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2006年福建高考数学试题(理科)及答案

发布时间：2022-11-10 20:18:08   来源：文档文库   
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2006年福建高考数学试题（理科）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设a,b,cR,则复数(abi(cdi为实数的充要条件是

（A）adbc0 （B）acbd0 （C）acbd0 （D）adbc0
（2）在等差数列an中，已知a12,a2a313,则a4a5a6等于

（A）40 （B）42 （C）43 （D）45 （3）已知(
3,,sin,则tan(等于 25411（A） （B）7 （C） （D）7
77（4）已知全集UR,且Ax|x12,Bx|x26x80,则(CUA
B等于
（A）[1,4 （B）(2,3 （C）(2,3] （D）(1,4
（5）已知正方体外接球的体积是32，那么正方体的棱长等于
3
（A）22 （B）234243 （C） （D） 333（6）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于
2339 （B） （C） （D） 78728（7）对于平面和共面的直线m、n,下列命题中真命题是

（A）

（A）若m,mn,则n∥ （B）若m∥,n∥,则m∥n
（C）若m,n∥,则m∥n （D）若m、n与所成的角相等，则m∥n
（8）函数ylog2
x(x1的反函数是 x12x2x(x0 （B）yx(x0 （A）yx21212x12x1(x0 （D）yx(x0 （C）yx22,上的最小值是2，则的最小值等于 34
（9）已知函数f(x2sinx(0在区间第1页



（A）23 （B） （C）2 （D）3 32x2y2o（10）已知双曲线221(a0,b0的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支ab有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

（A）(1,2] （B）(1,2 （C）[2, （D）(2,
o.0,点C在AOC30。 （11）已知OA1,OB3,OAOB
设OCmOAnOB(m,nR，则m等于
n （A）31 （B）3 （C） （D）3

33（12）对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1,B(x2,y2，定义它们之间的一种“距离”：

x2x1y2y1.
给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则ACCBAB; ②在ABC中，若C90,则ACo2CBAB;
22③在ABC中，ACCBAB.
其中真命题的个数为
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。 （13）(x展开式中x的系数是＿＿＿＿＿（用数字作答）。 （14）已知直线xy10与抛物线yax相切，则a______.
（15）一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标 以数2。将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是＿＿＿＿＿。 （16）如图，连结ABC的各边中点得到一个新的A1B1C1,又连

结A1B1C1的各边中点得到A2B2C2，如此无限继续下 去，得到一系列三角形：ABC，A1B1C1，A2B2C2，...，
B1C2y221x54C这一系列三角形趋向于一个点M。已知A(0,0,B(3,0,
A2B2C1A1第2页


AOBx

C(2,2,则点M的坐标是＿＿＿＿。
三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

22已知函数f(xsinx3sinxcosx2cosx,xR.
（I）求函数f(x的最小正周期和单调增区间；
（II）函数f(x的图象可以由函数ysin2x(xR的图象经过怎样的变换得到？


（18）（本小题满分12分） 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
ACACBCDBD2,ABAD2.
（I）求证：AO平面BCD； （II）求异面直线AB与CD所成角的大小； （III）求点E到平面ACD的距离。 O B

（19）（本小题满分12分） 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗
油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：
DECy13x3x8(0x120.已知甲、乙两地相距100千米。
12800080 （I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

y（20）（本小题满分12分）

x2y21的左焦点为F，O为坐标原点。 已知椭圆2（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；
l（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，
FABGOx第3页



线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。

（21）（本小题满分12分）

已知函数f(xx8x,g(x6lnxm. （I）求f(x在区间t,t1上的最大值h(t;
（II）是否存在实数m,使得yf(x的图象与yg(x的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求2出m的取值范围；若不存在，说明理由。

（22）（本小题满分14分）

*已知数列an满足a11,an12an1(nN.
（I）求数列an的通项公式； （II）证明：

an1a1a2n...n(nN*. 23a2a3an12第4页





2006年高考(福建卷数学理试题答案
一．选择题：本大题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。 （1）D （2）B （3）A （4）C （5）D （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）B （12）B 二．填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分满分16分。

（13）10 （14）1452 （15） （16）(, 4933三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。

解：（I）f(x1cos2x3sin2x(1cos2x 22313sin2xcos2x222
3sin(2x.62
f(x的最小正周期T由题意得2k即 k2.
222x62k2,kZ,
3xk6,kZ.


f(x的单调增区间为k,k,kZ.
36（II）方法一：
第5页



个单位长度，得到ysin(2x的图象，再把所得图象上12633所有的点向上平移个单位长度，就得到ysin(2x的图象。
262
先把ysin2x图象上所有点向左平移

方法二：
把ysin2x图象上所有的点按向量a(3,平移，就得到ysin(2x的图象。 122623（18）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分12分。 方法一：
A （I）证明：连结OC



BODO,ABAD,AOBD.
MBODO,BCCD,COBD.
ODC在AOC中，由已知可得AO1,CO3. 而AC2,
BEAO2CO2AC2, AOC90o,即AOOC.
BDOCO,
AO平面BCD
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角 在OME中，
EM121AB,OEDC1, 222OM是直角AOC斜边AC上的中线，OMcosOEM2,
42.
41AC1, 2


