《微积分》课程教学大纲学 时 数：126 学 分 数：7
适用专业：经济类本科 执 笔：吴赣昌
编写日期：2006年6月
课程的性质、目的和任务
本课程是高等学校经济类本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量建设人才服务的。
通过本课程的学习，要使学生获得一元函数微积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后续课程的学习奠定必要的数学基础。
在课程的教学过程中，要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力、综合解题能力、数学建模与实践能力以及自学能力。
课程教学的主要内容与基本要求
一、函数、极限与连续
主要内容： 函数的概念及其表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；反函数、复合函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形特征，初等函数，简单应用问题的函数关系的建立；常用经济函数；数列极限与函数极限的定义和性质，函数的左、右极限，无穷小与无穷大；无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则和两个重要极限； 连续函数的概念，函数间断点的分类；初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(最大值最小值定理和介值定理。
基本要求：
1、理解函数的概念，掌握函数的表示法； 2、了解函数的有界性、单调性、周期性与奇偶性；
3、理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念； 4、掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念； 5、会建立简单应用问题的函数关系，熟悉几种常用经济函数； 6、了解数列极限和函数极限（包括左、右极限）的概念；
7、了解无穷小的概念和基本性质，掌握无穷小的阶的比较方法。了解无穷大的概念及其与无穷小的关系；
8、了解极限的性质与极限存在的两个准则，熟练掌握极限的四则运算法则，熟练掌握两个重要极限的应用；
9、理解函数连续性的概念（包括左、右连续）与函数间断的概念，掌握间断点的分类；
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值与最小值定理和介值定理）及其简单应用。
二、导数与微分
主要内容： 导数的概念，导数的几何意义和经济意义，函数的可导性与连续性之间的关系；平面曲线的切线和法线；基本初等函数的导数，导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的求导法则；高阶导数的概念，某些简单函数的n阶导数；隐函数及参数方程所确定的函数的导数；微分的概念，微分的四则运算，一阶微分形式的不变性，利用微分进行近似计算。一阶微分形式的不变性微分在近似计算中的应用
基本要求：
1、理解导数的概念，了解导数的几何意义与经济意义，理解函数的可导性与连续性之间的关系；
2、熟练掌握基本初等函数的导数公式； 3、熟练掌握导数的四则运算法则； 4、熟练掌握反函数求导法则； 5、熟练掌握复合函数求导法则；
6、掌握隐函数求导法则与对数求导法则；
7、了解高阶导数的概念，会求二阶、三阶导数及一些简单的n阶导数； 8、了解微分的概念，可导与可微，导数与微分的关系，以及一阶微分形式的不变性，熟练掌握求微分的方法。
三、中值定理与导数的应用
主要内容： 罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理；洛必达法则；泰勒中值定理；函数的单调性及其判别法，曲线的凹凸性及其判别法，函数图形的拐点及其求法；渐近线，函数图形的描绘；函数的极值及其求法，函数最大值和最小值的求法及简单应用；导数在经济学中的应用。
基本要求：
1、理解并会用罗尔定理，拉格朗日中值定理和泰勒中值定理； 2、了解并会用柯西中值定理；
3、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用；
4、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形；
5、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法；
6、熟悉边际分析和函数弹性的的概念，并能用其分析简单的经济问题。
四、不定积分
主要内容： 原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式；不定积分的换元积分法与分部积分法；有理函数、三角函数和简单无理函数的不定积分，以及可化为有理函数的积分。
基本要求：
1、理解原函数的概念、理解不定积分的概念； 2、熟练掌握不定积分的基本性质与基本积分公式；
3、熟练掌握计算不定积分的凑微分法、换元积分法和分部积分法； 4、会求有理函数的不定积分。
五、定积分
主要内容： 定积分的概念与定积分的近似计算；定积分的性质，定积分中值定理；积分上限的函数及其导数，牛顿一莱布尼茨公式；定积分的换元积分法与分部积分法；无穷限的广义积分，无界函数的广义积分；定积分的几何印：微元法，平面图形的面积，旋转体的体积，平行截面面积已知的离体的体积；积分在经济分析中的应用。
基本要求：
1、理解定积分的概念和性质；
2、熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法；
3、理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，熟悉牛顿—莱布尼茨公式；
4、会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积，会利用定积分求解一些简单的经济应用问题；
5、了解广义积分收敛与发散的概念，掌握计算广义积分的基本方法；
六、多元函数微分法及其应用
主要内容： 空间直角坐标系，空间两点间的距离，平面与曲面方程简介；多元函数的概念，二元函数的极限，二元函数的连续性，有界闭域上连续函数的性质；偏导数的概念与计算，高教偏导数；多元函数全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，*全微分在近似计算中的应用；多元函数的复合函数微分法，全微分形式不变性；多元函数的隐函数微分法；多元函数的极值及其求法，多元函数极值的必要条件，二元函数极值的充分条件，多元函数条件极值的概念及其求法（拉格朗日乘数法），多元函数的最大值、最小值及其简单应用；二重积分的概念与性质，直角坐标系下二重积分的计算，极坐标系下二重积分的计算。
基本要求：
1、了解空间坐标系的有关概念，会求两点之间的距离； 2、了解平面上点的邻域，区域以及其边界点，内点等的概念； 3、了解多元函数的概念，了解二元函数的表示法与几何意义； 4、了解二元函数的极限与连续的直观意义；
5、理解多元函数的偏导数与全微分的概念，熟练掌握求偏导数与全微分的方法，掌握求多元函数偏导数以及隐函数的偏导数的方法；
6、了解二元函数极值与条件极值的概念，掌握二元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值与最小值，会求解一些简单的应用题；
7、了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分在直角坐标系与极坐标系下的计算方法，会计算无界区域上的较简单的二重积分。
七、无穷级数
主要内容：
常数项级数收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，收敛级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数与p—级数；正项级数的比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法；交错级数的莱布尼茨定理，绝对收敛与条件收敛的概念；函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数的收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域，幂级数在其收敛区间内的基本性质；简单幂级数的和函数的求法，函数可展开为泰勒级数的充分必要条件，麦克劳林展开式，函数的幂级数展开式的应用。
基本要求：
1、了解级数的收敛、发散以及收敛级数的和等概念；
2、掌握几何级数，p- 级数的收敛与发散的条件，知道调和级数的敛散性； 3、掌握收敛级数的必要条件及收敛级数的基本性质；
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