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2005年高考理科数学试卷及答案(福建)

发布时间：2022-11-10 20:18:07   来源：文档文库   
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2005年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学（理工农医类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利！

第I卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数z1的共轭复数是
1i C．1i
D．1i D．64 D．3
2（ ）

A．11i
22B．11i
222．已知等差数列{an}中，a7a916,a41，则a12的值是

A．15 B．30 C．31 （ ）
3．在△ABC中，∠C=90°，AB(k,1,AC(2,3,则k的值是

A．5 B．－5 C．3
2（ ）
4．已知直线m、n与平面,，给出下列三个命题： ①若m//,n//,则m//n; ②若m//,n,则nm; ③若m,m//,则.

C．2
D．3 （ ）
其中真命题的个数是 A．0 B．1 5．函数f(xaxb的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是 （ ）



A．a1,b0 B．a1,b0 C．0a1,b0 D．0a1,b0

6．函数ysin(x(xR,0,02的部分图象如图，则

A．（ ）
265C．, D．,
4444,4 B．3,

7．已知p：|2x3|1,q:x(x30,则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，
AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中 点，则异面直线A1E与GF所成的角是（ ）

A．arccosC．arccos15
510 5
9．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ） A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
 4D．
2B．x2y210．已知F1、F2是双曲线221(a0,b0的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，ab若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是

A．423
2
D．31
（ ）
B．31
2C．31
211．设a,bR,a2b6,则ab的最小值是
（ ）

A．22 B．53
3C．－3 D．7
2

12．f(x是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(20在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A．2
B．3
C．4
D．5 （ ）


第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。 13．(2x6展开式中的常数项是 （用数字作答）。
1x2xy0,14．非负实数x,y满足则x3y的最大值为 。
xy30,1bb2bn1 . 15．若常数b满足|b|>1，则limnbn16．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：
若函数f(x3log2x的图象与g(x的图象关于 对称，则函数g(x= 。

（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）.

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知2x0,sinxcosx1. 5 （I）求sinx－cosx的值；
3sin2 （Ⅱ）求

xxxx2sincoscos22222的值. tanxcotx

18．（本小题满分12分）
甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与122，投中得1分，投不中得0分. 5（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率； 19．（本小题满分12分）
已知函数f(xax6的图象在点M（－1，f(x）处的切线方程为x+2y+5=0. 2xb（Ⅰ）求函数y=f(x的解析式； （Ⅱ）求函数y=f(x的单调区间.



20．（本小题满分12分）
如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. （Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小； （Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.


21．（本小题满分12分）
x2y2已知方向向量为v=(1,3的直线l过点（0，－23）和椭圆C：221(ab0的ab焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上. （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足OMON46，
3cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.




22．（本小题满分14分）
已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+1我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1an时，得到无穷数列：1,2,3511,,;当a时,得到有穷数列:,1,0. 23221(nN，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可bn1（Ⅰ）求当a为何值时a4=0； （Ⅱ）设数列{bn}满足b1=－1, bn+1=以得到一个有穷数列{an}； （Ⅲ）若

3an2(n4，求a的取值范围. 2

2005年高考理科数学试题参考答案（福建卷）

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分. 1.B 2.A 3.A 4.C 5.D 6.C 7.A 8.D 9.B 10.D 11.C 12.D 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.
13.240 14.9 15.1 b116.如 ①x轴，－3－log2x ②y轴，3+log2(－x
－ ③原点，－3－log2(x ④直线y=x, 2x3

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.满分12分. 解法一：（Ⅰ）由sinxcosx 即 2sinxcosx 又24.2511,平方得sin2x2sinxcosxcos2x, 52549(sinxcosx212sinxcosx.
252x0,sinx0,cosx0,sinxcosx0,
75 故 sinxcosx.
3sin2xxxxxsincoscos22sin2sinx1 22222sinxcosxtanxcosxcosxsinx （Ⅱ）
sinxcosx(2cosxsinx121108((2255125
 解法二：（Ⅰ）联立方程sinxcosx,
1522sincosx1.①②
12 由①得sinxcosx,将其代入②，整理得25cosx5cosx120,
5 cosx或cosx354.53sinx,5
x0,2cosx4.5 故 sinxcosx.
75

3sin2 （Ⅱ）xxxxxsincoscos22sin2sinx122222
sinxcosxtanxcotxcosxsinxsinxcosx(2cosxsinx
3443108 ((2555512518．本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力. 满分12分. 解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则 P(A1213,P(B,P(A,P(B. 2525ξ
P 0 1 2 甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，则ξ概率分布为：
3 101 21
5 Eξ=0×3119+1×+2×= 1025109. 10
答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为 （Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 P11339 2255100991. 10010091.
100 ∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率 P1P1答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为19．本小题主要考查函数的单调性，导数的应用等知识，考查运用数学
知识，分析问题和解决问题的能力.满分12分. 解：（1）由函数f(x的图象在点M（－1f(－1）处的 切线方程为x+2y+5=0，知
112f(150,即f(12,f(1.2

a(x2b2x(ax6f(x.(x2b2


解得a2,b3(b10,b1舍去.2x6所以所求的函数解析式是f(x2.x32x212x6(IIf(x.(x232令2x212x60,解得x1323,x2323,当x323,或x323时,f(x0;当323x323时,f(x0.2x6所以f(x2在(,323内是减函数;在(323,323内是增函数;x3在(323,内是减函数.
20．本小题主要考查直线、直线与平面、二面角及点到平面的距离等基础知识，考查空间想
象能力，逻辑思维能力与运算能力. 满分12分. 解法一：（Ⅰ）BF平面ACE. BFAE.