异面直线AB与CD所成角的大小为arccos（III）解：设点E到平面ACD的距离为h.
第6页



VEACDVACDE,
11h.SACD.AO.SCDE.33在ACD中，CACD2,AD
2,

127SACD222(2.
222而AO1,SCDE
13232, 242
hAO.SCDESACD13221.
77221.
7

点E到平面ACD的距离为方法二：
（I）同方法一。
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1,0,0,D(1,0,0,

13C(0,3,0,A(0,0,1,E(,,0,BA(1,0,1,CD(1,3,0.
22

cosBA,CDBA.CDBACD2,
4异面直线AB与CD所成角
的大小为arccos2.
4zA

（III）解：设平面ACD的法向量为n(x,y,z,则
n.AD(x,y,z.(1,0,10,
n.AC(x,y,z.(0,3,10,DOxBECy
xz0,
3yz0.令y1,得n(3,1,3是平面ACD的一个法向量。



第7页



又EC(13,,0, 22点E到平面ACD的距离
hEC.nn321.
77（19）本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。满分12分。

解：（I）当x40时，汽车从甲地到乙地行驶了要耗没(1002.5小时，
4013。 4034082.517.5（升）12800080答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。
100小时，设耗油量为h(x升，
x131001280015依题意得h(x(x3x8.x(0x120,
12800080x1280x4（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了

x800x3803h'(x2(0x120.
2640x640x令h'(x0,得x80.
当x(0,80时，h'(x0,h(x是减函数； 当x(80,120时，h'(x0,h(x是增函数。
当x80时，h(x取到极小值h(8011.25.
因为h(x在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。
（20）本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。满分12分。

解：（I）a22,b21,c1,F(1,0,l:x2.
y圆过点O、F，
1圆心M在直线x上。
21设M(,t,则圆半径
213r((2.
22BlFAGOx
第8页




由OMr,得(2t2123,
2

解得t2.
19所求圆的方程为(x2(y22.
24（II）设直线AB的方程为yk(x1(k0,


x2y21,整理得(12k2x24k2x2k220. 代入2直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。 记A(x1,y1,B(x2,y2,AB中点N(x0,y0,

4k2, 则x1x222k1

1AB的垂直平分线NG的方程为yy0(xx0.
k令y0,得

2k2k2k211xGx0ky02222.2k12k12k124k2
1k0,xG0,2
1点G横坐标的取值范围为(,0.
2（21）本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。



解：（I）f(xx8x(x416.
当t14,即t3时，f(x在t,t1上单调递增，
22h(tf(t1(t128(t1t26t7;
当t4t1,即3t4时，h(tf(416; 当t4时，f(x在t,t1上单调递减，

h(tf(tt28t.
第9页



t26t7,t3,3t4, 综上，h(t16,　　　　t28t,　　t4

（II）函数yf(x的图象与yg(x的图象有且只有三个不同的交点，即函数
(xg(xf(x的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
(xx28x6lnxm,
62x28x62(x1(x3'(x2x8(x0,xxx当x(0,1时，'(x0,(x是增函数； 当x(0,3时，'(x0,(x是减函数； 当x(3,时，'(x0,(x是增函数； 当x1,或x3时，'(x0.


(x最大值(1m7,(x最小值(3m6ln315.
当x充分接近0时，(x0,当x充分大时，(x0.
要使(x的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须

(x最大值m70, 即7m156ln3.
(x最小值m6ln3150,所以存在实数m，使得函数yf(x与yg(x的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为
(7,156ln3.
（22）本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。

（I）解：an12an1(nN*,
an112(an1,
an1是以a112为首项，2为公比的等比数列。
an12n.
第10页





2*即 an21(nN.
（II）证法一：4k114k21...4kn1(an1kn.
4(k1k2...knn2nkn.
2[(b1b2...bnn]nbn, ①
2[(b1b2...bnbn1(n1](n1bn1. ② ②－①，得2(bn11(n1bn1nbn, 即(n1bn1nbn20,

nbn2(n1bn120.
③－④，得 nbn22nbn1nbn0,

即 bn22bn1bn0,
bn2bn1bn1bn(nN*,
bn是等差数列。
证法二：同证法一，得 (n1bn1nbn20 令n1,得b12.
设b22d(dR,下面用数学归纳法证明 bn2(n1d. （1）当n1,2时，等式成立。
（2）假设当nk(k2时，bk2(k1d,那么
k2k2bk[2(k1d]2[(k11]d. k1k1k1k1这就是说，当nk1时，等式也成立。 bk1*根据（1）和（2），可知bn2(n1d对任何nN都成立。
bn1bnd,bn是等差数列。
第11页



（III）证明：ak2k12k11k1,k1,2,...,n, ak1212(2k122
aa1a2n...n. a2a3an12
ak2k11111111k1.k,k1,2,...,n, k1kkak12122(2123.222232aa1a2n1111n11n1...n(2...n(1n, a2a3an12322223223




an1aan12...n(nN*. 23a2a3an12







第12页



本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/79ed7d68647d27284b7351ad.html

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