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2008年高考数学试卷(福建.理)含详解

发布时间：2022-11-10 20:18:10   来源：文档文库   
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梦想不会辜负一个努力的人
绝密 ★ 启用前
数 学(理工农医类
第Ⅰ卷（选择题共60分）


一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1若复数(a2-3a+2+(a-1i是纯虚数，则实数a的值为 A.1




B.2



C.1或2


D.-1 (2设集合A={x|x＜0},B={x|0＜x＜3＝,那么“mA”是“mB”的 x1







B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件


A.充分而不必要条件 C.充要条件

(3设｛an｝是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为 A.63



B.64


C.127


D.128 (4函数f(x=x3+sinx+1(xR,若f(a=2,则f(-a的值为 A.3




B.0



C.-1

D.-2 (5某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为A.16
625
B. 96
625
4,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是
5192256 C. D.
625625(6如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为

A.6
3
B. 26
5
C. 15 5
D. 10
5(7某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为
A.14



B.24


C.28


D.48 all`试题
1
梦想不会辜负一个努力的人
(8若实数x、y满足 xy10,则A.(0,1



B.0,1

y的取值范围是
x

C.(1,+


D.1,
(9函数f(x=cosx(x(xR的图象按向量(m,0 平移后，得到函数y=-f′(x的图象，则m的值可以为
A.
(10在△ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2tanB=3ac,则角B的值为 A.

2

B.


C.－

D.－

2
6
B. 5 C.或

636
D. 2或33
x2y2(11又曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则ab双曲线离心率的取值范围为
A.(1,3



B.1,3



C.(3,+

D.3,

(12已知函数y=f(x,y=g(x的导函数的图象如下图，那么y=f(x,y=g(x的图象可能是


第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置. （13）若(x-25=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用数字作答 x=1+cos

(14若直线3x+4y+m=0与圆 y=-2+sin

（为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是
.
（15）若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . （16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈R，都有a+b、a-b， ab、 ∈P（除aball`试题
2
梦想不会辜负一个努力的人
数b≠0），则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集Fab2a,bQ也是数域.有下列命题： ①整数集是数域；



②若有理数集QM，则数集M必为数域；
③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号填填上） 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）
已知向量m=(sinA,cosA,n=(3,1，m·n＝1，且A为锐角. （Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数f(xcos2x4cosAsinx(xR的值域. （18）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为若不存在，请说明理由. （19）（本小题满分12分） 已知函数f(x32？若存在，求出AQ 的值；QD13xx22. 32 （Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(an,an12an1(n∈N*在函数y=f′(x的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x的图象上；
（Ⅱ）求函数f(x在区间（a-1,a）内的极值. （20）（本小题满分12分）
某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科 目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证 书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为
成绩合格的概率均为2，科目B每次考试
31.假设各次考试成绩合格与否均互不影响. 2 （Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的all`试题
3
梦想不会辜负一个努力的人
数学期望E. （21）（本小题满分12分）
x2y2 如图、椭圆221(aabb0的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.

222（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有OAOB求a的取值范围. （22）（本小题满分14分） 已知函数f(x=ln(1+x-x1 （Ⅰ）求f(x的单调区间；
（Ⅱ）记f(x在区间0,（n∈N*）上的最小值为bx令an=ln(1+n-bx. （Ⅲ）如果对一切n，不等式anAB,an2c恒成立，求实数c的取值范围； an22an11.
（Ⅳ）求证：


aaa2n1a1a1a313a2a2a4a2a4a2nall`试题
4
梦想不会辜负一个努力的人
2008年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数 学（理工类）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1若复数(a3a2(a1i是纯虚数，则实数a的值为 A.1

22 B.2 C.1或2
D.-1 解：由a3a20得a1或2,且a10得a1a2（纯虚数一定要使虚部不为0） (2设集合A{x|x0},B{x|0x3},那么“mA”是“mB”的 x1

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
A.充分而不必要条件 C.充要条件 解：由x0得0x1,可知“mA”是“mB”的充分而不必要条件 x1(3设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a11,a516,则数列{an}前7项的和为 A.63

B.64

C.127

D.128 127127 解：由a11,a516及｛an｝是公比为正数得公比q2，所以S712(4函数f(xxsinx1(xR,若f(a2，则f(a的值为 A.3


B.0

33 C.-1
D.-2 解：f(x1xsinx为奇函数，又f(a2f(a11 故f(a11即f(a0. (5某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为A.16
625
B. 96
625C. 192 6254,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是
5256 D.
62522496241 解：独立重复实验B(4,，P(k2C4 555625
(6如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 A.6
3
B. 26
5
D1A1B1C1DCBall`试题
A5
梦想不会辜负一个努力的人
C. 15
5
D. 10
5解：连A1C1与B1D1交与O点,再连BO,则OBC1为BC1与平面BB1D1D所成角. OC1 COSOBC1，OC12，BC15
BC1D1A1DABOB1C1210 COSOBC1
55C(7某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 A.14


B.24

C.28

D.48 4 解：6人中选4人的方案C615种，没有女生的方案只有一种，
所以满足要求的方案总数有14种 (8若实数x、y满足A.(0,1

xy10y 则的取值范围是
xx0
C.(1,+

D.1,
B.0,1
解：由已知yx1，

yx11y1，又x0，故的取值范围是(1, xxxx'(9函数f(xcosx(xR的图象按向量(m,0 平移后，得到函数yf(x的图象，
则m的值可以为 A.
2

B.


