方程组中的方程按顺序两两相减得
x1x4a1a2，x2x5a2a5，x3x1a3a4，x4x2a4a5
∵a1a2a3a4a5， ∴ x1x4，x2x5，x3x1，x4x2， ∴x3x1x4x2x5

5

消元法在很多方面有重要的作用
2、某次竞赛共有15个题，下表是对于做对n(n0，1，215）个题的人数的统计: n
做对n个题的人数
0，1， 2， 3……12，13，14，15 7，8，10，21……15， 6， 3， 1 若又知其中做对4个题和4个题以上的学生每个人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题，问这个表至少统计了多少人. 解：由表中可知，做对0个题到3个题的总人数为7＋8＋10＋21＝46人；做对题目总数为7×0＋8×1＋2×10＋3×21＝91题；做对12个题到15个题的总人数为15＋6＋3＋1＝25人；做对题目总数为15×12＋6×13＋3×14＋1×15＝315题；
设做对0个题到15个题的人数分别为x0,x1,x2,,x15，则有
4x45x515x150xx12x210x106， 04
x4x5x15x0x1x10即 4x45x515x156(x4x5x15
0x0x110x104(x0x1x10 两式相减得 (11x1112x1215x15(x12x23x3＝ 6(x4x5x154(x0x1x10
＝6(x11x12x154(x0x1x2x32(x4x5x10
＝4(x11x154(x0x1x2x32(x4x15 ＝4(x11x156(x0x1x2x32(x1x15 ＝4x114(x12x156(x0x1x2x32(x1x15
＝4x114256462(x1x15 又0x0x12x23x391， 12x1213x1314x1415x15315，故 11x11315914x1110027621xi，15
151xi2003.5x11（x11＞0）， 当x110时，统计的总人数为最少，最少200人．

6


六、数形结合是解决函数问题的有力武器
例1：若abc≠0，且abbccap, 则直线ypxp一定通过（ ） cab（A）第一，二象限 （B）第二，三象限 （C）第三，四象限 （D）第一，四象限 解：由abpc,bcpa,capb, 三式相加得2(abcp(abc，所以p2, 或abc0；当p2时，直线y2x2通过第一，二，三象限；当abc0时，p1, 直线yx1通过第二，三，四象限；可见，直线一定通过二，三象限. 例2：一个一次函数的图象与直线y595x平行，与x轴、y轴的交点分别为A,B，44（1，25）并且过点，则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有多少个？
595（1，25）xb, 因为直线过点，所以b, 可求44955(x19得A（19，0）B（0，），由y知，x19能被4整除. 又因为x是整数，44且0≤x≤19，所以取x＝3，7，11，15，19时，y是整数．因此在线段AB上（包括端点解：设这个一次函数为yA、B），横、纵坐标都是整数的点有5个. 例3：若函数ykx（k＞0）与函数yB，则ΔABC的面积为（ ）

2 (A 1 (B 2 (C k (D k
1的图象相交于A、C两点，AB垂直x轴于x解：设A(x,y，则xy1，ABO的面积为故ABC=2ABO=1．

211BO与ABO同底等高，xy，又C22例4：一条抛物线yaxbxc的顶点为(4,-11, 且与X轴的两个交点的横坐标为一正一负, 则a,b,c中为正数的(

(A 只有a (B 只有b (C 只有c (D 只有a和b 解：由于抛物线顶点为(4,-11, 与X轴有两个交点，知a＞0， 设抛物线与X轴的两个交点坐标为x1，x2，则x1x2
7 c＜0，所以c＜0，
a
b＞0，知b＜0，可见只有a＞0. 2a七、等底等高的两个三角形面积相等是竞赛题的热点 例1：E是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，若BEG的面积为1，则平行四边形ABCD的面积是 D

EGEB1EG1，∴，
略解：由条件得GAAD2EA3又由对称轴x4，得A E C S1∴BEG，∴SABE3，∴．平行四边形ABCD的面积SABE3S4SABE12
例2：如图，四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，B F D C DFCE1，2，若ADF的面积为m，四边形AECF的面FCEB积为n(nm,则四边形ABCD面积是