∵二面角D—AB—E为直二面角，且CBAB， CB平面ABE. CBAE. AE平面BCE.
（Ⅱ）连结BD交AC于C，连结FG，
∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG=2，
BF平面ACE，
由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC.
BGF是二面角B—AC—E的平面角. 由（Ⅰ）AE⊥平面BCE， 又AEEB，
∴在等腰直角三角形AEB中，BE=2. 又直角BCE中,EC
BC2BE26,

BFBCBE2223， EC3623BF6直角BFG中,sinBGF3.
BG32∴二面角B—AC—E等于arcsin6.
3
（Ⅲ）过点E作EOAB交AB于点O. OE=1. ∵二面角D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD. 设D到平面ACE的距离为h，VDACEVEACD, SACBh131SACDEO.
3

1ADDCEO2AE平面BCE，AEEC. h1AEEC2122123 2.13262∴点D到平面ACE的距离为23.
3解法二：（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直 线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行 于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系 O—xyz，如图. AE面BCE，BE面BCE， AEBE， 在RtAEB中,AB2,O为AB的中点，
OE1.A(0,1,0,E(1,0,0,C(0,1,2.
AE(1,1,0,AC(0,2,2. 设平面AEC的一个法向量为n(x,y,z， AEn0,xy0,则 即2y2x0.ACn0,
解得yx,
zx,

令x1,得n(1,1,1是平面AEC的一个法向量. 又平面BAC的一个法向量为m(1,0,0，
cos(m,nm,n|m||n|133.
33.
3
∴二面角B—AC—E的大小为arccos（III）∵AD//z轴，AD=2，∴AD(0,0,2，
∴点D到平面ACE的距离d|AD||cosAD,n|ADn||n|2323.
321．本小题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力.满分14分.

（I）解法一：直线l:y3x23， ①

过原点垂直l的直线方程为y解①②得x3x， ② 33.
2∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，
a2323.
c2∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）. x2y2c2,a6,b2. 故椭圆C的方程为1. ③
6222解法二：直线l:y3x33. pq32322设原点关于直线l对称点为（p，q），则解得p=3. 3q1.p∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，
a23. ∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）. cx2y2c2,a6,b2. 故椭圆C的方程为1. ③
6222（II）解法一：设M（x1,y1），N（x2,y2）. 当直线m不垂直x轴时，直线m:yk(x2代入③，整理得
12k212k26(3k1x12kx12k60, x1x22,x1x2,
3k13k212222|MN|1k2(x1x24x1x21k2212k2212k2626(1k2
(24,223k13k13k1点O到直线MN的距离d|2k|1k2




OMON44cosMON6cotMON,即 |OM||ON|cosMON60, 33sinMON4246,SOMN6.|MN|d6, 333|OM||ON|sinMON即46|k|k2146(3k21.
3

整理得k213,k. 33当直线m垂直x轴时，也满足SOMN故直线m的方程为y26. 3
323x, 33
或y323x,或x2. 33

经检验上述直线均满足OMON0. 所以所求直线方程为y323323x,或x2. x,或y3333解法二：设M（x1,y1），N（x2,y2）.
当直线m不垂直x轴时，直线m:k(x2代入③，整理得



12k2(3k1x12kx12k60, x1x22,
3k12222∵E（－2，0）是椭圆C的左焦点， ∴|MN|=|ME|+|NE| 2222=e(ax1e(ax2c(x1x22a2(12k2626(k1.
cca3k213k216 以下与解法一相同. 解法三：设M（x1,y1），N（x2,y2）.
设直线m:xty2，代入③，整理得(t3y4ty20.
22 y1y24t2,yy, 12t23t23



4t28|y1y2|(y1y24y1y2(22t3t3OMON24t224. 22(t344cosMON6cotMON,即 |OM||ON|cosMON60, 33sinMON426,SOMN6. 33|OM||ON|sinMON
SOMNSOEMSOEN1|OE||y1y2|2
24t224. 22(t3
24t2242∴=6，整理得t43t2. 223(t3解得t3,或t0.


故直线m的方程为y323323x,或x2. x,或y3333
经检验上述直线方程为OMON0. 所以所求直线方程为y
323323x,或x2. x,或y333322．本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考试逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.满分14分. （I）解法一：a1a,an111, an

a21a4111a112a11,a31a1aaa2a113a22.故当a时a40.a32a1310,a31.a3解法二:a40,1a3111122,a2.a21,a.故当a时a40.a22a33b1,bn1.bn1bn1(II解法一:b11,bn1a取数列{bn}中的任一个数不妨设abn.abn,a21a31
111bn1.a1bn111bn2.a2bn11an111b11.b2an1an10.
故a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/8e3c54a027c52cc58bd63186bceb19e8b9f6ec5a.html

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