C.－

D.－

2解：yf(xsinx,而f(xcosx(xR的图象按向量(m,0 平移后 得到ycos(xm,所以cos(xmsinx，故m可以为. 2222(10在△ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c,若(a+c-btanB= 3ac,则角B的值为
A.
62
B. 5 C.或

636D. 2或33
(a2+c2-b23cosB3cosB= 解： 由(a+c-btanB= 3ac得即cosB=
2ac2sinB2sinB22sinB= 32,又在△中所以B为或 233all`试题
6
梦想不会辜负一个努力的人
x2y2(11双曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲ab线离心率的取值范围为A.(1,3
B.1,3

C.(3,+
D.3,
解：如图，设PF2m，F1PF2(0，当P在右顶点处，m2(2m24m2cos2ce54cos
2am∵1cos1，∴e1,3
另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a与c的关系。
(12 已知函数yf(x,yg(x的导函数的图象如下图，那么yf(x,yg(x图象可能是
解：从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同,可以排除B答案,再者导函数的函数值反映的是原函数增加的快慢,可明显看出yf(x的导函数是减函数,所以原函数应该增加的越来越慢，排除AC,最后就只有答案D了,可以验证y=g(x导函数是增函数，增加越来越快.

all`试题
7
梦想不会辜负一个努力的人
第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置. 55432（13）若(x2a5xa4xa3xa2xa1xa0,则a1a2a3a4a5 (用数字作答
解：令x1得a5a4a3a2a1a01，令x0得x0得a032 所以 a5a4a3a2a131
x1cos(14 若直线3x4ym0与圆 （为参数）没有公共点，
y2sin则实数m的取值范围是
解：圆心为(1,2，要没有公共点，根据圆心到直线的距离大于半径可得
d312(4m3422 （-，0）（10，+）r1，即m55，m（15）若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 解：依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径. 2r3333 ,S4r29
（16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈R，都有a+b、a-b， ab、 ∈P（除数b≠0），则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集Fab2a,bQ也是数域.有下列命题：
①整数集是数域；



②若有理数集QM，则数集M必为数域；
ab③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号填填上） 解：①对除法如1Z不满足，所以排除， 2②取Mab32a,bQ,对乘法323234M, ③④的正确性容易推得。
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）
已知向量m=(sinA,cosA,n=(3,1，m·n＝1，且A为锐角. （Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数f(xcos2x4cosAsinx(xR的值域. all`试题
8
梦想不会辜负一个努力的人
解：（Ⅰ） 由题意得mn13sinAcosA1, 2sin(A1,sin(A.
662 由A为锐角得 A66,A3
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知cosA1,
223.
213 因为x∈R，所以sinx1,1，因此，当sinx时，f(x有最大值. 22 所以f(xcos2x2sinx12sinx2sins2(sinx212 当sinx1时，f(x有最小值-3,所以所求函数f(x的值域是3， （18）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为3232？若存在，求出AQ 的值；若不存在，请说明理由. QD 解法一：
（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD, 又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD, PO平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD. （Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC, 有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC. 由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角， 所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角. 因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1, 所以OB＝2，
在Rt△POA中，因为AP＝2，AO＝1，所以OP＝1，
在Rt△PBO中，tan∠PBO＝PG122,PBOarctan. BC2222. 2所以异面直线PB与CD所成的角是arctanall`试题
9
梦想不会辜负一个努力的人
（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为 设QD＝x，则SDQC3. 21x，由（Ⅱ）得CD=OB=2，
2 在Rt△POC中， PCOC2OP22, 所以PC=CD=DP, SPCD33(22, 42由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时解法二：
(Ⅰ同解法一. AQ1. QD3OD、OP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系(Ⅱ以O为坐标原点，OC、O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0,B(1,-1,0,C(1,0,0,D(0,1,0,P(0,0,1, ＝（11，，0），PB＝（，11，1）. 所以CD所以异面直线PB与CD所成的角是arccos6，
33，
2 (Ⅲ假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为由(Ⅱ知CP(1,0,1,CD(1,1,0. 设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0. x0z00,nCP0,则所以即x0y0z0，
xy0,00nCD0,取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1. 设Q(0,y,0(1y1,CQ(1,y,0,由CQnn1y33,
，得223解y=-1513或y=(舍去，此时AQ,QD， 2222AQ1. QD3所以存在点Q满足题意，此时