略解：连AC，则SAFCSADFm， SACEnm，
A E B 11SACE(nm， 22131四边形ABCD面积是mn(nmnm
222例3：设H是等腰三角形ABC的重心，在底边BC不变的情况下，让顶点A至底边BCSAEB的距离变小，这时乘积SABCSHBC的值变小？变大？还是不变？
略解：不妨设A是锐角，连结AH并延长交BC于点D，延长BH、CH，分别交AC，AB于点E、F， ∵BHDAHE，∴HBDHAE， ∴RtBDHRtADC，∴A ADDC， BDHDF 112又BDDCBC，∴ADHDBDDCBC，
24111BC4， 于是SABCSHBCADBCHDBC2216∴当A90时，上式也成立，故A是不变．

H E B C AD1，若在边ACAB33CE11上取一点E，使四边形DECB的面积为，则的值为（ ） (A (B

423EA11(C (D
45例4：（03联赛）设ΔABC的面积为1，D是边AB上一点，且
8
解：连结BE，SADE1SABE1x，SADE31CE，设x，则44AC1x11CE1，x，，344EA3A H C 选B． B D 例5： (99竞赛在ΔABC中, D是边BC上的一点, 已知AC5,AD6,BD10, CD5, 求ΔABC的面积。

解：过D作CH⊥AD于H.因为ΔACD是等腰三角形, 所以, 在RtΔCHD中, CD＝5, DH＝3, 则CH＝4, 有SACD12SABD2SACD24,故SABCSABDSACD36 例6： (99联赛ΔABC的周长是24, M是AB的中点, MC＝MA＝5, 则ΔABC的面积是( (A12 (B16 (C24
(D30 0解:由MCMAMB5知ABC90，又由ΔABC的周长是24,且斜边AB10, 222故BC＋CA＝14, 且BCCA10, 所以
2BCCA(BCCA2(BCCA214210224，故SABC24
例7： (98竞赛在ΔABC中 已知BD和CE分别是 AC、 AB上的中线 并且BD⊥CE ，BD = 4 ,CE =6,
求ΔABC的面积。
A 1BDCE12, 244由DE是中位线，有, SABCS四边形BCDE1216
33解: 连DE, 则S四边形BCDE
例8：（02竞赛）点E、F分别是矩形ABCD的边AB与BC的中点，连AF、CE，交于点G，则四边形AGCD与矩形ABCD的面积比等于（ ）
E D B D C C F B 5432 （A） （B） （C） （D）
6543SAGC1SABC
3解：连结AC，则G是ΔABC的重心，所以
A E 从而 S四边形AGCD11SABC34G S四边形AGCD3SABC24 SABC， 所以
S矩形ABCD2SABC33例9：（04竞赛）在ΔABC中, DE∥AB∥FG, 且FG到DE、AB的距离之比为1: 2.
若ΔABC的面积为32, ΔCDE的面积为2, 则ΔCFG的面积等于( (A 6 (B 8 (C 10
(D 12 答：选（B）
解：∵CDCASCDEFD1FD121，所以 ， ， 又由题设知FA2AD3SCAB3249

S1131FDADACAC，故FDDC，于是 CSC3344DF1E1，
4G22SCFG8．
八、几何图形千变不离其宗
例1：在梯形ABCD在中，AD∥BC，∠B＝30， ∠C＝60，点E、M、F、N分别是AB、BC、CD、 DA的中点，已知BC＝7，MN = 3，求EF. 000D E C M A F N B 解：延长CD和BA，交于G，则∠BGC＝90，连GM，则点G、M、N三点成一直线，GN＝3.5，故GM＝0.5，从而AD＝1，EF＝4。

10

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/1495503e87c24028915fc310.html

《解答数学竞赛题的几种常见方法.doc》
将本文的Word文档下载到电脑，方便收藏和打印
推荐度：
点击下载文档

文档为doc格式
相
关
案
例

相关推荐

推荐内容

八年级下册物理牛顿第一定律(说课稿) 初中数学课堂教学的两个策略 如何让课堂出彩 数学应用题教学策略 2020春下册8物理人教版 第8章 运动和力【教案一】第1节牛顿第一定律 2020教科版八年级物理下册 1.牛顿第一定律 惯性 最新人教版物理八年级下册教学设计第八章第一节《牛顿第一定律》教学设计-物理大师.doc 课堂练习有效性的研究反思 运动会加油稿精选句子 数学课堂教学中数学建模思想的培养
网站内容来自网络，如有侵权请联系我们，立即删除！ Copyright © 范文写作网京ICP备16605803号