all`试题
10
梦想不会辜负一个努力的人
（19）（本小题满分12分） 已知函数f(x13xx22. 32 （Ⅰ）设an是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a13.若点(an,an12an1(n∈N*在函数yf'(x的图象上，求证：点(n,S'n也在yf(x的图象上； （Ⅱ）求函数f(x在区间(a1,a内的极值. 解：(Ⅰ证明： 因为f(x13x3x22,所以f'(xx22x， 由点(a2(nN在函数yf'(x的图象上,a22n,an12an1n12an1an2an
(an1an(an1an2(anan1， 又an0(nN,
所以an1an2，an是a13,d2的等差数列 所以Sn3nn(n122=n22n,又因为f'(nn22n,所以Snf(n, 故点(n,S'n也在函数yf(x的图象上. (Ⅱ解:f(xx22xx(x2,令f(x0,得x0或x2. 当x变化时,f(x﹑f(x的变化情况如下表: x
(-∞,-2 -2 (-2,0 0 (0,+∞ f′(x + 0 - 0 + f(x
↗
极大值
↘
极小值
↗
注意到(a1a12,从而
①当a12a,即2a1时,f(x的极大值为f(223,此时f(x无极小值； ②当a10a,即0a1时,f(x的极小值为f(02,此时f(x无极大值； ③当a2或1a0或a1时,f(x既无极大值又无极小值.
（20）（本小题满分12分）
某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科 目B的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证 书。现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为23，科目B每次考试
成绩合格的概率均为12.假设各次考试成绩合格与否均互不影响. all`试题
11
梦想不会辜负一个努力的人
（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望E. 解：设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2
(Ⅰ不需要补考就获得证书的事件为A1B1,注意到A1与B1相互独立， 则P(A1B1P(A1P(B1211. 3231. 3答：该考生不需要补考就获得证书的概率为(Ⅱ由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得
P(2P(A1B1P(A1A2
2111114. 3233399P(3P(A1B1B2P(A1B1B2P(A1A2B2
2112111211114, 3223223326693P(4P(A1A2B2B2P(A1A2B1B2
12111211111, 33223322181894418故E234.
99938答：该考生参加考试次数的数学期望为. 3
（21）（本小题满分12分）
x2y2 如图、椭圆221(ab0的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点. ab
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有OAOBAB,求a的取值范围. 解：(Ⅰ设M，N为短轴的两个三等分点，
222all`试题
12
梦想不会辜负一个努力的人
因为△MNF为正三角形， 32b3 所以OF2MN,123,解得b＝3. a2b214,因此，椭圆方程为x2y2431. (Ⅱ 设A(x1,y1,B(x2,y2.
(ⅰ当直线 AB与x轴重合时，
OA2OB22a2,AB24a2(a21,
因此，恒有OA2OB2AB2. (ⅱ当直线AB不与x轴重合时，
设直线AB的方程为：xmy1,代入x2y2a2b21,
整理得(a2b2m2y22b2myb2a2b20,
2b2 所以ymb2a2b21y2a2b2m2,y1y2a2b2m2
因为恒有OA2OB2AB2，所以AOB恒为钝角. 即OAOB(x1,y1(x2,y2x1x2y1y20恒成立. x1x2y1y2(my11(my21y1y2(m21y1y2m(y1y21
(m21(b2a2b22b2m2 a2b2m2a2b2m21m2a2b2b2a2b2a2 a2b2m20. 又a2b2m20，所以m2a2b2b2a2b2a20对mR恒成立，即m2a2b2a2b2a2b2对mR恒成立,当mR时，m2a2b2最小值为0，
所以a2b2a2b20， a2b2(a21b4, 因为∵a0,b0,∴ab2a21，即a2a10, 解得a151512或a2(舍去，即a52, all`试题
13
梦想不会辜负一个努力的人
综合（i）(ii，a的取值范围为(152,. （22）（本小题满分14分）
已知函数f(xln(1xx


（Ⅰ）求f(x的单调区间；
（Ⅱ）记f(x在区间0,n（n∈N*）上的最小值为bn令anln(1nbn ①如果对一切n，不等式anan2ca恒成立，求实数c的取值范围； n2②求证： a1aa1a3a1a3a2n1a2an11. 2a2a4a24a2n 解：
（I）因为f(xln(1xx，所以函数定义域为(1,，且f'(x11x1x1x。由f'(x0得1x0，f(x的单调递增区间为(1,0； 由f'(x0<0得x0，f(x的单调递增区间为（0，+）. (II 因为f(x在[0,n]上是减函数，所以bnf(nln(1nn 则anln(1nbnln(1nln(1nnn. ①
an2(an2ann2(n2nn22n2n
> 2n2n2n21.
又limn2(n2nlim2x1, 112n2因此c1，即实数c的取值范围是(,1]. ② 由①
知12n12n12n1. 因为[135(2n1246(2n]2
all`试题
14
131(2n12235574262(2n(2n212n1＜12n1,
所以135(2n146(2n＜12n1＜2n12n1(nN*2, 则112324135(2n1246(2n＜
31532a12n12n11a1a1a3a1a3a2n1aaa＜2an11(nN*
2a2an24a2n
all`试题
梦想不会辜负一个努力的人

15 即


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/bb1ff73181eb6294dd88d0d233d4b14e85243ea1.html

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